CAD Computer aided design

עקומות אנליטיות עקומה מפורשת: עקומה סתומה: עקומה פרמטרית (מנורמלת):

עקומה דו ממדית מסדר ראשון ישר בין הנקודות P1=(x1,y1); P2=(x2,y2) עקומה מפורשת: y=mx+b עקומה סתומה: Ax+By+C=0 עקומה פרמטרית מנורמלת: 0 < u < 1 x = x1 + u(x2 - x1) y = y1 + u(y2 - y1)

עקומה דו ממדית מסדר שני עקומה מפורשת עקומה סתומה עקומה פרמטרית

דוגמאות של עקומה דו ממדית מסדר שני

דוגמא מעגל שמרכזו בנקודה (10,10) ורדיוסו 5. עקומה מפורשת: עקומה סתומה: עקומה פרמטרית: עקומה פרמטרית מנורמלת:

Analytical geometry: 2D curves Circle

עקומה פולינומיאלית מסדר שלישי

עקומות הרמיט - Hermite עקומה מסדר שלישי המוגדרת ע”י שתי נקודות קצה ושני תנאי נגזרת בנקודות הקצה. P(0) P’(0) P(1) P’(1)

ייצוג גיאומטרי של עקומת הרמיט

עקומות בזיה - Bezier P1 P0 P2 P3 עקומה מסדר שלישי המוגדרת ע”י 4 נקודות: שתי נקודות קצה ושתי נקודות ביקורת.

דוגמאות

משטחים אנליטיים משטחים מסדר שלישי מוגדרים ע”י אוסף של עקומות מסדר שלישי.

משטחים אנליטיים

מודל מוצק - PPI Pure Primitive Instancing - PPI הפעלת טרנספורמציות לינאריות על רכיבים פשוטים.

Analytical geometry: 2D polygons Triangle P3 z P2 P1

Analytical geometry: 2D polygons Quadrangle Pentagon P2 P1

Matrixes and transformations Transformations of vector P2 P1

Matrixes and transformations Transformations of vector P1 P2 Reflection

Matrixes and transformations Transformations of vector Reflection P1 P2 Stretching

Matrixes and transformations Transformations of vector Reflection Stretching P2 Rotation P1

Matrixes and transformations Transformations of 2D polygons P3 P2 P1

Matrixes and transformations Transformations of 2D polygons Reflection Stretching P3 TV3 P2 P1 P3 TV2 TV1 TV1 TV2 P2 TV3 P1

Analytical geometry: 3D polygons Pyramids P4 P4 P5 P1 P2 P1 P2 P3 P3

Analytical geometry: 3D polygons Transformations of 3D polygons P4 P1 P2 P3

Analytical geometry: 3D polygons Transformations of 3D polygons Reflection P4 TV4 P2 TV2 TV3 P1 P3 TV1

Analytical geometry: 2D vs. 3D 2D 3D

טרנספורמציות לינאריות הומוגניות וקטור נקודה - ייצוג הומוגני טרנספורמציה ליניארית

טרנספורמציית הזזה הזזת הגוף לאורך הוקטור (X,Y,Z). Z Z Y Y 3 1 1 1 1 X 2

טרנספורמציית מתיחה מתיחה (כיווץ) הגוף ע”פ מקדמי המתיחה. Z Z Y Y 4 1 1 0.5 1 X X 2

טרנספורמציית סיבוב סיבוב הגוף בזווית  סביב ציר סיבוב סיבוב סביב ציר X סיבוב סביב ציר Y סיבוב סביב ציר Z

טרנספורמציות סיבוב Z 1 X Z Y Y X X Z Y Z Y 1 1 1 X

טרנספורמציות סיבוב Z Z Y Y 1 1 1 X X

טרנספורמציות משולבות שילוב מספר טרנספורמציות לינאריות ע”י הכפלת המטריצות (יש חשיבות לסדר ההכפלה !!!). 1 X Z Y Z 1 X Z Y Y X

מודל מוצק - Revolve

מודל מוצק – SWEEP

מודל מוצק - מודל CSG Constructive Solid Geometry – CSG. המודל נוצר ע”י פעולות בוליאניות בין מרכיבים פשוטים:

הפעולות הבוליאניות במודל CSG

מודל CSG

B-Rep

VOXEL Boundary Voxel Grid Medical Images: CT, fMRI Science: ultrasound, density Immediate 3D computer graphic: normal vector, color Games and simulation: height -map

משוואת אוילר לבדיקת גופים פיסיקליים פוליהדרון (קָמוּר) פשוט F-E+V=2 F - מספר המשטחים Face E - מספר הקצוות Edge V - מספר הקדקודים vertex

משוואת אוילר פוליהדרון “לא” פשוט (בעל חורים) משוואת אוילר פוליהדרון “לא” פשוט (בעל חורים) חור לא עובר (שפה טבעתית אחת) F-E+V=2-2P+H H - מספר שפות טבעתיות P - מספר מעברים (חורים עוברים) חור עובר (שתי שפות טבעתיות)

משוואת אוילר - פוליהדרון מורכב משטח חיבור F-E+V=2S-2P+H S – מספר משטחי החיבור משטח חיבור

משוואות אוילר