NG Interpolation: Divided Differences

Lagrange Interpolation: Weight Functions NG Interpolation: Divided Differences Lagrange Interpolation: Weight Functions

שגיאות אינטרפולציה עם הגדלת מס' נקודות (דוגמה)

קרוב ( interpolation) של ברווז

קרוב ( interpolation) של ברווז Lagrange Interpolation

קרוב ( interpolation) של ברווז Cubic Spline Interpolation

אינטרפולציה ע"י ספלאיין (spline) באינטרפולציה ע"י פולינום בנינו פולינום יחיד העובר דרך כל נקודות הטבלה (1+n נק') ראינו שהפולינום יוצר בעיית האוסצילציות ככל ש n גדל. אינטרפולציה ע"י פולינום בד"כ לא מתכנסת כאשר . הבעיה חמורה עוד יותר אם הפונקציה לא חלקה. אפשרות אחרת – למצאו מספר פולינומים, כל אחד העובר דרך סט של נקודות. האינטרפולציה החדשה תהיה חלקה כך שבכל נקודת חיבור בין 2 פולינומים יש רציפות לא רק של הפולינום אלא גם הנגזרות!

ספלאין קובי (cubic spline) הגדרה: s(x) נקרא ספלאין מדרגה ≤ n אם: s(x) הינו פולינום מדרגה קטנה או שווה ל n על כל תת אינטרוול [xi+1 ,xi] s(r)(x) רציפה על [a,b] לכל ≤ n-1 r ≤ 0 נתונה פונקציה על הקטע וסט של הנקודות a= =b Cubic Spline הכי נפוץ. על כל קטע (xi+1 ,xi) ישנו פולינום מדרגה 3. ז"א: יש n קטעים ולכן ישנם n4 נעלמים

ספלאין קובי נבדוק כמה משוואות יש: סה"כ 2-n4 משוואות חסרות 2 משוואות. נוסיף אותן כ-2 "תנאי שפה" ב xn, x0 : ספלאין טבעי: כאשר אין נתונים נוספים אז קובעים ספלאין מלא: אם ידועות הנגזרות אזי לפני שנעבור לבניית הספלאין נגדיר סימנים: נסמן את מרחקים בין הנקודות כ- ונסמן את הנגזרת השנייה בנקודה xi ב Mi . בשלב זה הערכים של Mi אינם ידועים. נמצא אותם בהמשך, תוך כדי בניית הספלאין. ספלאין טבעי (natural spline); ספלאין מלא (clamped spline)

בניית הספלאין אם (x)s פולינום מדרגה שלישית בין xi לבין 1+xi אזי הנגזרת השנייה משתנה ליניארית: נבצע אינטגרציה פעמיים. כדי לחשב את הקבועים של האינטגרציה נציב את הנתונים נקבל: כאן ספלאין רשום דרך M !!! השתמשנו עד כה בכל הנתונים חוץ מהתנאי שנגזרת הספלאין רציפה, ז"א נראה בהמשך שהתנאי הזה מביא למערכת המשוואות:

בניית הספלאין (המשך) נוכיח את הטענה הקודמת. נחשב את משמאל ומימין מנקודה xi: נציב xi במקום x ונשווה, נקבל אחרי קצת אלגברה: סה"כ 1-n משוואות עם 1+n נעלמים Mi

בניית הספלאין (המשך) מערכת המשוואות הנ"ל אפשר לכתוב בצורה פשוטה יותר אם נכפיל ב נקבל: כאשר בצורה של מטריצה המערכת נראית כך: קיבלנו מערכת תלת-אלכסונית. המקדים λ0, μn , d0 , dn תלויים בתנאי שפה.

תנאי שפה שגיאת אינטרפולציה בספלאין טבעי נגזרת שנייה בקצבות שווה ל-0: מכאן מקבלים 0λ0==μn =d0=dn. בספלאין מלא נגזרת ראשונה בקצבות נתונה. במקרה הזה מקבלים שגיאת אינטרפולציה ניתן להוכיח ששגיאת האינטרפולציה ע"י ספלאין קובי היא השגיאה יורדת כ 4h כאשר h יורד.

Cubic Spline (other form) וסט של הנקודות על נתונה פונקציה אנו מחפשים את המקדמים אבל כאן וזה מאוד נוח!

Cubic Spline (other form) וסט של הנקודות על נתונה פונקציה

Cubic Spline

Cubic Spline נגדיר: צריך למצוא ! מהתנאים c,d,e נרכיב מערכת משוואות Ax=b איפה x=c

Natural Cubic Spline: Ax=b

Natural Cubic Spline

Clamped Cubic Spline: Ax=b

Clamped Cubic Spline

Tridiagonal Linear System

Tridiagonal Linear System

Tridiagonal Linear System: Thomas Algorithm

Cubic Spline (exercise) Construct a natural cubic spline to approximate by using the values given by f(x) at x=0, 0.25, 0.5, 0.75 and 1.0. Integrate the spline over [0,1], and compare the result to Use the derivatives of the spline to approximate and . Compare these approximations to the actual values. Use spline Use spline (find ) and compare the results with a)

דוגמה: קרוב ( interpolation) של ברווז

קרוב ( interpolation) של ברווז ע"י ספלאין

קרוב ( interpolation) של ברווז Cubic Spline Interpolation