FAKULTET KEMIJSKOG INŽENJERSTVA I TEHNOLOGIJE SVEUČILIŠNI DIPLOMSKI STUDIJ PRIMIJENJENA KEMIJA ZAVOD ZA MATEMATIKU UVOD U MATEMATIČKE METODE U INŽENJERSTVU JEDNODIMENZIONALNA TOPLINSKA JEDNADŽBA Ivica Gusić, red. prof. dr. sc. Miroslav Jerković, dr. sc. Leo Mandić Tomislav Suhina

SADRŽAJ UVOD RJEŠAVANJE 1-D TOPLINSKE JEDNADŽBE FOURIEROVIM REDOVIMA RJEŠAVANJE 1-D TOPLINSKE JEDNADŽBE FOURIEROVIM INTEGRALIMA I TRANSFORMACIJAMA MATHEMATICA ZAKLJUČAK LITERATURA

UVOD

Parcijalna diferencijalna jednadžba (PDE) jest jednadžba koja uključuje jednu ili više parcijalnih derivacija (nepoznate) funkcije. PDE je linearna ako je prvog reda i u zavisnoj varijabli i u njezinim parcijalnim derivacijama. U primjenama su najvažnije PDE drugog stupnja.

Važnije PDE

PDE općenito imaju vrlo velik broj različitih rješenja. Jedinstveno rješenje parcijalne diferencijalne jednadţbe može se dobiti korištenjem dodatnih uvjeta koji proizlaze iz problema. To mogu biti rubni uvjeti i početni uvjeti.

RJEŠAVANJE 1-D TOPLINSKE JEDNADŽBE FOURIEROVIM REDOVIMA

Općenito, toplinska jednadžba glasi: Naziva se i difuzijskom jednadžbom.    

Za metalni štap kod kojeg se toplina prenosi samo duž osi apscisa trodimenzionalna toplinska jednadžba prelazi u jednodimenzionalnu toplinsku jednadžbu: Uz početni uvjet i rubne uvjete, nakon separacije varijabli, zadovoljavanja rubnih uvjeta, kao i početnog uvjeta, konačno rješenje jednadžbe je:

Ovo rješenje dobiva se uz pretpostavku da je f(x) kontinuirana po dijelovima na intervalu i da ima jednostrane derivacije u svim nutarnjim točkama tog intervala. Zbog eksponencijalnog faktora, svi se članovi u približavaju nuli kako vrijeme teži beskonačnosti.

RJEŠAVANJE 1-D TOPLINSKE JEDNADŽBE FOURIEROVIM INTEGRALIMA I TRANSFORMACIJAMA

Dosada smo razmatrali jednodimenzionalnu toplinsku jednadžbu za slučaj kada imamo štap konačne duljine. U slučaju štapa beskonačnih duljina (odnosno vrlo dugačkih štapova), Fourierove redove potrebno je zamijeniti Fourierovim integralima.

U tom slučaju, nakon sličnog postupka kao i za štap konačne duljine, rješenje jednodimenzionalne toplinske jednadžbe za beskonačno dugačak štap je:

MATHEMATICA

Kao primjer imamo štap koji je uronjen u kupelj temperature 100 °C, a na krajevima je temperatura jednaka nuli. Rješenje ima oblik: Vrijedi:

Algoritam u Mathematici

Grafički prikaz rješenja (konstantan parametar provodljivosti (c2 = 0 Grafički prikaz rješenja (konstantan parametar provodljivosti (c2 = 0.1), različit broj članova Fourierova reda (n)) n=41 n=11

Grafički prikaz rješenja (konstantan parametar provodljivosti (c2), konstantan broj članova Fourierova reda (n = 15)) c2=0,3 c2=0,5

ZAKLJUČAK

Parcijalne diferencijalne jednadžbe su modeli za različite fizikalne i geometrijske probleme. Jedna od takvih jednadžbi jest i jednodimenzionalna toplinska jednadžba. Njezina važna primjena je proučavanje prijenosa topline kroz metalni štap.

LITERATURA

Kreyszig, E., Advanced Engineering Mathematics, 9th Edition, John Wiley and Sons, Inc., 2006., 535. – 536., 552. – 554. i 562. – 564. str. http://demonstrations.wolfram.com/HeatTransferAlongARod/

Zahvaljujemo na pažnji! 