FAKULTET KEMIJSKOG INŽENJERSTVA I TEHNOLOGIJE

Slides:



Advertisements
Similar presentations
1.6. Pohrana podataka.
Advertisements

Provisioning Windowsa 10 na IoT, mobilnim i desktop uređajima
Programi zasnovani na prozorima
Petlje WHILE – WEND.
PONAVLJANJE CheckBox Koristi se za rešavanje zadataka gde je potrebno omogućiti uključivanje ili isključivanje jedne ili više opcija. Važna svojstva: –Checked.
Uvod u projekte Rijeka,
Teorema o 4 boje(Four color theorem)
FOURIEROVI REDOVI I INTEGRALI
The Present Perfect Continuous Tense
Projekat strukturnog kabliranja.
Upitni jezik SQL.
Podatkovni višemedijski prijenos i računalne mreže Speech Recognition
Petlje FOR - NEXT.
REPEAT…UNTIL Naredbe ciklusa.
Matematičke metode u kemijskom inženjerstvu Vibrirajuće membrane
Komponente izbora i kontejnerske komponente
Explore-plots Katarina Jeremić 143/2011 Jovana Vulović 33/2011
Interkulturalni karakter prekogranične medijacije.
PlayStation Student: Gordan Belas Datum: FESB,Split.
14 UNUTRAŠNJE I ANONIMNE KLASE
LAPLACEOVA TRANSFORMACIJA
Sveučilište u Splitu Medicinski fakultet
SIVI BALANS SIVI OMJER.
Sveučilište u Zagrebu Fakultet kemijskog inženjerstva i tehnologije
OBLIKOVANJE KONSTRUKCIJA
OSNOVE MEHANIKE LOMA Vježbe 2.
MessageBox.
KORELACIJSKA I REGRESIJSKA ANALIZA
DISKRETNI DINAMIČKI SUSTAVI –LOGISTIČKI MODEL -KAOS-
Pojmovi digitalnog zapisa
Tehnologija proizvodnje cveća
PROGRAMSKI JEZIK PASCAL
Osnovni simboli jezika Pascal
Do While ... Loop struktura
Virtualizacija poslovnih procesa metodom „Swimlane“ dijagrama
Sustav za kontrolu parametara potrebnih za optimalan razvoj biljke
Programiranje – Small Basic
Seminar: Automatska rasvjeta
Seminar iz predmeta Sustavi za praćenje i vođenje procesa
Strukture podataka i algoritmi 5. VRIJEME IZVRŠAVANJA ALGORITMA
PREZENTACIJA KOLEGIJA
SREĆA.
Analiza varijance prof. dr. sc. Nikola Šakić.
Autor: Marko Pletikosa Mentor: doc.dr.sc. Domagoj Jakobović
Naredbe u php-u.
IP SPOOFING Sveučilište u Zagrebu
Uvod u znanstveni rad Voditeljica: prof. dr. sc. Irena Cajner- Mraović
Programski jezik C++ - Vježbe - 5. dio
OSNOVE PROMETNOG INŽENJERSTVA
Programiranje - Naredbe za kontrolu toka programa – 1. dio
MANAGEMENT OF NASAL INJURIES BY UK ACCIDENT AND EMERGENCY CONSULTANS
Kratkotrajne veze žena i muškaraca
Izranjajuća Inteligencija
PROGRAMSKI SUSTAV ZA RASPOZNAVANJE TISKANOG TEKSTA
LimeSurvey Uvjetni prikaz pitanja Internetska istraživanja
Pristupni rad KOMPARATIVNI POREZNI SUSTAVI
Podatkovni višemedijski prijenos i računalne mreže Speech Recognition
Page 535 Advanced Engineering Mathematics by Erwin Kreyszig
METODE MJERENJA U BIOMEHANICI JASNA LULIĆ DRENJAK,prof.
Jednodimenzijska toplinska jednadžba
Page 46a Continued Advanced Engineering Mathematics by Erwin Kreyszig
7. Baze podataka Postavke MS Accessa.
Page 274 (1) Advanced Engineering Mathematics by Erwin Kreyszig
Arian Ivec Mentor: izv. Prof. dr. sc. Nenad Pavin
Ponavljanje Pisana provjera
Programiranje - Naredbe za kontrolu toka programa – 1. dio
Utvrđivanje kvalitete oblikovanih pričuva šteta – run off analiza
INTERPOLACIJA PO DIJELOVIMA POLINOMIMA
Vježbenica 2: struktura grananja – 2.dio
Kako zaštititi privatnost na facebooku
Presentation transcript:

FAKULTET KEMIJSKOG INŽENJERSTVA I TEHNOLOGIJE SVEUČILIŠNI DIPLOMSKI STUDIJ PRIMIJENJENA KEMIJA ZAVOD ZA MATEMATIKU UVOD U MATEMATIČKE METODE U INŽENJERSTVU JEDNODIMENZIONALNA TOPLINSKA JEDNADŽBA Ivica Gusić, red. prof. dr. sc. Miroslav Jerković, dr. sc. Leo Mandić Tomislav Suhina

SADRŽAJ UVOD RJEŠAVANJE 1-D TOPLINSKE JEDNADŽBE FOURIEROVIM REDOVIMA RJEŠAVANJE 1-D TOPLINSKE JEDNADŽBE FOURIEROVIM INTEGRALIMA I TRANSFORMACIJAMA MATHEMATICA ZAKLJUČAK LITERATURA

UVOD

Parcijalna diferencijalna jednadžba (PDE) jest jednadžba koja uključuje jednu ili više parcijalnih derivacija (nepoznate) funkcije. PDE je linearna ako je prvog reda i u zavisnoj varijabli i u njezinim parcijalnim derivacijama. U primjenama su najvažnije PDE drugog stupnja.

Važnije PDE

PDE općenito imaju vrlo velik broj različitih rješenja. Jedinstveno rješenje parcijalne diferencijalne jednadţbe može se dobiti korištenjem dodatnih uvjeta koji proizlaze iz problema. To mogu biti rubni uvjeti i početni uvjeti.

RJEŠAVANJE 1-D TOPLINSKE JEDNADŽBE FOURIEROVIM REDOVIMA

Općenito, toplinska jednadžba glasi: Naziva se i difuzijskom jednadžbom.    

Za metalni štap kod kojeg se toplina prenosi samo duž osi apscisa trodimenzionalna toplinska jednadžba prelazi u jednodimenzionalnu toplinsku jednadžbu: Uz početni uvjet i rubne uvjete, nakon separacije varijabli, zadovoljavanja rubnih uvjeta, kao i početnog uvjeta, konačno rješenje jednadžbe je:

Ovo rješenje dobiva se uz pretpostavku da je f(x) kontinuirana po dijelovima na intervalu i da ima jednostrane derivacije u svim nutarnjim točkama tog intervala. Zbog eksponencijalnog faktora, svi se članovi u približavaju nuli kako vrijeme teži beskonačnosti.

RJEŠAVANJE 1-D TOPLINSKE JEDNADŽBE FOURIEROVIM INTEGRALIMA I TRANSFORMACIJAMA

Dosada smo razmatrali jednodimenzionalnu toplinsku jednadžbu za slučaj kada imamo štap konačne duljine. U slučaju štapa beskonačnih duljina (odnosno vrlo dugačkih štapova), Fourierove redove potrebno je zamijeniti Fourierovim integralima.

U tom slučaju, nakon sličnog postupka kao i za štap konačne duljine, rješenje jednodimenzionalne toplinske jednadžbe za beskonačno dugačak štap je:

MATHEMATICA

Kao primjer imamo štap koji je uronjen u kupelj temperature 100 °C, a na krajevima je temperatura jednaka nuli. Rješenje ima oblik: Vrijedi:

Algoritam u Mathematici

Grafički prikaz rješenja (konstantan parametar provodljivosti (c2 = 0 Grafički prikaz rješenja (konstantan parametar provodljivosti (c2 = 0.1), različit broj članova Fourierova reda (n)) n=41 n=11

Grafički prikaz rješenja (konstantan parametar provodljivosti (c2), konstantan broj članova Fourierova reda (n = 15)) c2=0,3 c2=0,5

ZAKLJUČAK

Parcijalne diferencijalne jednadžbe su modeli za različite fizikalne i geometrijske probleme. Jedna od takvih jednadžbi jest i jednodimenzionalna toplinska jednadžba. Njezina važna primjena je proučavanje prijenosa topline kroz metalni štap.

LITERATURA

Kreyszig, E., Advanced Engineering Mathematics, 9th Edition, John Wiley and Sons, Inc., 2006., 535. – 536., 552. – 554. i 562. – 564. str. http://demonstrations.wolfram.com/HeatTransferAlongARod/

Zahvaljujemo na pažnji! 