ADTs: Array, Queue, Stack, Linked List תרגול 4 ADTs: Array, Queue, Stack, Linked List

ADT – מבנה נתונים אבסטרקטי דוגמאות:

ADT – מבנה נתונים אבסטרקטי דוגמאות:

ADT – מבנה נתונים אבסטרקטי דוגמאות: הערה חשובה: מבני גישה אבסטרקטיים ניתן לממש בכמה דרכים שונות.

שאלה 1 S קבוצה עם לכל היותר n איברים (n נתון). מצאו מבנה נתונים בגודל O(n) התומך בפעולות הבאות בזמנים הנתונים:

שאלה 1 פתרון: בעזרת מיון ישיר (מערך) . . . Init (n) Null . . . COUNT = 0 Init (n) for (i=0 ; i<n ; i++) A[i] = null; count = 0;

שאלה 1 X פתרון: בעזרת מיון ישיר (מערך) . . . isElement (k) COUNT = 0 COUNT = 1 . . . isElement (k) return (A[k] != null); Null X Key= k k-1 Null k Null k+1 Insert (x) If(!isElement (x.key)){ A[x.key] = x; count++; } Null Null Null . . .

שאלה 1 פתרון: בעזרת מיון ישיר (מערך) Remove (k) If(isElement (k)){ isEmpty () return (count == 0); Remove (k) If(isElement (k)){ A[k] = null; count--; } hasAll () return (count == n);

שאלה 2 שאלה: הציעו כיצד לממש תור בעזרת 2 מחסניות. פתרון: x a b c d

שאלה 2 שאלה: הציעו כיצד לממש תור בעזרת 2 מחסניות. פתרון: Enqueue (x) moveElements(A,B); A.Push(x); moveElements(B,A); Dequeue ( ) element = A.Pop(); return element; isEmpty ( ) return A.isEmpty(); moveElements(X,Y) while (! X.isEmpty()) { temp = X.Pop(); Y.Push(temp) ; }

שאלה 2 שאלה: הציעו כיצד לממש תור בעזרת 2 מחסניות. פתרון נוסף: שאלה: הציעו כיצד לממש תור בעזרת 2 מחסניות. פתרון נוסף: Enqueue (x) A.Push(x); Dequeue ( ) moveElements(A,B); element = B.Pop(); moveElements(B,A); return element; isEmpty ( ) return A.isEmpty(); moveElements(X,Y) while (! X.isEmpty()) { temp = X.Pop(); Y.Push(temp) ; }

שאלה 2 שאלה: הציעו כיצד לממש תור בעזרת 2 מחסניות. פתרון נוסף נוסף: שאלה: הציעו כיצד לממש תור בעזרת 2 מחסניות. פתרון נוסף נוסף: Enqueue (x) A.Push(x); Dequeue ( ) If (B.isEmpty()) moveElements(A,B); element = B.Pop(); return element; isEmpty ( ) return ( A.isEmpty() && B.isEmpty()); moveElements(X,Y) while (! X.isEmpty()) { temp = X.Pop(); Y.Push(temp) ; }

שאלה 3 שאלה: נתונות 2 רשימות מקושרות חד-כיווניות L1,L2 עם זנב משותף באורך k, ורישות לא משותפות באורכים n וm. הראו כיצד ניתן למצוא את הקודקוד המשותף הראשון בזמן O(m+n+k). דוגמא: m = 4 k = 3 Null Head 2 n = 2 Head 1

שאלה 3 שאלה: נתונות 2 רשימות מקושרות חד-כיווניות L1,L2 עם זנב משותף באורך k, ורישות לא משותפות באורכים n וm. הראו כיצד ניתן למצוא את הקודקוד המשותף הראשון בזמן O(m+n+k). פתרון: מוצאים את האורך של L1,L2 ברשימה הארוכה, זזים קדימה את ההפרש כעת המרחק מהקודקוד המשותף שווה ב2 הרשימות. כל עוד הרשימות לא התאחדו (קודקוד ראשון משותף), זזים קודקוד 1 קדימה בשתי הרשימות.

שאלה 3 הדגמת הפתרון: פתרון: מוצאים את האורך של L1,L2 ברשימה הארוכה, זזים קדימה את ההפרש כעת המרחק מהקודקוד המשותף שווה ב2 הרשימות. כל עוד הרשימות לא התאחדו (קודקוד ראשון משותף), זזים קודקוד 1 קדימה בשתי הרשימות. הדגמת הפתרון: m = 4 k = 3 Null Head 2 n = 2 Head 1

שאלה 3 הדגמת הפתרון: פתרון: מוצאים את האורך של L1,L2 ברשימה הארוכה, זזים קדימה את ההפרש כעת המרחק מהקודקוד המשותף שווה ב2 הרשימות. כל עוד הרשימות לא התאחדו (קודקוד ראשון משותף), זזים קודקוד 1 קדימה בשתי הרשימות. הדגמת הפתרון: Current Current Current Current Current Current Current Current Null Current Head 2 Current Current Current Current Current Head 1 Length1 = 7 Length2 = 5

שאלה 3 הדגמת הפתרון: פתרון: מוצאים את האורך של L1,L2 ברשימה הארוכה, זזים קדימה את ההפרש כעת המרחק מהקודקוד המשותף שווה ב2 הרשימות. כל עוד הרשימות לא התאחדו (קודקוד ראשון משותף), זזים קודקוד 1 קדימה בשתי הרשימות. הדגמת הפתרון: Current 1 Current 1 Current 1 Null Head 2 Current 2 Head 1 Length1 – Length2 = 2

שאלה 3 הדגמת הפתרון: פתרון: מוצאים את האורך של L1,L2 ברשימה הארוכה, זזים קדימה את ההפרש כעת המרחק מהקודקוד המשותף שווה ב2 הרשימות. כל עוד הרשימות לא התאחדו (קודקוד ראשון משותף), זזים קודקוד 1 קדימה בשתי הרשימות. הדגמת הפתרון: Current 1 Current 1 Current 1 Null Head 2 Current 2 Current 2 Current 2 Head 1

שאלה 4 שאלה: בהינתן רשימה חד-כיוונית, הציעו דרך בה כל מעבר לחוליה הבאה או הקודמת יהיה בזמן O(1), ע"י תוספת זכרון של O(1) בלבד פתרון: אי-אפשר להפוך את הרשימה לדו-כיוונית - זה O(n) זיכרון נשתמש ב2 מצביעים – current וprev שיצביעו על האיבר הנוכחי וזה שבא לפניו כשנזוז קדימה ברשימה, נפנה ברשימה את המצביעים אחורה כשנזוז אחורה ברשימה, נחזיר את המצביעים קדימה

שאלה 4 - הדגמה moveBackward() temp=current; current=prev; שאלה 4 - הדגמה moveBackward() temp=current; current=prev; prev=prev.next; current.next=temp; init() current=head; prev=null; moveForward() temp = prev; prev=current; curent=current.next; prev.next=temp; temp = prev; prev=current; curent=current.next; prev.next=temp; prev current Temp Head

איחוד 3+4 (אם יש זמן) שאלה: נתונות 2 רשימות מקושרות חד-כיווניות עם זנב משותף באורך k, ורישות לא משותפות באורכים n וm. הציעו דרך למצוא את הקודקוד המשותף הראשון של 2 הרשימות, בזמן שאינו תלוי בk. ( הניחו m,n>0 וכן k>>m,n ) מה הזמן והמקום שדורש הפתרון שהצעתם דורש?

שאלה 5 שאלה: A מטריצה בוליאנית (ערכי 0 או 1) בגודל nXn. תארו מבנה נתונים שתומך בפעולות הבאות בזמנים הנתונים:

שאלה 5 פתרון: נשמור, בנוסף למטריצה, גם מערך Sum, שמכיל את סכום האיברים בשורות. כלומר, Sum[i] = מספר האחדות בשורה ה-i. בנוסף, נשמור 2 מונים של מספר השורות המלאות ומספר השורות ללא אחדות כלל.

שאלה 5 פתרון: נשמור, בנוסף למטריצה, גם מערך Sum, שמכיל את סכום האיברים בשורות. כלומר, Sum[i] = מספר האחדות בשורה ה-i. בנוסף, נשמור 2 מונים של מספר השורות המלאות ומספר השורות ללא אחדות כלל. הדגמה: Flip(2,3); 1 1 3 4 COUNT_0 = 1 COUNT_1 = 1

שאלה 5 פתרון: נשמור, בנוסף למטריצה, גם מערך Sum, שמכיל את סכום האיברים בשורות. כלומר, Sum[i] = מספר האחדות בשורה ה-i. בנוסף, נשמור 2 מונים של מספר השורות המלאות ומספר השורות ללא אחדות כלל. הדגמה: Flip(2,3); 1 1 4 COUNT_0 = 1 COUNT_1 = 2

שאלה 5 קוד: init() fill A with 1’s fill Sum with n. count1=n count0=0 flip(i,j) if (A[i][j]==0) { A[i][j]=1; if (Sum[i]=0) count0- -; Sum[i]++; if (Sum[i]=n) count1++; } else { A[i][j]=0; count1- -; Sum[i]--; count0++; } קוד: init() fill A with 1’s fill Sum with n. count1=n count0=0 hasRowOf1() return count1>0   hasRowOf0() return count0>0

שאלה 6 שאלה: הציעו דרך לממש מערך של מספרים, כך שאתחול כל תאי המערך בערך INIT_VAL כלשהו יתבצע ב-O(1). להזכירכם – קריאה וכתיבה של ערך A[i] צריך לקחת O(1).

שאלה 6 פתרון: כדי לאתחל מערך A בגודל n ב-O(1), ניצור ADT חדש בשם smartArray. smartArray ישתמש במבני הנתונים הבאים: A – מערך שישמור את הערכים top – סופר את מס' התאים ב-A שאותחלו INIT_VAL – ערך האתחול C – מערך של ערכים מאותחלים + לא מאותחלים C[0…top-1] – אינדקסים של תאים שאותחלו ב-A B – מערך של אינדקסים לתאים מאותחלים ב-C B[k] – האינדקס של k במערך C

שאלה 6 smartArray תומך במתודות הבאות: new: NewSmartArray(n) A = new int[n] B = new int[n] C = new int[n] Initialization: init(val) INIT_VAL = val top = 0 The following procedure returns true if a given index ‘i’ is not initialized. not_defined(i) return !((B[i] < top) and C[B[i]] = i))

שאלה 6 Read(i) Write(i,val) if (not_defined(i)) if (not_defined(i)) Assumptions: The value of an undefined element B[i] is an unexpected non-negative number. Thus, for an undefined index, the comparison B[i]<top can be either true or false. The and expression is evaluated from left to right. Thus, C[B[i]]=i is evaluated only if B[i] < top. Read(i) if (not_defined(i)) return INIT_VAL else return A[i] Write(i,val) if (not_defined(i)) C[top] = i B[i] = top top++ A[i] ← val

שאלה 6 Example: x = new smartArray[n] x.init(0) x.write(2,20) x.write(4,40) x.write(5,50) a = x.read(4) >> the value of a is 40 b = x.read(3) >> the value of b is 0 222 379 151 5 4 3 2 1 50 5 4 3 2 1 2 5 4 3 2 1 40 1 20 5 4 2 top A B C

שאלה 7 נגדיר "מחסנית מינימום" כמבנה נתונים התומך בפעולות הבאות: Create() – אתחול מבנה הנתונים. Insert(x) – הכנסת איבר x למבנה. RemoveLast() – הוצאת האיבר שהוכנס אחרון. Min() – החזרת הערך של האיבר הקטן ביותר במבנה (ללא הוצאתו). ChangeMin(k) – שינוי ערך האיבר הקטן ביותר במבנה ל – k. הנחה: כל האיברים שונים זה מזה.   הציעו מימוש ל"מחסנית מינימום", כאשר סיבוכיות הזמן הנדרשת לארבע הפעולות הראשונות היא O(1), וסיבוכיות הזמן הנדרשת ChangeMin היא O(t), כש – t הינו מספר האיברים במבנה שהוכנסו אחרי האיבר המינימלי (הכוונה לאיבר המינימלי לפני שהפעולה ChangeMin בוצעה).

שאלה 7 נגדיר "מחסנית מינימום" כמבנה נתונים התומך בפעולות הבאות: Create() – אתחול מבנה הנתונים. Insert(x) – הכנסת איבר x למבנה. RemoveLast() – הוצאת האיבר שהוכנס אחרון. Min() – החזרת הערך של האיבר הקטן ביותר במבנה (ללא הוצאתו). ChangeMin(k) – שינוי ערך האיבר הקטן ביותר במבנה ל – k. הנחה: כל האיברים שונים זה מזה.   פתרון: נשתמש ברשימה דו-כיוונית בנוסף, כל רשומה תכיל מצביע לערך המינימלי מבין הערכים הוותיקים יותר (כולל האיבר עצמו)

שאלה 7 פתרון: נשתמש ברשימה דו-כיוונית בנוסף, כל רשומה תכיל מצביע לערך המינימלי מבין הערכים הוותיקים יותר (כולל האיבר עצמו) הדגמה: tail head 5 7 3 15 10 6

שאלה 7 פתרון: נשתמש ברשימה דו-כיוונית בנוסף, כל רשומה תכיל מצביע לערך המינימלי מבין הערכים הוותיקים יותר (כולל האיבר עצמו) הדגמה: אם נבצע ChangeMin(12), כיצד ישתנו החיצים? tail head 5 7 12 15 10 4

שאלה 7 פתרון: נשתמש ברשימה דו-כיוונית בנוסף, כל רשומה תכיל מצביע לערך המינימלי מבין הערכים הוותיקים יותר (כולל האיבר עצמו)