فضای نمونه: مجموعه همه برآمدهای ممکن یک آزمایش را فضای نمونه گویند . واقعه (پیشامد) : هر زیر مجموعه از فضای نمونه را پیشامد گویند . پیشامدها با حروف بزرگ نشان داده می شوند
اجتماع پیشامد A و B : اشتراک پیشامد A و B: متمم پیشامد A:
A نمایش متمم پیشامد Sفضای نمونه A پیشامد Ac نمودارون
کلاسیک تجربی یا فراوانی تعریف احتمال:
تعریف کلاسیک احتمال: تعداد حالات مساعد A تعداد حالات ممکن P(A) =
مثال: یک تاس همگن را پرتاب می کنیم احتمال ظاهر شدن شماره زوج چقدر است؟ فضای نمونه عبارت است از: با استفاده از تعریف 1 داریم: = پیشامد ظاهر شدن شماره زوج 3/6= P(A)
مثال:
تعریف تجربی یا فراوانی احتمال: اگر یک آزمایش را چندین مرتبه تکرار کنیم، احتمال رخ دادن یک پیشامد مثل A برابر است با: تعداد دفعات رخ دادن پیشامد A تعداد دفعات تکرار آزمایش P(A) = تعداد موارد بیماری جمعیت در معرض خطر × 100 = شیوع بیماری
دو پیشامد ناسازگار:
خواص احتمال -1 -2 -3
قانون اجتماع (قانون جمع احتمالات):
پیشامدهای مستقل ووابسته:
دو پیشامد A و B را مستقل گویند هرگاه:
ده درصد خانواده ها مادر مبتلا به فشارخون و در 2درصد خانواده ها مثال:اگر در ده درصد خانواده ها پدر مبتلا به فشار خون و در ده درصد خانواده ها مادر مبتلا به فشارخون و در 2درصد خانواده ها پدر و مادر مبتلا به فشارخون باشند مطلوبست احتمال اینکه حداقل یکی از والدین مبتلا به فشار خون باشند.
فضای نمونه GG: فرزند اول دختر و فرزند دوم دختر GB: فرزند اول دختر و فرزند دوم پسر BG: فرزند اول پسر و فرزند دوم دختر BB: فرزند اول پسر و فرزند دوم پسر فضای نمونه
تعداد حالات مساعد تعداد حالات ممکن تعداد حالات مساعد تعداد حالات ممکن P(B)= احتمال اينكه فرزند دوم پسر تعداد حالات مساعد تعداد حالات ممکن
احتمال یک پیشامد به شرط آنکه پیشامد دیگری اتفاق افتاده باشد را احتمال شرطی می نامند. احتمال B به شرط A را به صورت تعریف می کنند.
- اگر A و B دو پیشامد مستقل باشند آنگاه داریم:
احتمال خواب آلودگی N(پیشامدی که می خواهیم احتمال آن را حساب کنیم ) مصرف دارویA (پیشامدی که اتفاق افتاده است)
قانون ضرب احتمالات:
ترکیبی از قاعده ضرب و جمع . پیشامدهای دو به دو ناسازگار باشدA1,A2,,…,AK اگر B احتمال غیر شرطی
مثال : فرض کنیم که جواب آزمایشی برای افراد معتاد با احتمال 95 درصد و برای افراد غیرمعتاد با احتمال 4 درصد مثبت باشد. چنانچه 3 درصد افراد جامعه معتاد باشند و یک نفر را بطور تصادفی از این جامعه انتخاب کنیم چقدر احتمال دارد که جواب آزمایش مثبت باشد.
شیوه های شمارش: تبدیل و ترکیب
ترکیب: هرگاه در ترتیب، آرایش و نظم اشیاء کنار هم مورد توجه نباشد آنرا ترکیب گویند.
متغیر تصادفی: - گسسته(منفصل) 2- پیوسته(متصل) متغیر تصادفی:
توزیع احتمال :
نکته: مهمترین خاصیت توزیع احتمال این است که جمع احتمالات برابر 1 است.
1- دو جمله ای 2- توزیع پواسن 3-نرمال انواع توزیع احتمال
توزیع دوجمله ای:
n:تعداد واحدهای مورد بررسی یا تعداد آزمایشات برای مقادیر دیگر P: احتمال موفقیت x: تعداد موفقیت n:تعداد واحدهای مورد بررسی یا تعداد آزمایشات
1- آزمایشات مستقل از هم باشند. 2- احتمال موفقیت وشکست برای همه آزمایشات عددی ثابت باشد. شرایط استفاده از توزیع دو جمله ای:
الف)احتمال اینکه2 نفر به این بیماری مبتلا باشند. (الف
(ب
یا
2- توزیع پواسن :
نکته:
1- 2-
توزیع نرمال:
توزیع احتمال پیوسته (تابع چگالی احتمال) :
تابع چگالی احتمال a b
2- شکل تقارن کامل ندارد وکشیدگی به سمت راست است وسمت چپ متقارن است.(چوله به راست) 3- شکل تقارن کامل ندارد وکشیدگی به سمت چپ است وسمت راست متقارن است. (چوله به چپ)
(1) (2) (3)
توزیع نرمال: (Normal Distribution) ویژگیها: 1- حول میانگین متقارن است. 2- میانگین = مد = میانه 3- سطح زیرمنحنی بالای محور xها برابر یک است بنابراین سطح سمت چپ میانگین برابر و سمت راست نیز برابر است.
4- در توزیع نرمال 68% مشاهدات بین و قرار دارد. 5- در توزیع نرمال 95% مشاهدات بین و قرار دارد. 6- در توزیع نرمال99% مشاهدات بین و قرار دارد.
Normal Distribution
(الف پس 68% افراد این منطقه نمره هوش آنها بین 85 و115 است و16% افراد IQ آنها کمتر از85 است و 16% افراد IQ آنها بیشتر از 115 است .
(ب پس 95% افراد این منطقه نمره هوش آنها بین70 و 130 است و5/2% افراد IQ آنها کمتر از70 است و5/2% افراد IQ آنها بیشتر از130 است.
1- (میانگین) ( ) 2- انحراف معیار ( ) پارامترهای توزیع عبارتند از :
تابع توزیع نرمال استاندارد:
مثال(1): فرض کنید میانگین وزن بد تولدنوزادان gr3100 و انحراف معیار برابر 300 گرم باشد. چه نسبتی از نوزادان وزن بدو تولد بین gr 3100 و gr3600 می باشد .
حل مسئله:
0.4082 z 1.33
Z -1.16 2.16
Z -1.16 1.16
نقاط در صدي در توزيع نرمال استاندارد
A B C µ=0 µ=1 µ=2
σ = 1 σ=1.5 σ= 2 µ
Explain this chart, some examples are on next slide