دوره‏ی ضمن خدمت کشوری ریاضی پایه‏ی نهم مرداد 1394

مجموعه‏ها فصل اول

کلیات فصل اول کلیات فصل اول

مجموعه‏ها معرفی مجموعه‏ اعمال روی مجموعه‏ها مجموعه‏ها و احتمال نحوه و لزوم تشکیل مجموعه و نمودار ون مفهوم عضویت و مجموعه‏ی تهی برابری و نمایش مجموعه ها مفهوم برابری و رابطه با زیرمجموعه مجموعه‏های عددی و نمایش مجموعه‏ها اعمال روی مجموعه‏ها اشتراک، اجتماع و تفاضل تعداد اعضای یک مجموعه مجموعه‏ها و احتمال یادآوری احتمال کاربرد نمادهای مجموعه ها در حل مسائل احتمال

دوره‏ی ابتدایی پیش از ورود به این دوره دانش‏آموزان برداشت‏هایی از مجموعه در ذهن دارند و در طی دوره نیز بدون دانستن زبان مجموعه‏ها از مفاهیمی هم‏چون دسته بندی اشیا یا اعداد استفاده می‏کنند. دوره‏ی متوسطه‏ی اول در این دوره و در پایه‏ی نهم، دانش‏آموزان برای اولین بار با مفهوم مجموعه، اعمال روی مجموعه‏ ها، نمایش مجموعه‏ها و کاربردهای آن آشنا می‏شوند. دوره‏ی متوسطه‏ی دوم در این دوره دانش‏آموزان در پایه‏ی دهم مبحث مجموعه‏ها را کامل‏تر فرا خواهند گرفت. احتمالادر سال دهم پرونده‏ی مفهوم مجموعه بسته خواهد شد.

چرا نظریه‏ی مجموعه‏ها؟ نظریه‏ی مجموعه‏ها یک زبان است؛ زبانیست برای بیان مفهوم‏ها و درک قانون‏هایی که بر طبیعت و جامعه، حاکم هستند. برای استفاده از این ‏زبان، باید آن را یاد گرفت و بر قاعده‏ها و عمل‏های مربوط به آن تسلط یافت.

در بیان مفاهیم نظریه‏ی مجموعه‏ها به جای تاکید بر جنبه‏ی مجرد آن‏ها بر روی کاربرد این نظریه در سایر شاخه های ریاضی پافشاری شده است.

برخی از مفاهیمی که ما با آن‏ها سر و کار خواهیم داشت عبارت اند از: مجموعه‏های باپایان و بی‏پایان مفهوم زیرمجموعه بودن اعمال بین مجموعه ها نمایش مجموعه ها تعریف مجموعه تعلق یا عضویت برابری دو مجموعه

تعریف مجموعه امکان پذیر نیست. زیرا: تعریف مجموعه: تعریف مجموعه امکان پذیر نیست. زیرا: تعریف یک مفهوم باید دارای ویژگی‏های زیر باشد: 1- به خودش بر نگردد (برای مثال مجموعه عبارت است از گروهی یادسته ای از...). 2- بر مفهومی که از خودش دشوارتر است تکیه نکند. 3- مبهم نباشد. 4- از ورود غیر خود جلوگیری کند(مانع بودن). 5-همه چیزهایی که در نظر داریم در بر بگیرد(جامع بودن). چنین تعریفی برای مجموعه نمی‏توان یافت.

مجموعه‏های با پایان و بی‏پایان: مجموعه‏ی باپایان: مجموعه‏ای که تعداد عضوهایش محدود باشد مانند مجموعه‏ی اعداد طبیعی کوچک‏تر از 10 مجموعه‏ی بی‏پایان: مجموعه‏ای که تعداد عضوهایش پایان‏ناپذیر باشد مانند مجموعه‏ی اعداد زوج این مفاهیم در کتاب نهم به صورت غیر مستقیم مطرح می‏شود. در رابطه با مجموعه‏های بی‏پایان دانش‏آموزان از پیش با نماد (...) آشنایی دارند.

مجموعه‏های شمارا و ناشمارا: در متن کتاب تاکیدی بر این دو مفهوم نشده است و می‏توان به فراخور شرایط کلاس درس و سطح متوسط اطلاعات دانش‏آموزان از آن‏ها صحبت نمود.

برابری دو مجموعه، مفهوم زیرمجموعه بودن و تعلق یا عضویت از جمله مفاهیمی هستند که در این فصل به طور مفصل مطرح می‏شوند. از جمله نکات بسیار مهم رساندن دانش‏آموزان به این مرحله است که بین دو مفهوم تعلق و زیر مجموعه بودن بتوانند تمایز قایل شوند.

بازنمایی‏های مورد استفاده در این فصل برای نمایش مجموعه توصیف کلامی نمودار ون نمادها و زبان ریاضی نمایش اعضا با آکلاد

صحبت کردن آزادانه در رابطه با تصاویر اول فصل‏ها، همواره از موارد جذاب برای دانش‏آموزان می‏باشد. در اینجا می‏توان در رابطه با سیاره‏ی پلوتو که قبلا به عنوان سیاره‏ی نهم منظومه‏ی شمسی حساب می‏شد و بعدها از این فهرست حذف شد صحبت کرد. در ماه اوت سال ۲۰۰۶، اتحادیه‏ی بین المللی اخترشناسی با طبقه‌بندی اجرام آسمانی، پلوتو را از فهرست سیارات حذف‌کرد و در طبقه‏ی سیارات کوتوله قرار داد. اما برخی کارشناسان معتقداند که پلوتو هم‏چنان یک سیاره است.

نمایش مجموعه با آکلاد، شناسایی و نوشتن اعضا هدف کلی فعالیت: لزوم استفاده از مجموعه و نمادهای آن نمایش مجموعه با آکلاد، شناسایی و نوشتن اعضا ایجاد زمینه برای معرفی مجموعه‏های تک عضوی علت تاکید بر مجموعه‏های تک عضوی این است که معمولا دانش‏آموزان در برخورد با مفهوم مجموعه گروه یا تعدادی از چیزها را در نظر می‏گیرند، در حالی که می‏توان مجموعه‏ای با یک عضو هم داشت. درک تفاوت کلمه‏ی مجموعه در محاوره با معنای دقیق ریاضی آن. فهمیدن این موضوع که داشتن ویژگی مشترک از شرایط تشکیل مجموعه نیست.

معرفی نمادهای عضو بودن و عضو نبودن برای اولین بار تمرین بیشتر برای درک موضوعات منحصربه فرد بودن، متمایز و یا غیر تکراری بودن اعضا معرفی نمادهای عضو بودن و عضو نبودن برای اولین بار کلمه‏ی «وِن» بر گرفته از نام John Venn منطقدان انگلیسی است که در سال‏های 1834 تا 1923 می‏زیسته است. دقت شود که برای استفاده از نمودار ون علاوه بر منحنی‏های بسته، از خط شکسته‏ی بسته و اشکال هندسی شناخته شده نیز می‏توان استفاده کرد. تمرین برای درک بیشتر نمودار ون و رسم آن. در سوال دوم برای بیان مفهوم اشتراک دو مجموعه نیز زمینه سازی می‏شود. ایجاد زمینه برای معرفی مجموعه‏ی تهی(empty set)

اشاره به برخی از اشتباهات رایج دانش‏آموزان دارد. مرور و تمرین اهداف صفحات قبل عبارتهای کلامی مختلف برای مجموعه‏ی تهی معرفی مجموعه‏های یک عضوی یا یکانی (unit set or singleton) مهارت استدلال یکی از مهارت‏های مورد تاکید در آموزش ریاضیات است. از شنیدن استدلال‏های دانش‏آموزان غافل نشویم. نماد «...» برای اولین بار در این درس اینجا دیده می‏شود. در اینجا می‏توان این موضوع را به بحث گذاشت که آیا همیشه نماد «...» نشانه‏ی نامتناهی بودن است؟

عددهای منفیِ بزرگ‏تر از 1 تاکید بر مشخص بودن اعضا عددهای منفیِ بزرگ‏تر از 1 حرکت بین بازنمایی‏های کلامی و نمایش اعضا با آکلاد ممکن است دانش‏آموزان از عبارت‏هایی همچون اعداد 5 تا6، اعداد بین 12 و 20، اعداد کوچک‏تر از 8 و از این قبیل، برداشت‏های متفاوتی داشته باشند. بهتر است این عبارت‏ها در کلاس بحث شوند. با کنترل جواب‏های دانش‏آموزان به این مسئله‏ی بازپاسخ، می‏توان به نوع نگاه و سطح درک آن‏ها از مجموعه پی برد.

ارائه‏ی مفهوم نابرابری مجموعه‏ها مفهوم برابری مجموعه‏ها(Equal sets) از مفاهیم اساسی نظریه‏ی مجموعه‏هاست. مثلا برای تساوی دو تابع از مفهوم برابری دو مجموعه استفاده می‏شود. (Equal sets) ایجاد زمینه برای معرفی دو مجموعه‏ی برابر از طریق ساختن مجموعه‏های A و B با دو سوال جذاب و سرگرم کننده. ارائه‏ی مفهوم نابرابری مجموعه‏ها در این قسمت باید برای برطرف کردن این بدفهمی تلاش شود: «اگر A با B برابر نباشد، تمام اعضای A نباید در B باشند». ایجاد برابری از طریق مقایسه‏ی عضو به عضو و اضافه کردن یک عضو

تعریف غیر مستقیم و ضمنی زیرمجموعه بودن و معرفی نماد آن دقت کنیم که در برخورد با سولات بازپاسخ محدودیتی قرار ندهیم که تنوع پاسخ‏ها را کاهش دهد! نقطه‏ی قوت این نوع سوال‏ها دریافت پاسخ‏های متنوع برای تشخیص سطح ادراک دانش‏آموزان از موضوع است. بیان مفهوم زیرمجموعه (Subset) و معرفی زیرمجموعه‏های بدیهی یک مجموعه‏ی دلخواه یعنی خودش و تهی. تعریف غیر مستقیم و ضمنی زیرمجموعه بودن و معرفی نماد آن در کتاب دوم راهنمایی سابق برای زیرمجموعه بودن از نماد ⊃ استفاده شده بود. این نماد برای نشان دادن این‏که هر مجموعه زیرمجموعه‏ی خودش است با توجه به نمادگذاری‏های مرسوم صحیح نبود. در کتاب نهم از نماد ⊇ استفاده شده که مشکل مذکور را حل کرده است. با بیان این‏که چه موقع B زیرمجموعه‏ی A نیست به نوعی از طریق برهان خلف زیرمجموعه بودن تهی برای هر مجموعه استدلال می‏شود.

تعمیق و تثبیت مفاهیم زیرمجموعه بودن و نبودن و شهودی کردن آن از طریق نمودار ون تمرین بیشتر برای شهودی کردن مفهوم زیرمجموعه بودن و نبودن از طریق نمودار ون یکی از مشکلات رایج دانش‏آموزان عدم تمییز دو مفهوم زیرمجموعه بودن و عضویت است. کار در کلاس شماره‏ی 2 فرصت بسیار مناسب برای برطرف کردن این مشکل است. بهتر است از دانش‏آموزان خواسته شود برای نوشتن تمام زیرمجموعه‏های یک مجموعه، از مجموعه‏ی هیچ عضوی شروع کرده و بعد تمام یک عضوی‏ها، دو عضوی‏ها و ... را بنویسند.

دقت شود که برای مجموعه‏ای مانند هر دو شکل زیر قابل قبول است: هدف اصلی: نشان دادن مجموعه‏های عددی با استفاده از نمادهای ریاضی و بر عکس حرف اول کلمه‏ی Even به معنی زوج حرف اول کلمه‏ی Odd به معنی فرد دقت شود که برای مجموعه‏ای مانند هر دو شکل زیر قابل قبول است: اعداد طبیعی، حسابی و صحیح در اینجا برای اولین بار است که با استفاده از نمادهای مخصوص خود به صورت مجموعه معرفی می‏شوند.

تمرین برای تعمیق بیشتر تبدیل مجموعه از زبان ریاضی به اعضا و برعکس پی بردن به لزوم استفاده از نمادهای ریاضی برای بیان مجموعه‏ها تمرین‏ برای مرور و تثبیت مفاهیم بیان شده در درس برای آوردن دلیل از تعریف زیرمجموعه بودن استفاده شود نه مثالی که برای قسمت اول سوال نوشته می‏شود.

آشنایی دانش‏آموزان با مفهوم اشتراک و اجتماع به صورت غیر رسمی در کتاب نهم بر خلاف کتاب ریاضی اول دبیرستان ابتدا مفهوم اشتراک (Intersection) بیان شده است و بعد اجتماع (Union) آشنایی دانش‏آموزان با مفهوم اشتراک و اجتماع به صورت غیر رسمی معرفی رسمی اشتراک و اجتماع با نمادهای ریاضی و به صورت شهودی با نمودار ون

آشنایی غیر رسمی با عمل تفاضل تلاش برای درک بهتر اشتراک و اجتماع و درگیری عملی دانش‏آموز برای محاسبه‏ی آن‏ها فعالیتی بسیار غنی و خلاقانه با این هدف که دانش‏آموز مفهوم اجتماع را با این گزاره که «اگر عضوی حداقل در یکی از دو مجموعه‏ی A و B باشد در اجتماع آن دو مجموعه است» بهتر درک کند. در ادامه‏ی فعالیت سعی شود دانش‏آموزان تمام حالت‏های ممکن را به دست آورند. آشنایی غیر رسمی با عمل تفاضل

تعمیق و تا حدودی تعمیم مفاهیم ذکر شده ارائه‏ی تعریف رسمی تفاضل دو مجموعه (Difference of two sets) همراه با نمودار ون برای شهودی کردن ادراک در این مثال دانش‏آموز مشاهده می‏کند که (A-B) و (B-A) لزوما برابر نیستند. تعمیق و تا حدودی تعمیم مفاهیم ذکر شده معرفی نماد تعداد اعضا یا عدد اصلی یک مجموعه (Cardinal number of a set)

تعمیق و مرور اهداف درس بهتر است در اینجا این موضوع بحث شود که اگر (B-A)=(A-B)، آن گاه واضح است که (B-A)n=(A-B)n، ولی عکس این مطلب همواره درست نیست. می‏توان این سوال را به الگوهای بسیاری برای هاشور زدن تعمیم داد.

تسلسل مطالب مربوط به احتمال: یادآوری رابطه‏ی احتمال (Probability) از سال‏های گذشته و شروع استفاده از زبان مجموعه‏ها در احتمال تسلسل مطالب مربوط به احتمال: پایه‏ی هفتم: احتمال یا اندازه‏گیری شانس با بیان رابطه- پیش‏آمدهای هم‏شانس- احتمال و تجربه پایه‏ی هشتم: احتمال یا اندازه‏گیری شانس-بررسی حالت‏های ممکن(نمودار درختی و جدول) اهداف اصلی: در ابتدا تشکیل مجموعه‏ی همه‏ی حالت‏های ممکن و در قسمت‏های بعدی تشکیل مجموعه‏ی حالت‏های مطلوب و همچنین استفاده از نمادهای ریاضی و فرمول برای محاسبه‏ی احتمال

یادآوری از سال‏های گذشته ایجاد ارتباط بین زیرمجموعه‏های مجموعه‏ی همه‏ی حالت‏های ممکن و پیشامدها پس از تشخیص همه‏ی حالت‏های ممکن یعنی: توجه شود که توصیف‏هایی که دانش‏آموزان برای تعریف یک پیشامد معین استفاده می‏کنند، ممکن است با هم فرق داشته باشند ولی صحیح باشند یادآوری از سال‏های گذشته سوال بازپاسخ

در تمرین 4 بهتر است همه‏ی حالت‏های ممکن در یک جدول 6⨯6 نمایش داده شود. تمرین‏های شماره‏ی 2 و 4 نیاز به توجه خاص دارند و بهتر است در کلاس درس به صورت ویژه تحلیل شوند. در تمرین شماره‏ی 2 بهتر است نمودار درختی رسم شود تا دانش‏آموزان تمام 8 حالت ممکن را ببینند. در تمرین 4 بهتر است همه‏ی حالت‏های ممکن در یک جدول 6⨯6 نمایش داده شود. اشاره به مفهوم نخستین بودن مجموعه دارد

با سپاس...