LINEAR CONTROL SYSTEMS Ali Karimpour Associate Professor Ferdowsi University of Mashhad <<<1.1>>> ###Control System Design### {{{Control, Design}}} 24 slides + 1 exercise slide

Lecture 15 Root Locus Technique Topics to be covered include: Property and construction of complete root loci. (Cont.) Effect of adding poles and zeros on root locus. Effect of moving poles and zeros. Root contour.

The Root Locus procedure نحوه رسم مکان ریشه ها قانون 1: سیستم را دقیقا بصورت مقابل بیان کنید. قانون 2: قطب و صفرهای f(s) را مشخص کنید. مکان ریشه در k=0 روی قطبهای f(s) و در k=±∞ روی صفرهای f(s) قرار دارد. قانون 3: محور حقیقی را برای مقادیر مثبت و منفیk مشخص کنید قانون 4: مجانبها و محل تلاقی مجانبها را برای مقادیر مثبت و منفی k تعیین کنید. قانون 5: نقطه شکست را بیابید. قانون 6: نقطه تلاقی با محور موهومی را توسط روش روت هرویتز تعیین کنید.

Example 1:ِ Draw the complete root loci of following system. مثال 1: مکان کامل ریشه ها را در سیستم زیر بیابید. Rule 1: Specify the equation exactly in the standard form. قانون اول: سیستم را دقیقا بصورت زیر استاندارد کنید.

Example 1: قانون 2: قطب و صفرهای f(s) را مشخص کنید. مکان ریشه در k=0 روی قطبهای f(s) و در k=±∞ روی صفرهای f(s) قرار دارد. قانون 3: محور حقیقی را برای مقادیر مثبت و منفیk مشخص کنید قانون 4: مجانبها و محل تلاقی مجانبها.

Example 1: قانون 5: نقطه شکست را بیابید. قانون 6: نقطه تلاقی با محور موهومی ? We need another rule. به قانون دیگری نیاز داریم.

The Root Locus procedure نحوه رسم مکان ریشه ها Rule 7: Find the arrival angles and departure angles. قانون 7: زوایای ورود و خروج را تعیین کنید. Departure angles. Arrival angles.

Rule 7: Find the arrival angles and departure angles. قانون 7: زوایای ورود و خروج را تعیین کنید.

Rule 7: Find the arrival angles and departure angles. قانون 7: زوایای ورود و خروج را تعیین کنید.

Calculation of k on the Root Loci Condition of magnitude

Summary Rule 1: Specify the equation exactly in the form. Rule 2: Specify the poles and zeros of f(s). The root loci lie on the poles of f(s) for k=0 and lie on the zeros of f(s) for k=±∞ Rule 3: Define the real axis section for positive and negative value of k. Rule 4: Find the asymptotes and centered of asymptotes . Rule 5: Find the break point. Rule 6: Find the cross of root locus with imaginary axis by Routh Hurwitz criteria. Rule 7: Find the arrival angles and departure angles.

Adding poles and zeros inside the loop اضافه کردن صفر و قطب داخل تابع انتقال حلقه Adding pole to the loop - c2 e r + - c1 e r Adding zero to the loop - c2 e r

Adding poles inside the loop اضافه کردن قطب داخل حلقه -a -a -b

Adding zeros inside the loop اضافه کردن صفر داخل حلقه -a -a -b

Effect of moving poles اثرات حرکت قطبها Consider following equation: Let b=1 but a=10, 9, 8, 3, 1

Effect of moving poles. اثرات حرکت قطبها Let a=10 Let a=10 16 -4.5 -1 -10 -1 Let a=10 16

Effect of moving poles اثرات حرکت قطبها Let a=9 -4 -1 -9 17

اثرات حرکت قطبها Effect of moving poles Let a=8 -3.5 -1 -8 18

Effect of moving poles. اثرات حرکت قطبها Let a=3 -1 -3 19

Effect of moving poles. اثرات حرکت قطبها Let a=1 -1 20

Effect of moving poles. اثرات حرکت قطبها a= 1 a=10 a= 8 a= 9 a= 3 21 -1 -8 -3.5 -1 -3 -1 -9 -4 -4.5 -1 a=10 a= 1 a= 8 a= 3 a= 9 -1 -10 21

Root contour (Multiple parameter variation ( کانتور ریشه ها ( تغییرات چند پارامتر ) Remember root loci Suppose: k1 and k2 are parameters Step 1: Put one variable equal to zero. Let us k2=0 Step 2: Restore the value of k2

Example 2: Draw the root contour for following system. مثال 2: کانتور ریشه ها را برای سیستم زیر بیابید. Step 1: Let k2=0 then Asymptotes are: k1=∞ 0.5 θ k1=∞ k1=0 Angles of departure is: -1

Example 2: Draw the root contour for following system. مثال 2: کانتور ریشه ها را برای سیستم زیر بیابید. Step 2: Restore the value of k2 Let: k1=0 -1 k1=0 k1=∞ Let: k1=1 Let: k1=10

Exercises تمرینها 1 A unity feedback ( negative sign ) control system has an open loop transfer function Sketch the complete root loci, and find the corresponding k when the root loci crosses jw axis. 1 A unity feedback ( negative sign ) control system has an open loop transfer function Sketch the complete root loci, and find the corresponding k when the root loci crosses jw axis. 2 The open loop transfer function of a unity-feedback (negative sign) system with PD controller is: Sketch the root loci for different values of Kp and Kd. (Let Kp=0,1,5,10.) <<<3.6>>> ###State Space Models###