Rekstrarhagfræði III Leikjafræði 4 Rekstrarhagfræði III Leikjafræði

Leikjafræði Leikjafræði (Game Theory) er ein af stoðgreinum hagfræðinnar. Leikjafræði er notuð til að greina ákvarðanir einstaklinga sem eru þátttakendur í einhvers konar keppni. Keppninni er yfirleitt lýst með því að tilgreina annars vegar leikreglurnar og hins vegar því hver útkoman verður miðað við allar hugsanlegar samsetningar af ákvörðunum. Leikjafræði reynir að varpa ljósi á flóknar aðstæður og gefur okkur oft tækifæri á að komast að kjarna málsins. Hvaða kringumstæður sem er þar sem einstaklingar verða að taka stefnumótandi ákvarðanir er hægt að líta á sem leik. Leikjafræði skiptist í tvo hluta: Kenningar um samvinnuleiki (cooperative games), en þar geta leikmenn gert bindandi samkomulag. Hins vegar kenningar um leiki án samvinnu (non-cooperative games), en þar er samkomulag ekki mögulegt. Hér verður aðeins fjallað um leiki án samvinnu.

Leikjafræði Allir leikir hafa þrjá grunnþætti. Leikmenn, t.d. einstaklingar eða fyrirtæki Leikáætlanir (strategy), þ.e. þær akvarðanir sem hægt er að velja á milli Leikslokafylki (payoff), en það lýsir úkomum allra hugsanlegra samsetninga af ákvörðunum leikmanna Leikmenn: Hver aðili leiks, sem ákvörðun tekur, er kallaður leikmaður. Leikmaður getur verið einstaklingur, fyrirtæki, ríkisstjórn, o.s.frv. Leikáætlun (Strategy): Hver ákvörðun leikmanns í leik er kölluð leikáætlun (strategy). Það er háð leiknum hversu flókin leikáætlun er.

Leikjafræði Í hverjum leik eru leikáætlanir vel skilgreindar. Hver leikmaður hefur takmarkaðan fjölda leikáætlana sem hann getur valið á milli. Í leikjum án samvinnu (non-cooperative games), geta leikmenn ekki talað sig saman um hvaða leikáætlanir best sé að leika - hver leikmaður er óviss um hvað hinn mun gera. Flestir leikir hér gera ráð fyrir að leikmaður geti aðeins valið milli tveggja leikáætlana.

Leikjafræði Leikslokafylki (Payoffs): Leikslokafylki sýna útkomur í leik. Útkoma leiks er oft sýnd sem nytjar sem hver leikmaður fær í sinn hlut. Í leikjum með fyrirtækum er þó peningalegur ágóði eða hagnaður oftast notaður. Í flestum leikjum finnum við lausnir, þ.e. leikurinn hefur tiltekna útkomu. Í öðrum leikjum er engin ein lausn, en þá oftast um líkindaleikáætlun (blindingsleikbragð) í staðinn.

Leikjafræði Flokka má leiki á nokkra vegu: Samtímaleikir og raðleikir: Hægt er að skipta leikjum í tvo flokka eftir því hvort þátttakendur taka ákvarðanir samtímis eða hver á fætur öðrum. Fyrri tegundin er kölluð samtímaleikir (Simultaneous Games) en sú síðari raðleikir (Sequential Games). Einnig má flokka leiki eftir upplýsingamenginu sem þeim fylgir: Leikir með fullkomnar upplýsingar (games of perfect information) Leikir með ófullkomnar upplýsingar (games of imperfect information) Leikir með fullar upplýsingar (games of complete information) Leikir með takmarkaðar upplýsingar (games of incomplete information)

Leiktré í raðleik með fullkomnum upplýsingum IBM og Toshiba eru að huga að vali á stýrikerfi í tölvur sínar. Þau geta valið milli DOS eða UNIX. IBM velur á undan og síðan velur Toshiba. Þegar Toshiba velur veit það hvað IBM valdi.

Leiktré í raðleik með ófullkomnum upplýsingum IBM og Toshiba eru að huga að vali á stýrikerfi í tölvur sínar. Þau geta valið milli DOS eða UNIX. IBM velur á undan og síðan velur Toshiba. Þegar Toshiba velur veit það ekki hvað IBM valdi.

Venjuleg framsetning – Normal form Venjuleg framsetning (normal-form) á leiknum að ofan. Toshiba (DOS|DOS, DOS|UNIX) (DOS|DOS, UNIX|UNIX) (UNIX|DOS, UNIX|UNIX) (UNIX|DOS, DOS|UNIX) IBM DOS 600,200 100,100 UNIX 200,600

Núllsummu leikur: Matching pennies

Matching pennies Leikmaður 2 Leikmaður 1 Hvort barn lætur pening í lófa sinn á þess að hitt barnið sjái hvor hliðin snúi upp. Síðan opna bæði lófa sína samtímis. Ef báðir peningarnir snúa eins, þá greiðir barn 1 barni 2 pening, en annars öfugt. Leikmaður 2 H T Leikmaður 1 -1,+1 +1,-1

The “Gift of the Magi” Sjá Schotter bls. 236-8

The “Gift of the Magi” Bob Alice Sjá Schotter bls. 236-8 Selja úrið Kaupa kort Alice Selja hárið -100,-100 +501,+25 +25,+50 +10,+10

Ísak-Abraham leikurinn Sjá Schotter bls. 238-9

Ísak-Abraham leikurinn Sjá Schotter bls. 238-9 Guð Þiggja og hegna Þiggja og hegna ekki Ekki þiggja og hegna Ekki þiggja og hegna ekki Abraham Fórna -50,+90 +100,+100 Ekki fórna -100,-100 -10,-10

Lausnir og jafnvægi Lausnir og jafnvægi leikja: Lausn leiks er oft kölluð jafnvægi. Það eru þó til margar gerðir af jafnvægi, en hér verður aðeins minnst á eina þeirra. Nash-jafnvægi: Par leikáætlana (a*,b*) lýsa jafnvægislausn í leik tveggja leikmanna, ef a* er besta leikáætlun leikmanns A gegn leikáætlun b* hjá leikmanni B og b* er besta leikáætlun leikmanns B gegn leikáætlun a* hjá leikmanni A. Nash-jafnvægi (Nash-equilibrium): Sérhver þátttakandi hefur valið þá leikáætlun sem kemur honum best í ljósi þess hvaða leikáætlanir hinir þátttakendurnir hafa valið. Sumir leikir hafa ekkert Nash-jafnvægi og aðrir leikir hafa fleiri en eitt Nash-jafnvægi. Leikurinn “Skæri og Pappír” hefur ekkert Nash-jafnvægi, og leikurinn “Barátta kynjana” hefur tvö Nash-jafnvægi. Til eru önnur jafnvægishugtök en Nash-jafnvægi (en öll eru þau þó skyld).

Víkjandi og ríkjandi leikáætlanir Við segjum að leikáætlun A sé víkjandi (Dominated Strategy) ef til er a.m.k. ein önnur leikáætlun sem er alltaf betri en A, sama hvað andstæðingarnir gera. Í vanda fangans var það að játa ekki víkjandi leikáætlun. Við segjum að leikáætlun A sé ríkjandi (Dominating Strategy) ef hún er alltaf betri en allar aðrar leikáætlanir, sama hvað andstæðingarnir gera. Í vanda fangans var það að játa ríkjandi leikáætlun. Ein leið til að finna lausn á leikjum er að leita að víkjandi og ríkjandi leikáætlunum, útiloka þær fyrrnefndu en velja þær síðarnefndu. Ef aðeins ein leikáætlun stendur eftir fyrir hvern þátttakanda að því loknu, þá höfum við fundið lausn leiksins. Með lausn eigum við yfirleitt við svokallað Nash-jafnvægi, sem nefnt var hér að ofan.

Bílaframleiðendurnir Ríkjandi og víkjandi leikáætlanir GM Hátt verð Lágt verð Ford 500,500 100,700 700,100 300,300

Vandi fangans Vandi fangans (Prisoner´s dilemma): Hugsum okkur tvo fanga sem eru í haldi fyrir mjög alvarlegar sakargiftir sem þeir frömdu. Saksóknarinn hefur hins vegar ekki nægar sannanir til að láta sakfella þá í samræmi við þann glæp sem þeir frömdu. Hann getur einungis fengið þá dæmda til árs fangelsisvistar, fyrir annað minni afbrot, ef frekari sannanir koma ekki til. Hvorum fanga um sig er sagt, að ef hann játi þá verði hann látinn laus, en vitorðsmaðurinn dúsi samtals 20 ár í fangelsi. Ef báðir hins vegar játa, þá fá þeir báðir 5 ára fangelsi. Ráðandi stefna í þessum leik (tafla á næstu glæru) er að játa á sig glæpinn. Vandi fanganna er skortur á trausti eða vöntun á skuldbindingu. Einfalt loforð væri ef til vill ekki nægilegt. Báðir hefðu getað lofað að segja ekki frá, en samt breytt vali sínu þegar í klefann er komið. Skuldbinding gæti hins vega falist í því, að fangarnir vissu um aðra alvarlega glæpi hins aðilans og gætu sannað þá fyrir saksóknara, ef annar kjaftar.

Fangaleikur Fangi Y Játa Neita Játa 5 ár hvor 0 ár fyrir X ____________________________________________________________________________________________________ Játa 5 ár hvor 0 ár fyrir X Fangi X 20 ár fyrir Y Neita 20 ár fyrir X 1 ár hvor 0 ár fyrir Y

Leikur með marga valmöguleika Ríkjandi og víkjandi leikáætlanir Leikmaður 2 1 2 3 4 Leikmaður 1 40,20 90,300 200,100 55,22 30,25 85,55 100,50 10,10 38,55 75,65 44,60 40,60 22,98 85,200 155,195 33,155

Ríkjandi og víkjandi leikáætlanir

Ríkjandi og víkjandi leikáætlanir Leikmaður 2 Leikbragð 1 Leikbragð 2 Leikmaður 1 4,4 0,1 6,3

Að fjarlægja víkjandi leikáætlanir Leikmaður 2 1 2 3 Leikmaður 1 2,0 2,4 0,2 0,6 4,0

Að fjarlægja víkjandi leikáætlanir Leikmaður 2 1 2 Leikmaður 1 2,0 2,4 0,6 0,2

Að fjarlægja víkjandi leikáætlanir Leikmaður 2 1 2 Leikmaður 1 2,0 2,4

Að fjarlægja víkjandi leikáætlanir Leikmaður 2 1 2 3 Leikmaður 1 20,0 10,1 4,-4 20,2 10,0 2,-2

Að fjarlægja víkjandi leikáætlanir Leikmaður 2 1 2 Leikmaður 1 20,0 10,1 20,2 10,0

Leikur með fleiri en eitt jafnvægi Leikmaður 2 (svarandinn) Hringja til baka Bíða eftir símatali Leikmaður 1 (hringjandinn) 0,0 3,6 Bíða eftir símtali 6,3

Leikir með fleiri en eitt jafnvægi Leikmaður 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Leikmaður 2 1,1 0,0 2,2 3,3 4,4 5,5 6,6 7,7 8,8 9,9 10,10

Leikir með líkindaleikáætlanajafnvægi Hershöfðingi 2 Hörfa Árás Hershöfðingi 1 5,8 6,6 8,0 2,3

Leikir með líkindaleikáætlanajafnvægi Fyrir hershöfðingja 2 verða árás og hörfa jafngild ef hershöfðingi 1 velur árás með líkunum 3/7 og og hörfa með líkunum 4/7 Fyrir hershöfðingja 1 verða árás og hörfa jafngild ef hershöfðingi 2 velur árás með líkunum 2/5 og og hörfa með líkunum 3/5

Leikir með líkindaleikáætlanajafnvægi Dísa Klæðast rauðu Klæðast bláu Magga -1,2 2,-2 1,-1 -2,1

Trúverðug hótun Sumir leikir hafa jafnvægi sem kallast undirleiks-fullkomið jafnvægi, eða jafnvægi með trúverðugri hótun.

Neita að fara til Siggu frænku Trúverðug hótun Foreldri Hegna barninu Gefa eftir Óþekka barnið Fara til Siggu frænku 1,1 Neita að fara til Siggu frænku -1,-1 2,0

Lausn rakin aftur á bak (backward induction)

Lausn rakin aftur á bak (backward induction) Í næsta leik hefur leikmaður númer eitt um tvær leikáætlanir að velja (U/N) en leikmaður númer tvö hefur um fjórar að velja: i) u ef númer eitt velur U en n ef eitt velur N ii) u ef númer eitt velur U og n ef eitt velur N iii) n ef númer eitt velur U og n ef eitt velur N iv) n ef númer eitt velur U en u ef eitt velur N

Lausn rakin aftur á bak (backward induction) Leikinn hér að ofan má einnig setja fram í töfluformi:

Lausn rakin aftur á bak (backward induction) Leikmaður 1 hefur tvo valmöguleika og tvær leikáætlanir. Leikmaður 2 hefur tvo valmöguleika, en fjórar leikáætlanir: u, u: Ef leikmaður 1 velur U þá velur leikmaður 2 u, ef 1 velur N þá velur 2 u u, n: Ef leikmaður 1 velur U þá velur leikmaður 2 u, ef 1 velur N þá velur 2 n n, u: Ef leikmaður 1 velur U þá velur leikmaður 2 n, ef 1 velur N þá velur 2 u u, u: Ef leikmaður 1 velur U þá velur leikmaður 2 n, ef 1 velur N þá velur 2 n

Lausn rakin aftur á bak (backward induction) Hér má sjá að {U, (u, l)} er Nash-jafnvægi, þ.e. röðin U og dálkurinn (u, l). Þegar lausnin var rakin aftur á bak (backward induction) hér að ofan, kom í ljós að hún var fólgin í því að leikmaður 1 valdi U og 2 valdi u í framhaldi. Þegar hægt er að rekja aftur á bak og fá eina lausn, þá er um Nash-jafnvægi að ræða (reyndar undirleiks-fullkomið Nash-jafnvægi). Fyrir raðleiki sést þetta yfirleitt best með því að setja leikinn fram í tréformi. En að sumu leyti er þetta þó flóknara.

Lausn rakin aftur á bak (backward induction) Í þessum leik má sjá að lausnin rakin aftur á bak er (4, 2), þ.e. {R, (l, l)}.

Fleiri en eitt jafnvægi Þegar leikurinn er settur fram á töfluformi sést að um fleiri en eitt Nash-jafnvægi er að ræða: Þau eru þrjú.

Ótrúverðug hótun Aðeins {R, (l, l)} er undirleiks-fullkomið Nash-jafnvægi (subgame perfect Nash-equilibrium), þó {L, (l, r)} og {R, (r, l)} uppfylli skilyrði Nash-jafnvægis. Seinni tvö jafnvægin fela í sér það sem kallast ótrúverðugar hótanir (noncredible threats). Þetta má útskýra á þann hátt að leikmaður B myndi aldrei velja r í framhaldi af því að A hefði valið R, enda gefur það val honum aðeins 1 í nytjar á meðan það að velja l gefur 2 í nytjar. Leikmaður B velur því ekki dálk (l, r), dálkurinn er ótrúverðug hótun af hans hálfu og A sér það.

Ótrúverðug hótun Á sama hátt er dálkur (r, l) ótrúverðug hótun og B myndi ekki velja þann dálk. M.ö.o. B myndi aldrei velja r eftir að A hefur valið L þar sem val á l gefur honum meiri nytjar (3 í stað 0). Leik sem inniheldur ótrúverðugar hótanir má einfalda, þ.e. Þurrka má út þá dálka sem innihalda ótrúverðugar hótanir. Nú sést það Nash-jafnvægi betur sem fundið var með því að rekja lausnina aftur á bak.

Fangaleikurinn leikinn einu sinni, eða endurtekinn í n skipti Leikmaður 2 Þegja Kjafta frá Leikmaður 1 6,6 2,12 12,2 4,4

Fangaleikurinn leikinn óendalega oft

Fangaleikurinn aftur Ef leikurinn er endurtekinn í hið óendanlega, þá er:

Yak grazing game

Leikur með takmarkað upplýsingamengi Matrix 1 Matrix 2 Leikmaður 2a Leikmaður 2b V H Leikmaður 1a U 4,7 3,0 4,0 3,6 N 5,1 3,1 5,7 Matrix 3 Matrix 4 Leikmaður 1b 5,0 5,6 2,6 1,1 2,1 1,7

Leikur með takmarkað upplýsingamengi Bayes-Nash jafnvægi: Hvor leikmaður getur annaðhvort verið týpa a eða b og eru líkurnar 0,5 Vongildi fyrir leikmann 1a við val U: 0,5(4)+0,5(3)=3,5 Vongildi fyrir leikmann 1a við val N: 0,5(3)+0,5(5)=4 Vongildi fyrir leikmann 1b við val U: 0,5(5)+0,5(5)=5 Vongildi fyrir leikmann 1b við val N: 0,5(2)+0,5(1)=1,5 Reiknað er á sama hátt fyrir leikmann 2 Bayes-Nash jafnvægi: Leikmaður 1 velur N ef hann er týpa a og U ef hann er týpa b. Leikmaður 2 velur sín hæstu vongildi m.v. týpu.

Entry-prevention game

Entry-prevention game

Entry-prevention game

Contestable markets

Cournot

Cournot jafnvægi (Nash jafnvægi)

Óstöðugt jafnvægi

Bertrand