فصل هفتم: موجک و پردازش چند رزلوشنی پردازش تصاویر دیجیتالی فصل هفتم: موجک و پردازش چند رزلوشنی حمیدرضا پوررضا

موضوعات فصل مقدمه WT در عمل تبدیل موجک از دیدگاه ریاضی تبدیل موجک دوبعدی بیان تصویر بصورت چند رزلوشنی H.R. Pourreza

مقدمه بخش مقدمه بر اساس متنی با عنوان The Wavelet Tutorial نوشته آقای Polikar از دانشگاه Rowan است H.R. Pourreza

مقدمه - تبدیل چیست و چرا ما به آن احتیاج داریم تبدیل: یک عمل ریاضی استکه با دریافت یک تابع و یا رشته آنرا به تابع یا رشته جدید تبدیل می کند چرا تبدیل‌ها مفیدند؟ تبدیل یک تابع میتواند اطلاعاتی اضافی از یک تابع یا اطلاعات مخفی شده در تابع را آشکار کند تبدیل یک معادله ممکن است آسانتر از اصل آن حل شود تبدیل یافته یک تابع/رشته ممکن است نیاز به فضای کمتری برای ذخیره داشته باشد و بنابراین امکان فشرده سازی دیتا را فراهم میکند یک عمل ممکن است به تبدیل یافته یک تابع ساده تر اعمال شود تا به خود آن (مثلا کانولوشن) H.R. Pourreza

مقدمه – خواص تبدیل ها T f F T-1 خواص مهم یک تبدیل عبارتند از: مقدمه – خواص تبدیل ها خواص مهم یک تبدیل عبارتند از: خطی بودن: تبدیلی که دارای خاصیت همگنی و جمع پذیری باشد یک به یک بودن: توابع مختلف تبدیلهای متفاوتی دارند معکوس پذیری: برای هر تبدیل T، یک تبدیل معکوس T-1 وجود دارد که با استفاده از آن f قابل بازیافت است. تبدیل پیوسته: تابع را به تابع تبدیل می کند تبدیل گسسته: رشته را به رشته تبدیل می کند T f F T-1 H.R. Pourreza

مقدمه – یک تبدیل چه شکلی است مقدمه – یک تبدیل چه شکلی است یک تابع پیچیده را با اجزای سازنده ساده (بلوک‌های ساده) بیان می‌کند با تنها استفاده از بلوکهای کم (توابع پایه/هسته‌ها) بیان فشرده‌ای را بوجود می‌آورد با استفا ه از بلوکهای سینوسی تبدیل فوریه ساخته می‌شود بیان حوزه فرکانس یک تابع H.R. Pourreza

مقدمه – برخی تبدیل های موجود مقدمه – برخی تبدیل های موجود سری فوریه تبدیل فوریه پیوسته تبدیل لاپلاس تبدیل فوریه گسسته تبدیل Z H.R. Pourreza

مقدمه – فوریه؟ Jean B. Joseph Fourier (1768-1830) یک تابع پیوسته و یا دارای گسستگی پریودیک می تواند توسط مجموعی از توایع سینوسی بیان شود J.B.J. Fourier ، 21 دسامبر 1807 H.R. Pourreza

مقدمه – تبدیل فوریه چگونه کار می کند؟ تبدیل فوریه (FT) توابع نمایی مختلط (سینوسوئیدها) را به عنوان بلوکهای سازنده استفاده می‌کند برای هر فرکانس از نمایی‌های مختلط، سینوسوئید با آن فرکانس با سیگنال مقایسه می‌شود. اگر سیگنال شامل آن فرکانس باشد، همبستگی بالاست و در نتیجه ضریب FT نیز بزرگ است اگر جزئی از طیف در سیگنال نباشد، همبستگی در آن فرکانس پایین است و در نتیجه ضریب FT کوچک و یا صفر است H.R. Pourreza

مقدمه – تبدیل فوریه در عمل H.R. Pourreza

مقدمه – تبدیل فوریه در عمل F H.R. Pourreza

مقدمه – تبدیل فوریه در عمل F H.R. Pourreza

مقدمه – تبدیل فوریه در عمل توابع نمایی مختلط به عنوان توابع پایه F H.R. Pourreza یک سیگنال اولتراسونیک A که با یک حسگر 1.5MHz اسکن شده و با نرخ 10MHz نمونه گیری شده است

مقدمه – سیگنالهای ایستا و غیر ایستا تبدیل فوریه (FT) تمامی اجزای موجود در دل سیگنال را شناسایی می‌کند، اما هیچ اطلاعاتی در خصوص مکان (زمان) این اجزا ارایه نمی‌کند. چرا؟ سگینالهای ایستا حاوی اجزای طیفی هستند که با زمان تغییر نمی‌کنند تمام اجزای طیفی همیشه وجود دارند نیازی به اطلاعات زمانی نیست FT برای سیگنالهای ایستا خوب عمل می‌کند این در حالی است که سیگنالهای غیرایستا محتوای طیفی متغیر بازمان دارند چگونه می‌توان فهمید که جزئیات طیفی کی ظاهر می‌شوند FT تنها مشخص می‌کند که چه اجزایی در طیف وجود دارد و نه زمانی که آن طیف‌ها وجود دارند نیاز به روش‌هایی برای تعیین زمانی اجزای طیفی است H.R. Pourreza

مقدمه – سیگنالهای ایستا و غیر ایستا به عبارتی دیگر: تبدیل فوریه اطلاعات موجود در تصویر (What?) را بیان می‌کند، اما پاسخ به محل وقوع (Where?) را ارایه نمی‌کند. بیان تصویر در حوزه مکان به شما مکان وقوع را می‌دهد، ولی نمیدانید که آنجا چه اتفاق افتاده. ما به بیانی برای تصویر احتیاج داریم که بگوید چه چیزی در تصویر، کجا اتفاق افتاده است. H.R. Pourreza

مقدمه – سیگنالهای ایستا و غیر ایستا ویژگیهای طیفی سیگنال ایستا با زمان تغییر نمی‌کنند سیگنالهاب غیرایستا طیف متغیربازمان دارند Concatenation H.R. Pourreza

مقدمه – سیگنالهای غیر ایستا 5 Hz 25 Hz 50 Hz اطلاع کامل از اینکه چه فرکانس‌هایی وجود دارد، اما عدم اطلاع از اینکه کجای زمان این فرکانس‌ها قرار دارند H.R. Pourreza

مقدمه – معایب FT توابع نمایی مختلط تا زمان بینهایت کشیده شده‌اند، بنابراین آنها میتوانند سیگنال را بصورت سراسری و نه محلی آنالیز کنند بنابراین، FT میتواند تنها به بیان اینکه چه فرکانس‌هایی در کل سیگنال وجود دارد خواهد پرداخت و نه اینکه این فرکانسها کی اتفاق افتاده‌اند برای بدست آوردن زمان وقوع این اجزای طیفی نیاز به آنالیز محلی است، اما چگونه؟ H.R. Pourreza

مقدمه – تبدیل فوریه زمان کوتاه (Short-Time Fourier Transform) یک تابع پنجره با طول محدود انتخاب کنید پنجره را در زمان t=0 بر روی سیگنال قرار دهید سیگنال را به کمک این پنجره برش بزنید روی سیگنال برش خورده FT را محاسبه کرده و نتیجه را ذخیره کنید پنجره را به مقدار کمی به سمت راست بلغزانید به مرحله 3 بروید تا اینکه به انتهای سیگنال برسید برای هر موقعیت زمانی که پنجره قرار گرفته، FT نتیجه‌ای متفاوت ارایه می‌کند بنابراین، هر FT اطلاعات طیفی برشی زمانی خاصی از سیگنال را فراهم کرده و بدین ترتیب اطلاعات همزمان طیف و زمان را ارایه می‌کند H.R. Pourreza

مقدمه – تبدیل فوریه زمان کوتاه (Short-Time Fourier Transform) H.R. Pourreza

مقدمه – تبدیل فوریه زمان کوتاه (Short-Time Fourier Transform) پارامتر زمان پارامتر فرکانس سیگنال تحت آنالیز هسته تبدیل فوریه (basis function) تابع پنجره‌ای کننده STFT سیگنال x(t): محاسبه شده برای پنجره به مرکزیت t=t' تابع پنجره‌ای کننده واقع در t=t' H.R. Pourreza

مقدمه – تبدیل فوریه زمان کوتاه در عمل مقدمه – تبدیل فوریه زمان کوتاه در عمل سینوسوئید پنجره‌ای شده این امکان را می‌دهد که تبدیل فوریه فقط فقط در تکیه‌گاه تابع پنجره محاسبه شود 100 200 300 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 H.R. Pourreza

مقدمه – تبدیل فوریه زمان کوتاه 300Hz 200Hz 100Hz 50Hz H.R. Pourreza

مقدمه – تبدیل فوریه زمان کوتاه STFT اطلاعات زمانی را به کمک محاسبه FTهای مختلف برای بازه‌های زمانی متوالی و سپس در کنار هم قرار دادن آنها فراهم می‌کند STFT یک بیان زمان-فرکانس ارایه می‌کند سیگنالهای با دامنه‌ی یک بعدی را به سیگنالهای دو بعدی زمان-فرکانس نگاشت می‌کند بازه‌های زمانی متوالی سیگنال به کمک لغزاندن یک پنجره بر روی سیگنال بدست می‌آید چگونه بایستی تابع پنجره‌ای کننده را انتخاب کرد؟ شکل مناسب برای پنجره چیست؟ مستطیلی، گوسی، ...؟ عرض مناسب برای پنجره چقدر است؟ H.R. Pourreza

مقدمه – انتخاب اندازه ی پنجره در STFT در دو کران: W(t) خیلی بزرگ است  STFT تبدیل به FT می شود. در این حالت ارایه خوبی از اطلاعات فرکانسی وجود دارد (رزلوشن فرکانسی خوب)، اما هیچ اطلاعات زمانی وجود ندارد W(t) خیلی کوتاه است  STFT همان اطلاعات زمانی را ارایه می کند. در این حالت ارایه خوبی از اطلاعات زمانی وجود دارد (رزلوشن زمانی خوب)، اما هیچ اطلاعات فرکانسی وجود ندارد پنجره عریض  رزلوشن فرکانسی خوب و رزلوشن زمانی ضعیف پنجره باریک  رزلوشن زمانی خوب و رزلوشن فرکانسی ضعیف با انتخاب پنجره، رزلوشن زمانی و فرکانسی هر دو تنظیم شده اند H.R. Pourreza

مقدمه – اصل عدم قطعیت Heisenberg رزلوشن زمانی: در حوزه ی تبدیل میزان جدا سازی دو spike چقدر خوب است. رزلوشن فرکانسی: در حوزه ی تبدیل میزان جداسازی دو جزء طیفی چقدر خوب است. نمی توانیم هر دوی رزلوشن زمانی و فرکانسی را به دلخواه زیاد کنیم!!! ما دقیقاً نمی دانیم که در چه لحظه ای یک فرکانس خاص اتفاق می افتد. تنها می توانیم بفهمیم که چه محدوده ی فرکانسی در چه فاصله ی زمانی رخ می دهد. H.R. Pourreza

مقدمه – STFT تابع پنجره ای گوسی: a=0.01 a=0.0001 a=0.00001 H.R. Pourreza

تبدیل موجک با استفاده از یک پنجره با طول متغیر می توان بر مشکل از پیش تعیین کردن رزلوشن غلبه کرد پنجره های با طول متغیر برای فرکانس های مختلف استفاده می‏شوند: آنالیز فرکانس های بالا استفاده از پنجره‏های باریک‏تر برای رزلوشن زمانی بهتر آنالیز فرکانس های پایین استفاده از پنجره‏های عریض برای رزلوشن فرکانسی بهتر عملکرد این روش خوب است، اگر سیگنالی که آنالیز می‏شود عمدتاً شامل اجزای فرکانسی با تغییرات آرام باشد. و گاهی اگر فرکانس بالایی هم دارد در یک زمان کوتاه و پشت سر هم باشند. اصل عدم قطعیت Heisenberg همچنان در نظر گرفته می‏شود تابعی که برای پنجره‏ای کردن سیگنال استفاده می‏شود، موجک نامیده می‏شود H.R. Pourreza

تبدیل موجک Scale = 1/frequency یک ثابت نرمالیزه کردن پارامتر scale، پارامتر انتقال، اندازه گیری زمان پارامتر scale، اندازه گیری فرکانس سیگنال تحت آنالیز تبدیل موجک پیوسته‏ی سیگنال x(t) با استفاده از آنالیز موجک (.) موجک مادر. همه‏ی هسته‏هایی که با استفاده تبدیل (شیفت) و/یا ضریبی از موجک مادر بدست می‏آیند Scale = 1/frequency H.R. Pourreza

WT در عمل فرکانس بالا (scale کوچک) فرکانس پایین (scale بزرگ) H.R. Pourreza

WT در عمل H.R. Pourreza

WT در عمل H.R. Pourreza

WT در عمل H.R. Pourreza

رزلوشن زمانی و فرکانسی 34 H.R. Pourreza

تبدیل موجک از دیدگاه ریاضی – بردار های پایه تبدیل موجک از دیدگاه ریاضی – بردار های پایه 35 هر بردار در يک فضاي بردار مي‌تواند بصورت يک ترکيب خطي بردارهاي پايه آن فضاي بردار نوشته شود. برای توابع توابع نمايي مختلط (سينوسوئیدها) توابع پايه براي FT هستند. اغلب توابعي متعامد هستند که يک سري خصايص مطلوب براي قسمت ترکيب دارند. H.R. Pourreza

تبدیل موجک از دیدگاه ریاضی – orthogonality و orthonormality 36 دو تابع f و g متعامد هستند اگر ضرب داخلي آنها صفر باشد: يک مجموعه توابع Фk، orthonormal هستند اگر دو به دو متعامد و همگي طول واحد داشته باشند. H.R. Pourreza

تبدیل موجک از دیدگاه ریاضی –CWT - مثال 37 سیگنال یک فرد عادی: H.R. Pourreza

تبدیل موجک از دیدگاه ریاضی –CWT - مثال 38 تبدیل CWT: H.R. Pourreza

تبدیل موجک از دیدگاه ریاضی –CWT - مثال 39 تبدیل CWT، همان شکل از زاویه بهتر: H.R. Pourreza

تبدیل موجک از دیدگاه ریاضی –CWT - مثال 40 سیگنال یک فرد مبتلا به آلزایمر: H.R. Pourreza

تبدیل موجک از دیدگاه ریاضی –CWT - مثال 41 تبدیل CWT: H.R. Pourreza

تبدیل موجک از دیدگاه ریاضی –CWT - مثال 42 تبدیل CWT، همان شکل از زاویه بهتر: H.R. Pourreza

تبدیل موجک از دیدگاه ریاضی – ترکیب موجک تبدیل موجک از دیدگاه ریاضی – ترکیب موجک 43 با برقرار بودن رابطه‌ی زیر حتی اگر توابع پایه orthonormal نباشند، تبدیل موجک برگشت‌پذیر است: رابطه‌ی بالا ایجاب می‌کند که یعنی: برای برقراری رابطه‌ی بالا موجک باید نوسانی باشد. تبدیل موجک معکوس: H.R. Pourreza

تبدیل موجک از دیدگاه ریاضی – گسسته کردن تبديل موجک پيوسته: سريهاي موجک تبدیل موجک از دیدگاه ریاضی – گسسته کردن تبديل موجک پيوسته: سريهاي موجک 44 برای استفاده از تبدیلات از جمله تبدیل موجک لازم است که تبدیلات با نمونه‌برداری گسسته شوند. در مورد WT، مي‌توان از تغييرات مقياس براي کاهش نرخ نمونه‌برداري استفاده کرد. در فرکانس‌هاي پایين‌تر نرخ نمونه‌برداري مي‌تواند از فرکانس‌های بالا کاهش بیشتری يابد، که در اين‌صورت به ميزان قابل توجهي در زمان محاسبات صرفه‌جويي مي‌شود. به عبارت دیگر: یعنی اگر بخواهيم از صفحه‌ی زمان در مقياسS1 با نرخ N1نمونه‌برداري کنيم، اين صفحه مي‌تواند در مقياس S2 با نرخ N2نمونه‌برداري شود. نرخ نایکوییست در صورتی که استفاده از ترکیب برای بازگشت مد نظر باشد باید رعایت شود. H.R. Pourreza

تبدیل موجک از دیدگاه ریاضی – گسسته کردن تبديل موجک پيوسته: سريهاي موجک تبدیل موجک از دیدگاه ریاضی – گسسته کردن تبديل موجک پيوسته: سريهاي موجک ابتدا پارامتر مقياس s روي يک شبکه لگاريتمي گسسته مي‌شود. سپس پارامتر زمان بر طبق پارامتر مقياس گسسته خواهد شد. H.R. Pourreza

تبدیل موجک از دیدگاه ریاضی – گسسته کردن تبديل موجک پيوسته: سريهاي موجک تبدیل موجک از دیدگاه ریاضی – گسسته کردن تبديل موجک پيوسته: سريهاي موجک گسسته‌سازي محور مقياس: از ميان تعداد نقاط نامحدود، فقط تعداد محدودي با استفاده از يک قانون لگاريتمي انتخاب مي‌شوند. معمولترين مبنا براي لگاريتم 2 است. اگر 2 انتخاب شود، فقط مقياسهاي 2، 4، 8، 16، 32، 64 و ... محاسبه مي‌شوند. گسسته سازی محور زمان: بر طبق محور مقياس گسسته مي‌شود. از آنجا که مقياسهاي گسسته با فاکتور 2 تغيير مي‌کنند، نرخ نمونه‌برداري محور زمان نيز براي هر مقياس با فاکتور 2 کاهش مي‌يابد. H.R. Pourreza

تبدیل موجک از دیدگاه ریاضی – گسسته کردن تبديل موجک پيوسته: سريهاي موجک تبدیل موجک از دیدگاه ریاضی – گسسته کردن تبديل موجک پيوسته: سريهاي موجک روند گسسته سازی به زبان ریاضی: مقياس گسسته به شکل و انتقال گسسته بصورت خواهد بود. و تابع موجک پیوسته: که در این رابطه: H.R. Pourreza

تبدیل موجک از دیدگاه ریاضی – تبدیل موجک گسسته – چرا؟ تبدیل موجک از دیدگاه ریاضی – تبدیل موجک گسسته – چرا؟ سريهاي موجک در واقع يک نسخه نمونه‌برداري شده از CWT هستند، و اطلاعاتي که بخصوص در مواقعي که ساخت مجدد سيگنال مد نظر است، ارائه مي‌دهند، به شدت تکراري است. گسسته کردن CWT به زمان محاسبات و منابع قابل توجهي نياز دارد. تبديل موجک گسسته (DWT) اطلاعات کافي و مناسبي را هم در مورد تجزيه و هم ترکيب سيگنال اصلي، با درصد کاهش قابل توجهي در زمان محاسبات، ارائه مي‌دهد. H.R. Pourreza

تبدیل موجک از دیدگاه ریاضی – تبدیل موجک گسسته - DWT کدگذاری subband کدگذاری هرمی یا چند مقیاسی در تبدیل موجک گسسته، فيلترهايي از فرکانسهاي قطع مختلف براي تجزيه سيگنال در مقياسهاي متفاوت استفاده مي‌شوند. سيگنال از يک سري فيلترهاي بالاگذر و پایین گذر براي تجزيه فرکانسهاي بالا و پایین عبور داده مي‌شود. درجه تفکيک‌پذيري سيگنال با عمليات فيلترينگ تغییر می کند. مقياس با عمليات upsampling و downsampling (subsampling) تغيير مي‌کند. H.R. Pourreza

تبدیل موجک از دیدگاه ریاضی – تبدیل موجک گسسته - DWT ضرايب DWT معمولاً روي يک شبکه دوتايي از CWT نمونه‌برداري مي‌شوند، يعني: و با استفاده از اين مقادير داريم: و عمليات فيلترينگ يک سيگنال معادل است با کانولوشن سيگنال با يک پاسخ ضربه از فيلتر فرآيند با عبور سيگنال از يک فيلتر پائين‌گذر ديجيتال half band با پاسخ ضربه h[n]، آغاز مي‌شود. کانولوشن گسسته H.R. Pourreza

تبدیل موجک از دیدگاه ریاضی – تبدیل موجک گسسته - DWT واحد فرکانس در سيگنالهاي گسسته زماني راديان است. فرکانس نمونه‌برداري سيگنال برابر راديان بر حسب فرکانس راديان است. نرخ نایکویست برابر راديان بر ثانيه در فضاي فرکانس گسسته است. فيلتر پائين‌گذر رزولوشن را نصف مي‌کند اما مقياس را بدون تغيير مي‌گذارد. سيگنال سپس با فاکتور دو subsample مي‌شود زيرا نيمي از نمونه‌ها تکراري هستند. اين امر مقياس را دو برابر مي‌کند. H.R. Pourreza

تبدیل موجک از دیدگاه ریاضی – تبدیل موجک گسسته - DWT DWT سيگنال را در فرکانسهاي مختلف با رزولوشنهاي متفاوت با تجزيه سيگنال به تقريب (approximation) کلي و اطلاعات جزئيات (detail)، تحليل مي‌کند. DWT دو مجموعه تابع مقیاس و موجک را که به ترتيب مربوط به فيلترهاي پایين‌گذر و بالاگذر هستند، استفاده می کند. تجزيه سيگنال به باندهاي فرکانسي مختلف برابر است با فيلترينگ بالاگذر و پایين‌گذر پي‌درپي سيگنال در بعد زمان. سيگنال اصلي، x[n]، ابتدا از يک فيلتر بالاگذر half band، g[n]، و يک فيلتر پایين‌گذر، h[n]، عبور داده مي‌شود. بعد از عمليات فيلترينگ نيمي از نمونه ها بر طبق قانون نایکویست مي‌توانند حذف شوند. H.R. Pourreza

تبدیل موجک از دیدگاه ریاضی – تبدیل موجک گسسته - DWT H.R. Pourreza

تبدیل موجک از دیدگاه ریاضی – تبدیل موجک گسسته - DWT تفاوت اين تبديل با تبديل فوريه اينست که اطلاعات زماني اين فرکانسها از دست نمي‌رود. رزلوشن زمانی بستگي به سطحي دارد که اين فرکانسها در آن ظاهر شده‌اند. اگر اطلاعات اصلي سيگنال در فرکانسهاي بالا قرار گرفته باشد، رزلوشن زمانی بیشتر است و اين فرکانسها با تعداد نمونه هاي بيشتري مشخص مي‌شوند. اگر اطلاعات اصلي فقط در فرکانسهاي پایين قرار گرفته باشد، رزلوشن زمانی خیلی بالا نخواهد بود و تعداد نمونه کمي براي بيان سيگنال در اين فرکانسها استفاده خواهد شد. DWT رزولوشن زماني خوبي را براي فرکانسهاي بالا و رزولوشن فرکانسي خوبي را براي فرکانسهاي پایين ارائه مي‌دهد. H.R. Pourreza

تبدیل موجک از دیدگاه ریاضی – تبدیل موجک گسسته - DWT يک سيگنال نوعي را با 512 نمونه که بعد دامنه آن نرمالايز شده است. محور افقي تعداد نمونه‌ها و محور عمودي دامنه نرمالايز شده، را نشان مي‌دهد. شکل پایین نیز 8 سطح DWT سيگنال شکل بالا را نشان مي‌دهد. 256 نمونه آخر در اين سيگنال معادل باند فرکانسي حداکثر سيگنال و 128 نمونه قبلي برابر باند فرکانسي حداکثر در سطح دوم و همينطور الي آخر مي‌باشد فقط 64 نمونه اول که معادل پایينترين فرکانسها در تجزيه هستند، اطلاعات مناسب را در بر دارند، و بقيه سيگنال در واقع اطلاعاتي ندارد. همه بجز 64 تاي اول بدون اتلاف اطلاعات مي‌توانند حذف شوند. H.R. Pourreza

تبدیل موجک از دیدگاه ریاضی – تبدیل موجک گسسته - DWT g[n] فيلتر بالاگذر و h[n] فيلتر پایين‌گذر و L طول فيلتر (تعداد نقاط) است. عمليات فيلترينگ: عملیات subsampling: H.R. Pourreza

تبدیل موجک از دیدگاه ریاضی – تبدیل موجک گسسته - DWT براي بازسازي سيگنال اوليه کافيست فرآيند فوق را معکوس کنيم. 1- سيگنال در هر سطح با فاکتور دو upsample مي‌شود. 2- از فيلترهاي ترکيبي g’[n] و h’[n] (به ترتيب بالاگذر و پایين‌گذر) عبور داده مي‌شود. 3- سپس جمع صورت مي‌گيرد. فرمول بازسازي براي هر سطح: H.R. Pourreza

تبدیل موجک از دیدگاه ریاضی – تبدیل موجک گسسته - کاربرد تبدیل موجک از دیدگاه ریاضی – تبدیل موجک گسسته - کاربرد يکي از بسترهايي که از اين خصوصيت تبديل موجک بيشترين استفاده را مي‌کند، پردازش تصوير است. تصاوير، بالاخص تصاوير با درجه تفکيک‌پذيري بالا، فضاي زيادي براي ذخيره‌سازي نیاز دارند. DWT مي‌تواند براي کاهش اندازه تصوير بدون کاهش زياد تفکيک‌پذيري بکار رود. براي يک تصوير داده شده، مي‌توان DWT هر سطر را محاسبه کرد و ضرايبي را که از يک آستانه خاص پایينتر هستند، دور ریخت. براي ساخت دوباره سطرهاي تصوير اصلي، به سطرها به اندازه ضرايب حذف شده صفر اضافه مي‌کنيم و معکوس DWT را اجرا مي‌کنيم. H.R. Pourreza

تبدیل موجک دوبعدی H.R. Pourreza

تبدیل موجک دوبعدی Horizontal high pass Frequency domain H.R. Pourreza Horizontal low pass

اعمال فیلتر موجک جدایی پذیر در هر دو جهت تبدیل موجک دوبعدی Horizontal high pass, vertical low-pass Horizontal high pass, vertical high pass اعمال فیلتر موجک جدایی پذیر در هر دو جهت Horizontal low pass, vertical high-pass Horizontal low pass, Vertical low-pass H.R. Pourreza

تبدیل موجک دوبعدی H.R. Pourreza

تبدیل موجک دوبعدی - حذف نویز H.R. Pourreza

تبدیل موجک دوبعدی - حذف نویز H.R. Pourreza

تبدیل موجک دوبعدی - موجک بسته ای تبدیل موجک دوبعدی - موجک بسته ای H.R. Pourreza

تبدیل موجک دوبعدی - موجک بسته ای تبدیل موجک دوبعدی - موجک بسته ای H.R. Pourreza

تبدیل موجک دوبعدی - موجک بسته ای تبدیل موجک دوبعدی - موجک بسته ای H.R. Pourreza

تبدیل موجک دوبعدی - موجک بسته ای تبدیل موجک دوبعدی - موجک بسته ای H.R. Pourreza

تبدیل موجک دوبعدی - موجک بسته ای تبدیل موجک دوبعدی - موجک بسته ای H.R. Pourreza

اما نگاهی دیگر: بیان تصویر بصورت چند رزلوشنی (هرم رزلوشن) اما نگاهی دیگر: بیان تصویر بصورت چند رزلوشنی (هرم رزلوشن) اطلاعات تصویر در رزلوشن‌های مختلف قرار دارد انواع هرم‌ها هرم گوسی هرم لاپلاسی هرم موجک هرم جهت‌دار (steerable) H.R. Pourreza

هرم گوسی تصویر با یک فیلتر گوسی هموار می‌شود H.R. Pourreza

هرم گوسی H.R. Pourreza

هرم گوسی برخی کاربردها مشاهده یک شیء در اسکیل‌های مکانی مختلف پردازش خشن به ظریف (Coarse-to-fine) H.R. Pourreza

هرم لاپلاسی با استفاده از تفاضل بین تصویر در رزلوشن خاصی از هرم گوسی و نسخه‌ی بزرگ شده با رزلوشن پایین‌تر با استفاده از فیلتر میان‌گذر: هر سطح فرکانس‌هایی را بیان می‌کند که در سطح دیگر بیان نشده H.R. Pourreza

هرم لاپلاسی H.R. Pourreza

هرم لاپلاسی H.R. Pourreza

هرم لاپلاسی بازسازی تصویر در هرم لاپلاسی H.R. Pourreza

هرم موجک با استفاده از خاصیت جدایی‌پذیری، به کمک فیلترهای یک بعدی پیاده‌سازی شده است LL HL LH HH H.R. Pourreza

هرم موجک H.R. Pourreza

هرم موجک – Lifting Scheme نسل دوم موجک ها مزایا قابلیت پیاده سریع تبدیل موجک عدم نیاز به بافر کمکی در بدست اوردن تبدیل عدم نیاز به تبدیل فوریه H.R. Pourreza

هرم موجک – Lifting Scheme نسل دوم موجک ها پیاده‌سازی تبدیل موجک به روش Mallat H.R. Pourreza

هرم موجک – Lifting Scheme نسل دوم موجک ها Split H.R. Pourreza

هرم موجک – Lifting Scheme نسل دوم موجک ها Predict H.R. Pourreza

هرم موجک – Lifting Scheme نسل دوم موجک ها Predict H.R. Pourreza

هرم موجک – Lifting Scheme نسل دوم موجک ها Update فیلتر Pred.: ½{-1,2,-1} فیلتر Update: 1/8{-1,2,6,2,-1} H.R. Pourreza

هرم موجک – Lifting Scheme نسل دوم موجک ها H.R. Pourreza

هرم موجک – Lifting Scheme نسل دوم موجک ها = low-pass component of = high-pass component of H.R. Pourreza