Goodness-of-Fit Tests and Contingency Tables Chapter 14 Goodness-of-Fit Tests and Contingency Tables Próf fyrir mátgæði og tengslatöflur

The Chi-Square Random Variable Chi-Square slembibreytan A random sample of n observations each of which can be classified into exactly one of K categories is selected. Denote the observed numbers in each category by O1, O2, . . ., OK. If the null hypothesis (H0) specifies probabilities 1, 2, . . ., K for an observation falling into each of these categories, the expected numbers in the categories under H0 would be Slembiúrtak ,með n athugunum sem hver fyrir sig flokkast í nákvæmlega einn af K flokkum, er valið. Táknum gildin sem fundin eru í hverjum flokki með O1, O2, . . ., OK. Ef núlltilgátan (H0) tilgreinir líkindin 1, 2, . . ., K á að athugun falli inn í sérhvern þessa flokka, væru væntigildi í flokkunum undir H0 eftirfarandi If the null hypothesis in true and the sample size is large enough so that the expected values are at least five, then the random variable associated with Ef núlltilgátan stenst og úrtaksstærðin er nægilega stór, svo væntigildin séu a.m.k. fimm, þá gildir um slembibreytuna sem byggirá eftirfarandi has, to a good approximation, a chi-square distribution with (K – 1) degrees of freedom. að hún hefur, við góða nálgun, chi-square dreifngu með (K-1) frígráðum.

A Goodness-of-Fit Test Próf fyrir mátgæði A goodness-of-fit test, of significance level , of H0 against the alternative that the specified probabilities are not correct is based on the decision rule Próf fyrir mátgæði, við marktækni Próf fyrir mátgæði, við marktæknistig , við H0 gegn valtilgátunni að tilgreind líkindi séu ekki rétt er byggð á ákvörðunarreglunni where 2 K-1,  is the number for which þar sem 2 K-1,  er gildið þar sem And the random variable 2 K-1 follows a chi-square distribution with (K – 1) degrees of freedom. Og slembibreytan 2 K-1 fylgir chi-square dreifingu með (K – 1) frígráðum.

Goodness-of-Fit Tests When Population Parameters are Estimated Próf fyrir mátgæði þegar þýðisstikar eru metnir Suppose that a null hypothesis specifies category probabilities that depend on the estimation (from the data) of m unknown population parameters. The appropriate goodness-of-fit test of the null hypothesis when population parameters are estimated is the same as that previously mentioned, except that the number of degrees of freedom for the chi-square random variable is Gerum ráð fyrir að núlltilgátan tilgreini flokk líkinda sem háð eru mati (gagna) m óþekktra þýðisstika. Viðeigandi próf fyrir mátgæði er það sama og áður var minnst á, nema að fjöldi frígráða fyrir chi-square slembibreytuna er Where K is the number of categories. Þar sem K er fjöldi flokka.

Bowman-Shelton Test for Normality Bowman-Shelton próf fyrir normal dreifingu The Bowman-Shelton Test for Normality is based on the closeness to 0 of the sample skewness and the closeness to 3 of the sample kurtosis. The test statistic is Bowman-Shelton próf fyrir normal dreifingu byggir á hve nálægt 0 úrtaksskekkjan er og hve nálægt 3 ferilris úrtaksins er. Prófgildið er It is known that as the number of sample observations becomes very large, this statistic has, under the null hypothesis that the population distribution is normal, a chi-square distribution with 2 degrees of freedom. The null hypothesis is, of course, rejected for large values of the test statistic. Vitað er að þegar fjöldi athugana í úrtakinu verður mjög mikill, þá hefur þetta prófgildi, undir núlltilgátunni að þýðisdreifingin sé normal, chi-squrae dreifingu með 2 frígráðum. Núlltilgátunni er, auðvitað, hafnað fyrir stór prófgildi.

r x c Contingency Table (Table 14.8) Attribute B Attribute A 1 2 . . . C Totals . r O11 O21 Or1 C1 O12 O22 Or2 C2 … O1c O2c Orc Cc R1 R2 Rr n

Chi-Square Random Variable for Contingency Tables Chi-Square slembreytur fyrir tengslatöflur It can be shown that under the null hypothesis the random variable associated with Hægt er að sýna að undir núlltilgátunni, þá gildir um slembibreytuna sem byggir á eftirfarandi has, to a good approximation, a chi-square distribution with (r – 1)(c – 1) degrees of freedom. The approximation works well if each of the estimated expected numbers Eij is at least 5. Sometimes adjacent classes can be combined in order to meet this assumption. að hún hefur, við góða nálgun, chi-square dreifngu með (r - 1) (c - 1) frígráðum. Nálgunin virkar vel ef sérhvert metið væntigildi Eij er a.m.k. 5. Stundum geta aðliggjandi (samliggjandi, aðlægir) flokkar verið sameinaðir til að uppfylla þessa forsendu.

A Test of Association in Contingency Tables Próf fyrir tengslum í tengslatöflum Suppose that a sample of n observations is cross classified according to two attributes in an r x c contingency table. Denote by Oij the number of observations in the cell that is in the ith row and the jth column. If the null hypothesis is Gerum ráð fyrir að úrtak með n athugunum sé víxlflokkað byggt á tveimur flokkunarbreytum í r x c tengslatöflu. Táknum með Oij fjölda athugana í flokk sem er í i línu og j dálk (súlu). Ef núlltilgátaner H0 : Engin tengsl eru milli flokkunarbreytanna tveggja í þýðinu The estimated expected number of observations in this cell, under H0, is Þá er metil væntigildi athugana í þessum flokk, undir H0 , eftirfarandi Where Ri and Cj are the corresponding row and column totals. A test of association at a significance level  is based on the following decision rule Þar sem Ri og Cj eru samsvarandi samtala fyrir línur og dálka.

Key Words Bowman-Shelton Test for Normality 2 Random Variable Goodness-of-Fit Tests Specified Parameters Unknown Parameters Poisson Distribution Normal Distribution Kurtosis Skewness Test of Association