1 En kisa yollarin bulunmasi Verilen bir undirected (yonsuz) graf ve kaynak vertex s, bir yol (path) in uzunlugu bu yol uzerindeki edge (kenar) lerin sayisidir. Amac, grafta s den diger vertex lere olan en kisa yollari bulmak

2 Breadth-First-Search (BFS) Verilen: – G = (V, E) –Belli bir source vertex Sistematik olarak s den erisilebilinen her vertexi bulmak icin G nin edge lerini inceler –S den erisilebilen vertex lerin s ye olan en kisa yollarini hesaplar –Root u s olan ve butun erisilebilen vertex leri iceren breadth-first-tree uretir

3 Breadth-First-Search (BFS) BFS colors each vertex: white -- kesfedilmemis (undiscovered) gray -- kesfedilmis fakat “hala bitirilmemis” black -- bitisik tum vertex leri kesfedilmis

4 BFS for Shortest Paths Finished Discovered Undiscovered S 1 1 1

5 BFS for Shortest Paths Finished Discovered Undiscovered S S

6 BFS for Shortest Paths Finished Discovered Undiscovered S S S

7 BFS(G,s) 1.for each vertex u in (V[G] \ {s}) 2do color[u]  white 3d[u]   4  [u]  nil 5color[s]  gray 6d[s]  0 7  [s]  nil 8Q   9enqueue(Q,s) 10while Q   11do u  dequeue(Q) 12for each v in Adj[u] 13do if color[v] = white 14then color[v]  gray 15d[v]  d[u]  [v]  u 17enqueue(Q,v) 18color[u]  black white: undiscovered gray: discovered black: finished Q: a queue of discovered vertices color[v]: color of v d[v]: distance from s to v  [v]: predecessor of v

8 Operations of BFS on a Graph

9

10 Operations of BFS on a Graph

11 Operations of BFS on a Graph

12 Operations of BFS on a Graph

13 Operations of BFS on a Graph

14 Operations of BFS on a Graph

15 Operations of BFS on a Graph

16 Operations of BFS on a Graph

17 Breadth-First Tree Graf G = (V, E) ve kaynak vertex s icin, G nin predecessor subgraph i G  = (V , E  ) – V  ={v  V :  [v]  NIL} – E  ={(  [v],v)  E : v  V  - {s}} G  nin subgraph i breadth-first tree dir eger – V  s den erisilebilinen vertex lerden (vertices) olusuyorsa – Her v  V  icin, G  de s den v ye tek bir yolsa (ayni zamanda bu yol en kisa yolsa) E  deki edge ler tree edges olarak adlandirilir. |E  | = |V  | - 1

18 Breadth-First Tree Verilen bir graf icin bir cok BFS tree bulunabilir. –Search in hangi vertex den basladigina ve kuyruga vertex ler hangi sirada yerlestirildigine bagli olarak BFS tree nin edge lerine tree edges G nin geri kalan edge lerine de cross edges denir.

19 Analysis of BFS Initialization O(V). Traversal Loop –Her bir vertex en fazla bir kez kuyruga itilir ve kuyruktan cekilir, ve her bir islem O(1) zaman alir. Dolayisiyle toplam zaman O(V). –Her bir vertex in adjacency list en fazla bir kez taranir. Adjacency liste lerin boylarinin toplami  (E). BFS nin calisma zamani O(V+E).

20 Shortest Paths Shortest-Path distance  (s, v) s den v ye minimum sayida edge sahip yolun uzunlugu, eger boyle bir yol yoksa 

21 Depth-First-Search (DFS) En son kesfedilen vertex v den itibaren edge leri incele Mumkun oldugunca derinlige in “Search as deep as possible first”

22 Depth-First Trees Boyama teknigi BFS dekine benzer. DFS nin predecessor subgraph i G  = (V, E  ), burada E  ={(  [v],v) : v  V ve  [v]  NIL}. G  nin predecessor subgraph i bir kac depth-first trees iceren bir depth-first forest olusturur. E  deki edge ler tree edges olarak adlandirilir. Her bir vertex u 2 timestamps e sahip: d[u] u ilk olarak discover edildigi zamani kaydeder (grayed) ve f[u] search in bitis zamanini (blackens) kaydeder. Her bir vertex u, d[u] < f[u].

23 DFS(G) 1. for each vertex u  V[G] 2. do color[u]  WHITE 3.  [u]  NIL 4. time  0 5. for each vertex u  V[G] 6. do if color[v] = WHITE 7. then DFS-Visit( v )

24 DFS-Visit(u) 1. color[u]  GRAY  White vertex u discover edildi 2. d[u]  ++time 3. for each vertex v  Adj[u] 4. do if color[v] = WHITE 5. then  [v]  u 6. DFS-Visit( v ) 7. color[u]  BLACK  Blacken u ; it is finished. 8. f[u]  time++

25 Operations of DFS

26 Analysis of DFS 1-2 & 5-7 satirlarindaki loop lar  (V) zaman alir (DFS-Visit i saymazsak). DFS-visit her bir white vertex v  V ilk olarak gray e boyandiginda bir kez cagrilir. DFS-Visit deki 3-6 line lari |Adj[v]| kadar execute edilir. DFS-Visit in toplam calisma suresi  v  V |Adj[v]| =  (E) DFS nin toplam calisma suresi  (V+E).