机电耦合系数 electro-mechanical coupling factor 一般情况下的压电方程组 机电耦合因子 wangcl@sdu.edu.cn
一般情况下的压电方程组 在上节中以z切割的钛酸钡晶片为例,分别讨论了压电方程组以及各常数之间的关系。下面将进一步给出一般情况下的压电方程组以及各常数之间的关系。虽然一般情况下的压电方程组比较复杂,但是处理方法以及各常数之间的关系,基本上与节中一致。所以这里只给出结果,不作详细地重复讨论。 wangcl@sdu.edu.cn
第一类压电方程组(Xj,En) wangcl@sdu.edu.cn
第二类压电方程组(xi,En) wangcl@sdu.edu.cn
第三类压电方程组(Xj,Dm) wangcl@sdu.edu.cn
第四类压电方程组(xi,Dm) wangcl@sdu.edu.cn
(1)表中i、j=1、2、3、4、5、6,m、n=1、2、3; (2)表中dt矩阵是d矩阵的转置矩阵,et、gt和ht是e、g和h的转置矩阵。 (3)表中短路弹性柔顺常数sEij=(xi/Xj)E为短路时由于应力分量Xj变化引起应变分量xi的变化与应力分量Xj的变化之比。 wangcl@sdu.edu.cn
压电常数dni=(xi/En)X =(Dn/Xi)E为机械自由时由于电场分量En变化引起应变分量xi的变化与电场分量En的变化之比;或者短路时,由于应力分量Xi变化引起电位移分量Dn的变化与应力分量Xi的变化之比。介电常数Xmn=(Dm/En)X为机械自由时,由于电场分量En变化引起电位移分量Dn的变化与电场分量En的变化之比。其它常数与此类似。 wangcl@sdu.edu.cn
压电方程组中各常数之间的关系 介电常数与压电常数之间的关系 wangcl@sdu.edu.cn
压电方程组中各常数之间的关系 弹性常数与压电常数之间的关系 wangcl@sdu.edu.cn
各类压电常数之间的关系 wangcl@sdu.edu.cn
举例说明: 第一类压电方程组分量表达式 wangcl@sdu.edu.cn
每个方程又包括九项,前六项与应力有关,后三项与电场强度有关。 可见压电方程组共包括九个方程式, 前六个称为弹性方程, 后三个称为介电方程。 每个方程又包括九项,前六项与应力有关,后三项与电场强度有关。 wangcl@sdu.edu.cn
第一类压电方程组的矩阵形式为: 弹性方程部分 wangcl@sdu.edu.cn
第一类压电方程组的矩阵形式为: 介电方程部分 wangcl@sdu.edu.cn
可见dt矩阵为六行三列,d矩阵三行六列。dt是d的转置矩阵(或称易位矩阵)。d矩阵的行与列互换就成为dt矩阵。其余三类压电方程组的情况与(4-27)、(4-28)和(4-29)式类似,这里不再一一列出。在压电晶体中,除去属于三斜晶系的压电晶体外,其它晶系的对称性较高,独立的弹性常数、介电常数和压电常数随着对称性程度增高而相应减少,压电方程组也相对应简化。 wangcl@sdu.edu.cn
几种典型晶体的压电方程组 实用化晶体: 石英:属32点群 钛酸钡:属4mm点群 铌酸锂和钽酸锂:属3m点群 wangcl@sdu.edu.cn
钛酸钡晶体的第一类方程组 wangcl@sdu.edu.cn
分量形式为 wangcl@sdu.edu.cn
铌酸锂和钽酸锂的第一类方程组 wangcl@sdu.edu.cn
分量形式为 wangcl@sdu.edu.cn
压电陶瓷的第一类方程组 wangcl@sdu.edu.cn
写成为分量为 wangcl@sdu.edu.cn
几点注意 在这里,这四类压电方程组是作为根据实验结果而得到的,但是从热力学理论也可以严格地导出这四类压电方程组。 在本章中讨论这四类压电方程组时,并没有考虑压电晶体与工作环境(例如空气)交换热量问题。因为压电体工作时机械能与电能之间转换过程是很快的,所以可以近似认为转换过程中与工作环境无热量交换。就是说压电方程组是在绝热过程中建立的。 wangcl@sdu.edu.cn
关于单位问题。 压电方程组中各物理量的单位,在实际应用中,常用MKS单位制,因此这里中也采用MKS单位制。参考资料中也有采用CGS单位制的。为了便于换算,在表4-6中给出了MKS单位制与CGS单位制之间的换算因子。 wangcl@sdu.edu.cn
压电方程组是分析讨论压电元件性能的根据,在大多数情况下,是从第一类压电方程组出发,其次是第三类方程组。至于第二类和第四类压电方程组,往往只在某一个方向的应变分量远大于其它应变分量的情况下,才被选用(例如,在细长杆压电元件以及利用厚度振动模的压电元件中,有时就选用第二类和第四类压电方程组)。 wangcl@sdu.edu.cn
机电耦合系数 Electro-mechanical coupling factor 前面已经引入了介电常数、弹性常数和压电常数来描写材料的压电性质,但是在实际应用上,还使用另一个衡量元件压电性质好坏的重要物理量—机电耦合系数(也称压电耦合因子)。例如,压电滤波器的频率宽度、压电变压器的升压比等等都直接与机电耦合系数有关。 wangcl@sdu.edu.cn
所谓“机电耦合系数”就是指压电材料中与压电效应相联系的相互作用强度(也称压电能密度)与弹性能密度和介电能密度的几何平均值之比。用数学式表示为: (4-37) wangcl@sdu.edu.cn
UI为相互作用能密度,UM为弹性能密度, UE为介电能密度, 为弹性能密度和介电能密度的几何平均值。 式中k代表机电耦合系数, UI为相互作用能密度,UM为弹性能密度, UE为介电能密度, 为弹性能密度和介电能密度的几何平均值。 wangcl@sdu.edu.cn
因为压电常数、弹性常数、介电常数和机电耦合系数都是描写材料压电性能的物理量,因此机电耦合系数与这些常数之间存在一定的关系。这个关系可通过压电材料的内能以及机电耦合系数的定义(4-37)式而导出。 wangcl@sdu.edu.cn
压电晶体的内能与应力、应变、电位移和电场强度之间的一般关系为: (4-38) 式中U为压电晶体的内能。 wangcl@sdu.edu.cn
如果要得到某个压电晶体的内能表达式,将该晶体的压电方程组代入到内能表达式(4-38)后,即可得到体系的内能U。实际上常用的压电元件都是采用沿晶体的某个方向切下的晶片,例如薄长条片、薄圆片或细长杆等都具有较简单的形状,这样的压电元件的内能表示式也比较简单。 wangcl@sdu.edu.cn
求出内能表示式后,再代入到机电耦合系数表达式(4-37),即得到相应的机电耦合系数k。 举例如下: 薄长条片的机电耦合系数; 细长杆的机电耦合系数; 平面机电耦合系数; 厚度切变机电耦合系数; wangcl@sdu.edu.cn
薄长条片的机电耦合系数 设为z切割晶片,如图4-17所示,若晶片受到沿x方向的应力X1与沿z 方向的电场强度E3 的作用,其它X2、X3、X4、X5、X6、E1、E2皆等于零,在此情况下,晶片的内能表示式为: wangcl@sdu.edu.cn
图4-17 薄长条片压电晶片示意图 wangcl@sdu.edu.cn
选X、E为自变量,则晶体的第一类压电方程组为, wangcl@sdu.edu.cn
将上式代入(4-39)式得到晶片的内能表示式为: 式中:sE11X12/2为晶片的弹性能密度UM;X33E32/2为晶片的介电能密度UE;d31E3X1/2为与压电效应有关的相互作用能密度UI。 wangcl@sdu.edu.cn
将这些结果代入到(4-37)式即得晶片的机电耦合系数k为: 即: 与元件的形状有关! wangcl@sdu.edu.cn
式中机电耦合系数k31的前一个下标代表电场的方向是沿z 轴方向,后一个下足标代表晶片是x方向的伸缩振动。从(4-40)式可以看出长条晶片的机电耦合系数k31与压电常数d31成正比;与短路弹性柔顺常数sE11和自由介电常数X33的乘积的平方根成反比 。 wangcl@sdu.edu.cn
k31的数值举例 钛酸钡晶片: d31=-34.510-12 库仑/牛顿 sE11 =8.0510-12 米2/牛顿 X33 =1688.8510-12 法拉/米 故有:k31=0.317 wangcl@sdu.edu.cn
k31的数值举例 PZT-4压电陶瓷 d31 =-12310-12 库仑/牛顿 sE11 =12.310-12 米2/牛顿 X33 =13008.8510-12 法拉/米 故有:k31=0.327 wangcl@sdu.edu.cn
钛酸钡陶瓷 d31 =-7810-12 库仑/牛顿 sE11 =9.110-12 米2/牛顿 X33 =17008.8510-12 法拉/米 故有:k31=0.212 计算时已将d31中的负号省去 wangcl@sdu.edu.cn
细长杆的机电耦合系数 设细长杆的长度方向与z轴平行,电极面与z轴垂直。若杆只受到沿z轴方向的应力X3以及电场E3的作用,在此情况下,杆的内能表示式为: wangcl@sdu.edu.cn
图4-18 细长杆压电振子示意图 选T、E为自变量,杆的第一类压电方程组为 wangcl@sdu.edu.cn
代入到(4-41)式得到杆的内能为: 故得: wangcl@sdu.edu.cn
再代入到(4-37)式,即得细长杆的机电耦合系数为, 可见电场与形变都沿z方向的细长杆的机电耦合系数与d33成正比,与sE33X33的根方成反比。 wangcl@sdu.edu.cn
k33的数值举例 钛酸钡晶片: d33=86.510-12 库仑/牛顿 sE33 =15.710-12 米2/牛顿 X33 =1688.8510-12 法拉/米 故得:k33=0.565 wangcl@sdu.edu.cn
PZT-4压电陶瓷 d33=28910-12 库仑/牛顿 sE 33=15.510-12 米2/牛顿 X33 =13008.8510-12 法拉/米 故得:k33=0.70 wangcl@sdu.edu.cn
钛酸钡陶瓷 d33=19010-12 库仑/牛顿 sE33 =9.5110-12 米2/牛顿 X33 =17008.8510-12 法拉/米 故得:k33=0.50 wangcl@sdu.edu.cn
平面机电耦合系数 设所研究的晶片为z 切割的薄圆片,并有sE11=sE22,d31=d32,电极面与z轴垂直,晶片只受到应力X1与X2以及电场E3的作用。在此情况下,选X、E为自变量,则第一类压电方程组为: wangcl@sdu.edu.cn
图4-19 薄圆片压电振子示意图 wangcl@sdu.edu.cn
考虑到薄圆片存在sE11=sE22,d31=d32等对称性,因而有X1=X2=Xp,并引入平面应变xp=x1+x2,平面压电常数dp=2d31,平面弹性柔顺常数sEp=2(sE11+sE22),利用这些关系,压电方程组可简化为: wangcl@sdu.edu.cn
X1=X2=Xp,xp=x1+x2,dp=2d31,sEp=2(sE11+sE22) 即: wangcl@sdu.edu.cn
又薄片的内能表示式为: 即: wangcl@sdu.edu.cn
将(4-43)式代入(4-44)式可得 式中: wangcl@sdu.edu.cn
再代入到(4-37)式,即得薄圆片的机电耦合系数为: wangcl@sdu.edu.cn
式中kp称为平面机电耦合系数,=-sE12/sE11称为泊松比,可见平面机电耦合系数kp > k31。应该注意,因为导出(4-45)式时曾用到sE11=sE22,d31=d32等对称性关系,所以(4-45)式规定的平面机电耦合系数适用范围为:属于四方晶系中的4、4mm点群,三方晶系中的3、3m点群,六方晶系中的6、6mm点群等晶体以及压电陶瓷。 wangcl@sdu.edu.cn
kp 的数值举例 钛酸钡晶体的kp值: =-sE12/sE11=2.3510-12/8.0810-12= 0.292 wangcl@sdu.edu.cn
PZT-4压电陶瓷的kp值: =4.0510-12/12.310-12=0.33 k31=0.327 故:kp =0.562 wangcl@sdu.edu.cn
钛酸钡陶瓷的kp值 =2.710-12/9.110-12=0.296 k31=0.212 故有:kp =0.358 wangcl@sdu.edu.cn
厚度切变机电耦合系数 设有压电常数d150的x切割的晶片,电极面与x轴垂直,若此晶片只受到切应力X5以及电场强度E1的作用。在此情况下选X5、E1为自变量,第一类压电方程组为: wangcl@sdu.edu.cn
厚度切变压电振子示意图 图4-20 wangcl@sdu.edu.cn
晶片内能为: wangcl@sdu.edu.cn
代入到(4-37)式,即得晶片的机电耦合系数为: wangcl@sdu.edu.cn
对于四方晶系、三方晶系和六方晶系中的晶体,具有d150的压电晶体以及压电陶瓷(z轴为极化轴)都存在sE55=sE44,故(4-46)式可改写为 wangcl@sdu.edu.cn
对于四方晶系、三方晶系和六方晶系中的大多数晶体以及压电陶瓷,除了sE55=sE44外,还存在d14=d15关系。于是可得到切变机电耦合系数k14为: wangcl@sdu.edu.cn
可见切变机电耦合系数k15和k14与d15成正比,与sE55X11平方跟成反比。 k15和k14的数值举例,钛酸钡晶体: wangcl@sdu.edu.cn
小结 一般情况下的四类压电方程组,矩阵形式和分量形式,参量之间的关系; 机电耦合因子:定义,如何求得;薄长条片的机电耦合系数,细长杆的机电耦合系数,平面机电耦合系数,厚度切变机电耦合系数。 wangcl@sdu.edu.cn