18. 等差數列及等比數列 更多有關等差數列及等比數列的性質： 若T(1)，T(2)，T(3)，…為一等差數列，則 kT(1)+m，kT(2)+m，kT(3)+m，…亦為一等差數列。 設等差數列T(1)，T(2)，T(3)，…的公差為d， 則d = T(n+1)－T(n)。 利用通項公式求出新數列的公差， 從而得出新數列亦為一等差數列。 把數列的每一項均乘以k， 然後加上m， 可得出數列kT(1)+m，kT(2)+m，kT(3)+m，… 可得出數列kT(1)，kT(2)，kT(3)，… 設新數列的通項為Q(n)， 則Q(n+1)－Q(n) = [kT(n+1)+m]－[kT(n)+m] [kT(n)+m] = kT(n+1)+m－ kT(n)－m 去中括號 = k[T(n+1)－T(n)] 抽公因式 = kd ∵ kd為一常數 ∴ kT(1)+m，kT(2)+m，kT(3)+m，…亦為一等差數列

18. 等差數列及等比數列 更多有關等差數列及等比數列的性質： 若T(1)，T(2)，T(3)，…為一等差數列，則 kT(1)+m，kT(2)+m，kT(3)+m，…亦為一等差數列。 例 若等差數列a1，a2，a3，…的公差為d，證明3a1+5，3a2+5，3a3+5，…為一等差數列，再求出其公差。 等差數列a1，a2，a3，…的公差為d， 則d = an+1－an。 每項均乘以3，然後加上5， 可得出數列3a1+5，3a2+5，3a3+5，… 根據等差數列的性質 3a1+5，3a2+5，3a3+5，…亦為一等差數列。 新數列的公差 = (3an+1+5)－(3an+5) = 3an +1+5－3an－5 = 3(an +1－an) = 3d

18. 等差數列及等比數列 更多有關等差數列及等比數列的性質： (b) 若T(1)，T(2)，T(3)，…為一等比數列，則 kT(1)，kT(2)，kT(3)，…亦為一等比數列(其中k  0)。 則 r = 。 T(n) T(n+1) 設等比數列T(1)，T(2)，T(3)，…的公比為r， 利用通項公式求出新數列的公比， 從而得出新數列亦為一等比數列。 把數列的每一項均乘以k (k  0)， 可得出數列kT(1)，kT(2)，kT(3)，… 設新數列的通項為Q(n)， 則 Q(n) Q(n+1) = kT(n) kT(n+1) = kT(n) kT(n+1) 約分 = T(n) T(n+1) 等比數列的公比 = r ∴ kT(1)，kT(2)，kT(3)，…亦為一等比數列

18. 等差數列及等比數列 更多有關等差數列及等比數列的性質： (b) 若T(1)，T(2)，T(3)，…為一等比數列，則 kT(1)，kT(2)，kT(3)，…亦為一等比數列(其中k  0)。 例 (i) 證明4，16，64，256，1 024，…為一等比數列。 由此，求該數列的通項T(n)。 證明： T(1) T(2) = 4 16 = 4 T(2) T(3) = 16 64 = 4 T(3) T(4) = 64 256 = 4 T(1) T(2) T(2) T(3) = T(3) T(4) = = 4 等比數列的公比 ∴ 4，16，64，256，1 024，…為一等比數列 ∴ T(n) = 4(4)n－1 = 4n

18. 等差數列及等比數列 更多有關等差數列及等比數列的性質： (b) 若T(1)，T(2)，T(3)，…為一等比數列，則 kT(1)，kT(2)，kT(3)，…亦為一等比數列(其中k  0)。 例 (ii) 若把(i)部數列中的每一項均乘以2，便得出一個新數列。 求新數列的通項Q(n)。 每項均乘以2， 可得出數列 8，32，128，512，2 048，… 根據等比數列的性質 8，32， 128，512，2 048，… 亦為一等比數列。 Q(1) Q(2) Q(2) Q(3) = Q(3) Q(4) = Q(4) Q(5) = 4 = 等比數列的公比 新數列的公比為4。 ∴ Q(n) = 8(4)n－1 = 2(4)n