MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA Juan C. Fernandez 5-a FIUBA 2008

MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA 5 MODELO DE CONSTANTES DISTRIBUIDAS C S I Campo EM D 1 2 3 Si las tres dimensiones del sistema cumplen la condición cuasi-estática se puede utilizar la teoría de circuitos (elementos concentrados). La siguiente complicación del modelo se produce cuando una sola dimensión no cumple la condición cuasiestática. D << min Este caso se puede analizar por la teoría de circuitos pero considerando parámetros distribuidos. El paradigma es la línea de transmisión bifilar. Se trata de un par de electrodos paralelos por una longitud L  . Los electrodos están cargados con distribuciones de carga iguales y opuestas variables a lo largo de la línea, creando campo eléctrico que puede expresarse por una capacitancia distribuida. Al mismo tiempo circulan corrientes iguales y opuestas variables a lo largo de la línea, creando campo magnético que puede expresarse por una inductancia distribuida. La potencia fluye a lo largo de la línea. I -I Q -Q E H FIUBA 2008

MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA 5 MODELO DE CONSTANTES DISTRIBUIDAS I -I Q -Q E H En el modelo de constantes distribuidas la línea bifilar se puede modelar como una sucesión de cuadripolos en cascada de dimensión longitudinal pequeña. i(z,t) i(z+dz,t) v(z,t) v(z+dz,t) z Cada cuadripolo cumple así la condición cuasi-estática y puede modelarse con la teoría de circuitos. FIUBA 2008

MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA 5 MODELO DE CONSTANTES DISTRIBUIDAS La energía electromagnética puede ingresar a una línea de transmisión en forma de excitación concentrada o distribuida. Las fuentes concentradas se aplican en un punto determinado de la línea y la señal se propaga por la línea desde allí. Se simulan mediante fuentes de tensión y/o corriente conectadas en el sitio de ingreso de la excitación. En el caso de una fuente distribuida la excitación se distribuye a lo largo de la línea. Se simula esta situación mediante una onda, habitualmente plana, que ilumina a la línea en toda o parte de su extensión. ZL1 ZL2 Vs/2 + ▔ _ Ia2 It2 Vs = Una dada excitación puede generar distintas respuestas de la línea. La fuente de la figura produce corrien-tes que pueden representarse como la superposición de corrientes en modo común (modo de antena) y co-rrientes en modo diferencial (modo de línea de transmisión). FIUBA 2008

MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA 5 MODELO DE CONSTANTES DISTRIBUIDAS LINEA IDEAL – MODELO CIRCUITAL Una línea sin pérdidas se denomina línea ideal. En este caso los conductores de la línea son considerados perfectos (  ) y el dieléctrico entre ellos tampoco tiene pérdidas. En este caso el modelo circuital de la línea sólo tiene elementos reactivos. La capacidad está asociada al campo eléctrico creado por las cargas en los conductores de la línea y la inductancia al campo magnético generado por las corrientes que circulan por ella. Queda así el cuadripolo de la figura, donde Ldz es la inductancia del tramo y Cdz su capacidad. i(z,t) i(z+dz,t) v(z,t) v(z+dz,t) z L dz C dz A FIUBA 2008

MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA 5 MODELO DE CONSTANTES DISTRIBUIDAS LINEA IDEAL – MODELO CIRCUITAL i(z,t) i(z+dz,t) v(z,t) v(z+dz,t) L dz C dz A Aplicando la 1ra. regla de Kirchhoff al nodo A: Aplicando la 2da. regla de Kirchhoff al circuito marcado: La solución a las ecuaciones del telegrafista en una línea ideal son ondas de tensión y corriente que se propagan a lo largo de la línea. En estas ecuaciones se puede desarrollar en serie de Taylor para obtener: Ecuaciones del telegrafista Las ecuaciones se pueden desacoplar para obtener: Estas son ecuaciones de onda. La solución general es del tipo: velocidad de propagación FIUBA 2008

MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA 5 MODELO DE CONSTANTES DISTRIBUIDAS LINEA IDEAL – MODELO CIRCUITAL velocidad de propagación Las ondas de tensión y corriente están ligadas entre sí por las ecuaciones del telegrafista: impedancia característica Parámetros de líneas básicas Cinta Bifilar Coaxil Z0 c C L Tipo FIUBA 2008

MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA 5 MODELO DE CONSTANTES DISTRIBUIDAS LINEA IDEAL – MODELO CIRCUITAL Onda progresiva: se propaga según +z Onda regresiva: se propaga según -z La solución general al problema de la línea ideal es la superposición de una onda progresiva y una onda regresiva Diferencias entre el modelo de constantes concentradas y el modelo de constantes distribuidas I V1 V2 V3 La corriente es la misma a lo largo del circuito. Hay caídas de tensión sólo sobre los elementos concentrados del circuito. z v(z) i(z) La corriente y la tensión cambian continuamente a lo largo del circuito. FIUBA 2008

MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA 5 MODELO DE CONSTANTES DISTRIBUIDAS LINEA CON PERDIDAS – MODELO CIRCUITAL Pérdidas conductoras por efecto Joule Pérdidas dieléctricas Ecuaciones del telegrafista: z i(z,t) i(z+dz,t) v(z,t) v(z+dz,t) L dz C dz A R dz G dz Ecuaciones desacopladas: No hay solución general en este caso como en el caso ideal. Conviene trabajar en el dominio de la frecuencia. Suponemos: FIUBA 2008

MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA 5 MODELO DE CONSTANTES DISTRIBUIDAS LINEA CON PERDIDAS – MODELO CIRCUITAL Ondas armónicas: propagación atenuación onda progresiva onda regresiva FIUBA 2008

MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA 5 MODELO DE CONSTANTES DISTRIBUIDAS LINEA CON PERDIDAS – MODELO CIRCUITAL Bajas pérdidas: FIUBA 2008

MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA 5 MODELO DE CONSTANTES DISTRIBUIDAS Líneas básicas: Coaxil Bifilar Doble cinta C (F/m) L(Hy/m) G( m)-1 a b d 2a t Alta frecuencia R (/m) Z0 () Baja frecuencia R ( / m) FIUBA 2008

MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA 5 MODELO DE CONSTANTES DISTRIBUIDAS Líneas de cinta: w t h b  stripline w t b  microstrip FIUBA 2008

MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA 5 MODELO DE CONSTANTES DISTRIBUIDAS Representación matricial de la línea bifilar: Ecuaciones del telegrafista: para señales armónicas: tenemos: ecuaciones que pueden escribirse en forma matricial como: las ecs. del telegrafista en el caso armónica tienen solución: estas soluciones pueden escribirse en forma matricial (sobreentendiendo el factor eit): FIUBA 2008

MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA 5 MODELO DE CONSTANTES DISTRIBUIDAS Representación matricial de la línea bifilar: matriz de transmisión z z2 z1 Longitud eléctrica FIUBA 2008

MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA 5 MODELO DE CONSTANTES DISTRIBUIDAS Representación matricial de la línea bifilar: circuitos  y T z z2 z1 Ya Yb Yc Z1 Z2 Z3 FIUBA 2008

MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA 5 MODELO DE CONSTANTES DISTRIBUIDAS Línea bifilar cargada z Z0 ZL coeficiente de reflexión coeficiente de transmisión z Z0 ZL FIUBA 2008

MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA 5 MODELO DE CONSTANTES DISTRIBUIDAS Ondas estacionarias z Z0 ZL Cortocircuito: ZL = 0  L = -1 , L = 0 , R = 1 , T = 0 sobretensión onda estacionaria sobrecorriente Circuito abierto : ZL    L = 1 , L = 0 , R = 1 , T = 0 FIUBA 2008

MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA 5 MODELO DE CONSTANTES DISTRIBUIDAS Ondas estacionarias (cont.) z Z0 ZL Cortocircuito o circuito abierto: |L| = 1  onda estacionaria R = 1 Adaptación: ZL = Z0  L = 0  onda viajera R = 0 Pérdida de inserción (return loss): En general: |L|  1  relación de onda estacionaria FIUBA 2008

MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA 5 MODELO DE CONSTANTES DISTRIBUIDAS Ondas estacionarias (cont.) z Z0 ZL Vm VM 2kz+ v(z) Máximos: Mínimos: FIUBA 2008

MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA 5 MODELO DE CONSTANTES DISTRIBUIDAS Impedancia de onda z Z0 ZL Casos particulares línea adaptada línea cortocircuitada línea abierta FIUBA 2008

MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA 5 MODELO DE CONSTANTES DISTRIBUIDAS Línea con generador y carga z Z0 ZL2 d ZL1 + V0 I0 i(z) v(z) zs FIUBA 2008

MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA 5 MODELO DE CONSTANTES DISTRIBUIDAS Línea con generador y carga z Z0 ZL2 d ZL1 + V0 I0 i(z) v(z) zs FIUBA 2008

MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA 5 MODELO DE CONSTANTES DISTRIBUIDAS La ecuación BLT z Z0 ZL2 d ZL1 + V0 I0 i(z) v(z) zs FIUBA 2008

MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA 5 MODELO DE CONSTANTES DISTRIBUIDAS z Z0 ZL2 d ZL1 + V0 I0 i(z) v(z) zs La ecuación BLT (cont.) Excitaciones Respuesta de las cargas Resonancias en la línea Llamando: FIUBA 2008

MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA 5 MODELO DE CONSTANTES DISTRIBUIDAS Líneas multifilares Línea bifilar: 1 2 3 Conductor de referencia Se extiende a una línea multifilar en forma matricial: [vs(z)] es el vector de tensiones entre cada conductor y la referencia, [is(z)] es el vector de corrientes en cada conductor Z e Y son las matrices de coeficientes de impedancia y admitancia. Estas matrices son cuadradas de (nn). Sus elementos incorporan las capacidades parciales e inductancias mutuas entre los conductores. FIUBA 2008

MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA 5 MODELO DE CONSTANTES DISTRIBUIDAS Líneas multifilares (cont.) 1 2 3 Conductor de referencia Estas ecuaciones se pueden desacoplar: FIUBA 2008

MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA 5 MODELO DE CONSTANTES DISTRIBUIDAS Líneas multifilares (cont.) Líneas sin pérdidas: 1 2 3 Conductor de referencia Ecuaciones desacopladas Modos independientes Todas las ondas viajan a la misma velocidad FIUBA 2008

MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA 5 MODELO DE CONSTANTES DISTRIBUIDAS Líneas multifilares (cont.) Líneas con pérdidas: 1 2 3 Conductor de referencia En el caso general de pérdidas, las matrices P y R no son diagonales. Puede demostrarse que es posible diagonalizar estas matrices para obtener una única matriz: las matrices de transformación de similaridad cumplen la relación: Los autovalores de las matrices P y R son las constantes de propagación de cada modo, generalmente complejas cuando hay pérdidas. La velocidad de propagación de cada modo depende de la frecuencia. Esto implica que las tensiones y corrientes modales sufren generalmente dispersión al propagarse en una línea multifilar. FIUBA 2008

MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA 5 MODELO DE CONSTANTES DISTRIBUIDAS Líneas multifilares (cont.) Líneas con pérdidas. Soluciones modales: 1 2 3 Conductor de referencia Los valores modales son superposiciones de las tensiones y corrientes en cada hilo: En el espacio de tensiones y corrientes modales valen las nuevas ecuaciones del telegrafista: constantes de integración con soluciones: matrices de propagación FIUBA 2008

MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA 5 MODELO DE CONSTANTES DISTRIBUIDAS Líneas multifilares (cont.) Líneas con pérdidas. Soluciones modales: Matrices de propagación: [z0] es una matriz de impedancias características modal: La distribución de tensiones y corrientes sobre los conductores (que son las que se miden y las que cumplen las condiciones de borde) se pueden expresar a partir de las soluciones modales: podemos definir matrices de impedancia/admitancia característica de la línea multifilar FIUBA 2008

MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA 5 MODELO DE CONSTANTES DISTRIBUIDAS En resumen, una forma sistemática de resolver el problema de una línea multifilar es seguir los pasos: determinar las matrices de impedancia/admitancia [Z] e [Y] de la configuración; 2) hallar la matriz de propagación [P] = [Z][Y] (o [R] = [Y] [Z]); 3) diagonalizar la matriz de propagación mediante un algoritmo de cálculo de autovalores/autovectores: [D] = [2] = [S][P][S] -1 = [T][R] [T] -1 ([T]' = [S] -1) 4) resolver las ecuaciones de onda desacopladas modales: con y 5) convertir los vectores modales en vectores de tensiones y corrientes medibles: 6) determinar las constantes [a] y [b] a partir de las condiciones de borde. FIUBA 2008