Sebaran Peluang Bersama

Peubah Acak Yang Menyebar Bersama Definisi Misalkan X dan Y adalah peubah acak diskret, maka sebaran peluang bersama untuk X dan Y adalah p(x,y) = P(X=x, Y=y) Yang terdefinisi untuk semua bilangan nyata x dan y. Fungsi dari p(x,y) dinamakan fungsi peluang bersama.

Sifat fungsi peluang bersama p(x,y) 2.

Contoh 1 Misalkan bahwa 3 bola diambil dari sebuah kantong yang berisi 3 bola merah, 4 putih dan 5 biru. Jika X adalah banyaknya bola merah yang terambil dan Y adalah banyaknya bola putih yang terambil. Carilah fungsi peluang bersama dari X dan Y, p(i,j)=P{X=i,Y=j)

Semua kemungkinan pasangan nilai (x,y) yang mungkin adalah (0,0), (0,1), (0,2), (0,3), (1,0), (1,1), (1,2), (2,0), (2,1), dan (3,0) f(0,0) menyatakan peluang terambilnya 0 bola merah dan 0 bola putih Banyaknya cara mengambil 3 bola dari 12 bola adalah =220 Banyaknya cara mengambil 0 dari 3 bola merah, 0 dari 4 bola putih dan 3 dari 5 bola biru adalah = 10 f(0,0) adalah 10/220

Sebaran Peluang Bersama bagi Contoh 1 Sebaran peluang bersama bagi X dan Y untuk contoh ini dapat dinyatakan dalam rumus berikut Untuk X=0,1,2,3; Y=0,1,2,3; 0≤ X+Y ≤3 p(x,y) x Total Baris 1 2 3 y 10/220 30/220 15/220 1/220 56/220 40/220 60/220 12/220   112/220 18/220 48/220 4/220 Total Kolom 84/220 108/220 27/220

Definisi Untuk dua peubah acak X dan Y, fungsi sebaran peluang kumulatif bersama dari X dan Y adalah F(a,b) = P{Xa,Yb} Untuk dua peubah acak diskret X dan Y, F(a,b) memiliki bentuk F(a,b) =

Definisi Misalkan X dan Y adalah peubah acak yang kontinu dengan fungsi sebaran bersama F(a,b). Jika terdapat fungsi nonnegatif f(x,y) sedemikian hingga untuk semua bilangan nyata a dan b, maka X dan Y dikatakan peubah acak kontinu yang menyebar bersama. Fungsi f(x,y) dinamakan fungsi kepekatan peluang bersama.

Contoh Fungsi kepekatan bersama X dan Y adalah Hitung a. P(X>1,Y<1) b. P(X<Y) c. P(X<a)

Jawab. a. P(X>1,Y<1) = = = b. P(X<Y) = = = = = 1-2/3 = 1/3

c. P(X<a) = = = 1-e-a

Sifat dari Fungsi Sebaran Bersama F(a,b) F(-, -) = F(-, y) = F(x, -) = 0 F(, ) = 1 Jika a2 ≥ a1 dan b2 ≥ b1, maka F(a2,b2)+F(a1,b1)- F(a1,b2)-F(a2,b1) ≥ 0  

Sifat dari fungsi kepekatan bersama 1. f(x,y) ≥ 0 untuk semua x, y 2.

Contoh Suatu restoran keluarga melayani dua jenis layanan, yaitu layanan makan di tempat dan layanan drive thru. Pada suatu hari yang dipilih secara acak, misalkan X adalah proporsi waktu yang digunakan restoran untuk melayani pelanggan yang makan di tempat dan Y adalah proporsi waktu yang digunakan restoran untuk melayani pelanggan yang memanfaatkan layanan drive thru. Bila fungsi kepekatan bersama dari (X,Y) adalah

Buktikan bahwa f(x,y) adalah fungsi kepekatan peluang yang sah Berapa peluang bahwa kedua layanan digunakan tidak lebih dari seperempat waktu layanan restoran ?

Jawab a. =

Peluang bahwa kedua layanan digunakan tidak lebih dari seperempat waktu layanan restoran adalah =

Sebaran Peluang Marginal dan Sebaran Peluang Bersyarat Definisi Misalkan X dan Y adalah peubah acak diskret yang menyebar bersama dengan fungsi peluang p(x,y), maka fungsi peluang marginal dari X dan Y adalah dan

Misalkan X dan Y adalah peubah acak kontinu yang menyebar bersama dengan fungsi kepekatan peluang bersama f(x,y), maka fungsi kepekatan marginal dari X dan Y adalah dan

Contoh Misalkan Carilah fungsi kepekatan marginal X dan Y. Jawab Fungsi kepekatan marginal X adalah = 2x(1) – 2x(0) = 2x, 0 x 1

Sedangkan fungsi kepekatan marginal Y adalah

Fungsi peluang diskret bersyarat X jika diketahui Y P(x|y)=P(X=x|Y=y)= dengan syarat py(y)>0

Contoh Dari Sebaran bersama berikut P(X=0|Y=1) P(X=1|Y=1) P(X≥2|Y=1) Total Baris 1 2 3 y 10/220 30/220 15/220 1/220 56/220 40/220 60/220 12/220   112/220 18/220 48/220 4/220 Total Kolom 84/220 108/220 27/220

Jawab P(X=0|Y=1) = P(Y=1) = pY(1) = = p(0,1) + p(1,1) + p(2,1) + p(3,1) = Sehingga

b. P(X=1|Y=1) = c. P(X≥2|Y=1) = =

Definisi Misalkan X dan Y adalah peubah acak kontinu yang menyebar bersama dengan fungsi kepekatan peluang bersama f(x,y) dan fungsi kepekatan marginal fx(x) dan fy(y), maka fungsi kepektan bersyarat X jika diketahui Y=y adalah

Dan fungsi kepekatan bersyarat Y jika diketahui X=x adalah

Contoh Misalkan Y adalah peubah acak yang menyatakan banyaknya supply pada mesin soft drink di awal suatu hari dan X adalah banyaknya soft drink yang terjual selama hari tersebut (dengan ukuran galon). Bila X dan Y memiliki fungsi kepekatan bersama sebagai berikut Tentukan fungsi kepekatan bersyarat X jika diketahui Y=y Hitunglah peluang soft drink yang terjual adalah kurang dari ½ gallon jika mesin tersebut berisi 1 galon di awal hari

Jawab a.

b. P(X1/2|Y=1) =

Peubah Acak yang Bebas (Independent) Definisi Misalkan X mempunyai fungsi sebaran Fx(x), Y mempunyai fungsi sebaran Fy(y), dan X dan Ymemiliki fungsi sebaran bersama F(x,y), maka X dan Y dikatakan bebas jika dan hanya jika F(x,y) = Fx(x) . Fy(y) untuk setiap pasang bilangan nyata (x,y) Jika X dan Y diskret dengan fungsi peluang bersama p(x,y) dan fungsi peluang marginal px(x) dan py(y), maka hubungan di atas benar jika dan hanya jika p(x,y) = px(x)py(y) Jika X dan Y kontinu dengan fungsi kepekatan peluang bersama f(x,y) dan kepekatan marginal fx(x) dan fy(y), maka hubungan di atas benar jika dan hanya jika f(x,y) = fx(x)fy(y)

Contoh Bila X dan Y memiliki Sebaran Peluang Bersama seperti berikut: p(x,y) x Total Baris 1 2 3 y 10/220 30/220 15/220 1/220 56/220 40/220 60/220 12/220   112/220 18/220 48/220 4/220 Total Kolom 84/220 108/220 27/220 Apakah X dan Y bebas? Jawab. Untuk X=0 dan Y=0, kita dapatkan p(0,0) adalah 10/220, sedangkan pX(0) = 84/220 dan pY(0) = 56/220 sehingga p(0,0)  pX(0).pY(0)  X dan Y tidak bebas

Contoh Apakah X dan Y bebas jika X dan Y memiliki sebaran bersama berikut? Jawab. Kita dapatkan sehingga dapat diambil kesimpulan bahwa X dan Y tidak bebas

Theorema Misalkan X dan Y memiliki kepekatan bersama f(x,y), yang positif jika dan hanya jika axb, cyd, untuk konstanta a, b,c, dan d dan f(x,y) = 0 selainnya, maka X dan Y adalah peubah acak yang bebas jika dan hanya jika f(x,y) = g(x) h(y) dimana g(x) adalah fungsi nonnegatif dari x dan h(y) adalah fungsi nonnegatif dari y

Contoh Misalkan X dan Y memiliki fungsi kepekatan bersama Apakah X dan Y bebas Jawab f(x,y) positif jika dan hanya jika dan f(x,y) = g(x) h(y) di mana g(x) = 2x dan h(y)=1 Sehingga X dan Y adalah peubah acak yang bebas

Misalkan X dan Y memiliki kepekatan bersama Apakah X dan Y bebas Jawab fungsi kepekatan bersama positif jika dan hanya jika , tidak ada konstanta a, b, c, dan d sedemikian hingga fungsi kepekatan positif pada selang a  x  b, c  y  d

Sehingga Theorema tidak dapat diaplikasikan Sehingga Theorema tidak dapat diaplikasikan. Bila kita cek ternyata X dan Y adalah peubah acak yang tidak bebas karena fungsi kepekatan bersamanya tidak sama dengan perkalian fungsi marginal X dan fungsi kepekatan marginal Y.