Proses Stokastik Semester Ganjil 2013/2014 Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Proses Stokastik Suatu keluarga dari peubah acak {X(t) | t ∊ T} T adalah indeks dari himpunan, yang bisa diskrit maupun kontinyu T = {1, 2, 3, …} untuk t diskret dan T = {0,} untuk t kontinyu Contoh: Waktu: menit, jam, hari, minggu Jarak dari suatu titik 0 (origin) Nilai-nilai yang mungkin untuk X(t) disebut states. Diskrit atau kontinyu State space (I): himpunan seluruh kemungkinan state X(t): jumlah kelahiran di suatu tempat pada hari T = {1,2, ... 365} (dalam satu tahun) X(t): jumlah kerusakan pada jalan tol dalam interval (0,t], t adalah jarak dari pintu tol dalam km. Data deret waktu If x and y are mutually independent, then, p(y|x) = p(y).

Beberapa Proses Stokastik yang akan dipelajari Rantai Markov Proses Poisson Rantai Markov dalam waktu kontinyu Proses kelahiran Proses kematian Proses kelahiran dan kematian Proses Pembaharuan Sistem Antrian Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Review Peluang Dari percobaan dengan hasil yang tidak diketahui: Ruang Sampel: Himpunan seluruh kejadian yang mungin Kejadian: Himpunan bagian dari ruang sampel. Peluang biasanya dinyatakan dalam pasangan berikut (W ,, Pr) di mana W adalah ruang sampel  adalah seluruh kejadian yang mungkin di dalam ruang sampel dan Pr adalah peluang untuk setiap kejadian di dalam . Untuk kejadian A dan B berlaku berikut ini: Pr() = 1 Pr(A)  0 Pr(AC) = 1 – Pr(A) Pr(A  B) = Pr(A) + Pr(B), if A  B = . Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Jika A dan B adalah kejadian di dalam  dengan Pr(B)  0, peluang A dengan syarat B adalah: Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Peubah Acak Fungsi yang memetakan setiap elemen dari ruang sampel (hasil percobaan) menjadi bilangan real Peubah acak adalah angka yang belum diketahui nilainya sebelum percobaan dilakukan Diskrit vs. Kontinyu Fungsi sebaran Kumulatif Fungsi kepekatan peluang (kontinyu) Fungsi massa (frekuensi) peluang (diskrit) Fungsi peluang gabungan Peluang bersyarat Fungsi dari peubah acak Fungsi pembangkit momen Fungsi transformsi Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Fungsi sebaran Kumulatif, Fungsi Kepekatan Peluang dan Fungsi Frekuensi Peluang Fungsi sebaran kumulatif peubah acak X : FX(x) = F(x) = Pr(Xx). Fungsi p(xi) = pX(xi) = ai untuk i = 1, 2, … fungsi massa peluang untuk peubah acak X. Fungsi sebaran kumulatif: Jika f(x) sebagai fungsi kepekatan peluang untuk peubah acak X: Fungsi sebaran kumulatif Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Fungsi sebaran Kumulatif, Fungsi Kepekatan Peluang dan Fungsi Frekuensi Peluang Peluang kejadian di antara dua nilai dapat dinyatakan dalam bentuk sebaran kumulatif: Bentuk tersebut dimanfaatkan untuk memperoleh bentuk berikut ini: Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Momen dan Nilai Harapan Momen ke-m dari X peubah acak diskrit: Momen ke-m dari X peubah acak kontinyu: Momen ke-1 dari peubah acak X: Nilai harapan X atau mean μ Momen pusat ke-m dari peubah acak X: Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Momen dan nilai harapan Momen central ke-1: nol Momen central ke-2: ragam dari X Nilai harapan dari suatu fungsi untuk peubah acak diskrit: Nilai harapan dari suatu fungsi untuk peubah acak kontinyu: Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Fungsi Peluang Gabungan Jika dalam suatu percobaan terdapat dua peubah acak yang diamati. Fungsi sebaran bersama bagi X dan Y: FXY(x,y) = P(X  x, Y  y) Fungsi kepekatan marjinal: Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Fungsi Peluang Gabungan Kebebasan dua peubah: fXY(x,y) = fX(x) fY(y) Nilai harapan: E[X+Y] = E[X] + E[Y] Cov(X,Y): XY = E[(X - X) (Y - Y)] = E[XY] - XY. X dan Y dikatakan tidak berkorelasi bila memiliki kovarian nol. Koefisien korelasi =XY/XY di mana -1    1. Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Sebaran Peluang Bersyarat Fungsi peluang jika salah satu peubah menjadi syarat: Dapat digunakan untuk menghitung peluang bersyarat: Dengan hukum peluang total: Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Jumlah dan Konvolusi Jika X dan Y adalah peubah acak yang bebas dengan fungsi sebaran masing – masing FX dan FY maka fungsi sebaran penjumlahan Z = X + Y adalah konvolusi dari FX dan FY Diperoleh dengan memanfaatkan sifat peluang bersyarat: Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Jumlah dan Konvolusi Dengan memanfaatkan hukum peluang total: Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Jumlah dan Konvolusi Apabila X dan Y saling bebas, maka peluang bersyarat akan sama dengan peluang tanpa syarat. Dengan definisi sebaran peluang kumulatif: Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Jumlah dan Konvolusi Dengan hubungan antara fungsi sebaran kumulatif dan fungsi kepekatan peluang: Untuk memperoleh kepekatan peluang, turunan pertama dari sebaran kumulatif: Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Jumlah dan Konvolusi Untuk X dan Y yang non negatif, batas integrasi berubah: Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Peubah sebagai Fungsi Dari Peubah Lain Jika X peubah acak dengan fungsi kepekatan peluang fX dan Y adalah peubah acak yang merupakan fungsi dari X g(X) fungsi naik dan dapat diturunkan (differentiable) Maka fungsi sebaran kumulatif bagi Y: Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Peubah sebagai Fungsi Dari Peubah Lain Untuk menentukan fungsi kepekatan peluang: Dari Kalkulus berlaku: Sehingga: Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc