Unidad 1: ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

Transformada de Laplace. Sea f(t) una función definida para t>0; a la expresión: se le llama Transformada de Laplace de la función f(t), si la integral existe.

Ejemplo 1 Sea f(t) = c Obtenga la transformada de Laplace para dicha función. para s>0

Ejemplo 2 Obtenga la transformada de Laplace para la función f(t)=eat. para s>a

Ejemplo 3 Obtenga la transformada de Laplace para la función f(t)=tn.

Ejemplo 3… para n=1,2,3,…

Ejemplo 4 Obtenga la transformada de Laplace para la función f(t)=Cos(bt).

Ejemplo 4… Obtenga la transformada de Laplace para la función f(t)=Cos(bt)…

L es una transformación lineal Para una combinación lineal de funciones se puede escribir: Siempre que ambas integrales converjan para s>c. Por consiguiente se deduce que:

Problemas Obtenga la Transformada de Laplace para las funciones: f(t) = 1+5t2 f(t) = 4e-2t + 10 Cos(2t)

Orden exponencial Se dice que f es de orden exponencial c si existen constantes c, M>0 y T>0 tal que |f(t)|<Mect para toda t>T. NOTA: Esta condición significa que f(t) está acotada por exponenciales; es decir: - Mect < f(t) < Mect

Condiciones suficientes para la existencia Si f es una función continua por partes en [0,+Inf) y de orden exponencial c, entonces existe L {f(t)} para s>c

Comportamiento de F(s) cuando Si f es continua por partes en (0,+Inf) y de orden exponencial y F(S) = L {f(t)}, entonces:

Problema Determine la transformada de Laplace para la función:

Transformada inversa Si F(s) representa la transformada de Laplace de una función f(t), es decir: L {f(t)}=F(s), se dice entonces que f(t) es la transformada de Laplace inversa de F(s) y se escribe: f(t) = L -1{F(s)}.

Algunas transformadas inversas

Problemas Evalúe:

Transformada de una derivada

Transformada de una derivada… De igual manera se puede demostrar que: Si f, f´, f´´,…, f(n-1) son continuas en [0,+Inf) y son de orden exponencial y si f(n)(t) es continua por partes en [0,+Inf), entonces:

Solución de Ecuaciones Diferenciales lineales mediante la Transformada de Laplace depende de y de las n-1 derivadas de y(t) evaluadas en t=0. Esta propiedad hace que la Transformada de Laplace sea adecuada para resolver problemas lineales de valores iniciales en los que la ecuación diferencial tiene coeficientes constantes.

Solución de Ecuaciones Diferenciales lineales mediante la Transformada de Laplace… En el problema: Donde las ai, i=0,1,2,…,n y y0, y1,.., yn-1 son constantes, por la propiedad de linealidad de la Transformada de Laplace tenemos:

Solución de Ecuaciones Diferenciales lineales mediante la Transformada de Laplace… De la Transformada de una derivada: la ecuación: se transforma en: donde:

Solución de Ecuaciones Diferenciales lineales mediante la Transformada de Laplace… La Transformada de Laplace de una ecuación diferencial lineal de coeficientes constantes se convierte en una ecuación algebraica en Y(s). Si se resuelve la ecuación transformada para Y(s), primero se obtiene:

Solución de Ecuaciones Diferenciales lineales mediante la Transformada de Laplace… Luego, a partir de: se escribe Donde: , es un polinomio en s de orden menor o igual a n-1 que consiste en los diferentes productos de los coeficientes ai; i=1, 2,…, n y las condiciones iniciales establecidas y0, y1,…, yn-1 y G(s) es la Transformada de g(t).

Solución de Ecuaciones Diferenciales lineales mediante la Transformada de Laplace… Normalmente se escriben los dos términos de la ecuación sobre el mínimo común denominador y luego se descompone la expresión en dos o más fracciones parciales. Por último, la solución y(t) del problema de valores iniciales original es , donde la transformada inversa se hace término a término.

Proceso de solución de ED mediante la tranformada Ecuación diferencial lineal con coeficientes constantes y condiciones iniciales Ecuación algebraica para Y(s) = L {Y(t)} L {y(t)} Solución de la Ecuación diferencial y(t) = L -1 {Y(s)} Solución de la Ecuación algebraica Y(s) L -1 {Y(s)}

Problema Utilice la Transformada de Laplace para resolver el problema con valores iniciales siguiente: