HOMOMORFISMA

TUJUAN Mahasiswa akan dapat memberi contoh-contoh homomorfisma grup dan jenis-jenisnya

Cakupan Homomorfisma Epimorfisma Monomorfisma Isomorfisma Endomorfisma Automorfisma Kernel Teorema Cayley

DEFINISI HOMOMORFISMA GRUP (A,) dan (B,) adalah grup-grup. Suatu fungsi f:AB disebut homomorfisma jika f(mn) = f(m)f(n) untuk setiap m,nA.

Contoh-contoh: 1. G = himpunan bilangan rasional dengan operasi +. G’ = himpunan bilangan riil tanpa nol dengan operasi . Pemetaan :GG’ adalah (x)=2x, untuk setiap x  G. Apakah  suatu homomorfisma? 2. G = himpunan bilangan riil positif dengan operasi . G’ = himpunan bilangan riil dengan operasi +. Pemetaan :GG’ adalah (x) = log x, untuk setiap xG. Apakah  suatu homomorfisma?

G = {1, 1, i, i} dengan operasi perkalian G = {1, 1, i, i} dengan operasi perkalian. G’ = himpunan matriks 2x2 ={E, A, B, C}. Tentukan pemetaan :GG’ agar  merupakan suatu homomorfisma 4. B = {0, 1, 2} dengan operasi penjumlahan modulo 3. G = {0o, 120o, 240o} dengan operasi rotasi. Definisikan (0)=0o, (1)=120o, (2)=240o. Apakah  suatu homomorfisma?

Z = himpunan bilangan bulat dengan operasi + Z = himpunan bilangan bulat dengan operasi +. :ZZ adalah (x)=2x, untuk setiap xG. Apakah  suatu homomorfisma? R* = himpunan bilangan riil tak nol dengan operasi perkalian. S = {1, 1} dengan operasi perkalian. :R*S adalah (x)=1 bila x positif dan (x)= 1 bila x negatif, untuk setiap xR*. Apakah  suatu homomorfisma? Z = himpunan bilangan bulat dengan operasi +. Pemetaan :ZZ adalah (x) = x, untuk setiap xZ. Apakah  suatu homomorfisma?

Jenis-jenis Homomorfisma Epimorfisma = homomorfisma onto Monomorfisma = homomorfisma 1-1 Isomorfisma = homomorfisma 1-1 dan onto. Endomorfisma = homomorfisma dari grup ke dalam dirinya sendiri. Automorfisma = endomorfisma 1-1 dan onto. Dari contoh-contoh sebelum ini mana yang epimorfisma, monomorfisma, isomorfisma, endomorfisma dan automorfisma?

Beberapa Sifat Kernel homomorfisma = himpunan semua elemen G yang dipetakan ke unkes G’. (e)=e’, e=unkes G, e’=unkes G’. (x1) = [(x)]1 Isomorfisma tidak mengubah order elemen Isomorfisma adalah relasi ekuivalen Grup-grup siklis berorder sama adalah isomorf

Suatu grup siklis tak berhingga isomorfis dengan grup aditif bilangan bulat Suatu grup siklis berorder n isomorf dengan grup aditif kelas residu modulo n. Grup aditif kelas residu modulo n adalah {0,1,2,3,…,n1} dengan operasi penjumlahan modulo n Subgrup dari grup siklis tak berhingga isomorf dengan grup aditif kelipatan bulat dari bilangan bulat n Subgrup dari grup siklis tak berhingga isomorf dengan grup itu sendiri

TEOREMA CAYLEY Setiap grup berhingga isomorf dengan suatu grup permutasi. Contoh: Carilah subgrup permutasi reguler P4 yang isomorf dengan grup multiplikatif G={1,1,i,i}.

Penutup Homomorfisma: pemetaan antar dua grup yang memenuhi kriteria tertentu. Epimorfisma: homomorfis yang onto Monomorfisma: homomorfis yang 1-1 Isomorfisma: homomorfis yang 1-1 dan onto Endomorfisma: homomorfis ke dalam diri sendiri Automorfisma: isomorfis pada diri sendiri Kernel: elemen-elemen yang dipetakan ke 0’ Teorema Cayley: Setiap grup berhingga isomorf dengan suatu grup permutasi.