Los Números Racionales

Objetivos: Utilizar y clasificar los distintos conjuntos numéricos en sus diversas formas de expresión, tanto en las ciencias exactas como en las ciencias sociales y en el ámbito cotidiano. Aplicar las operaciones básicas en los números racionales. Resolver problemas que involucren operaciones con números enteros, decimales y fracciones. Reconocer regularidades numéricas (secuencias).

Contenidos Números racionales (Q) 1.1 Propiedades de los racionales 1.2 Operatoria en los racionales 1.3 Transformaciones de números racionales 1.4 Comparación de fracciones 1.5 Secuencia numérica

1.Números Racionales (Q) Es un conjunto infinito, ordenado y denso, donde todos los números se pueden escribir como fracción, es decir: a b / a y b son enteros, y b es distinto de cero Q = a: numerador y b: denominador Ejemplos: 2; 17; 0; -6; -45; -2; 7 0,489; 2,18; -0,647 -1; 8 14; 3 15 NO es racional

Todo número entero es racional. Por ejemplo: 3 es Natural (3 IN), 3 es Cardinal (3 IN0), 3 es Entero (3 Z), y como 3 = , 3 es racional (3 Q). 3 1 IN IN0 Z Q

Diagrama representativo: │ │ No Z ∕ Q

1.1 Propiedades de los racionales Las fracciones se pueden clasificar en: Fracción propia, donde el numerador es menor que el denominador. Fracción impropia, donde el numerador es mayor que el denominador. Fracción Mixta, está compuesta de una parte entera y de otra fraccionaria. Amplificar y simplificar fracciones Amplificar una fracción, significa multiplicar, tanto el numerador como el denominador por un mismo número. Ejemplo: Al amplificar la fracción por 6 resulta: 2 3 2∙ 3∙ 6 12 18 =

Fracciones Equivalentes 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 En las figuras 2 5 6 15 La parte coloreada de azul es la misma, luego 2 5 6 15 = 2 5 = 0,4 Dos fracciones son iguales cuando valen lo mismo 6 15 = 0,4

También podemos observar que: 2 5 6 15 = 2 · 15 = 5 · 6 Los productos cruzados son iguales Dos fracciones son equivalentes si los productos del numerador de cada una de ellas por el denominador de la otra, son iguales. a b c d = a · d = b · c

Distintos modos de escribir una fracción Observa las partes coloreadas de azul de las fracciones que se representan 1 2 2 4 3 6 Las fracciones 2/4 y 3/6 son fracciones amplificadas de la fracción ½ y de valor equivalente a ella. Para encontrar fracciones equivalentes a cualquier otra, basta con multiplicar numerador y denominador por un mismo valor

Dos fracciones distintas pueden representar la misma parte de la unidad, es decir el mismo número. En este caso se dice que son equivalentes. = 3 4 9 12 = =

Simplificar fracciones Simplificar una fracción es hallar otra igual cuyos términos se obtienen dividiendo el numerador y el denominador por el mismo número entero. Una fracción irreducible es la que no se puede simplificar más.

Ejemplo: Al simplificar la fracción por 3 resulta: 27 45 27 : 45 : 3 9 : 3 3 15 : 3 5 = = Tenemos entonces que: Son fracciones irreductibles

Inverso multiplicativo o recíproco de una fracción Ejemplo: El inverso multiplicativo, o recíproco de 2 9 9 2 es: Esto es porque: Recordemos que dos números son inversos multiplicativos, si su producto es igual a 1

1.2 Operatoria en los racionales Suma y resta Al sumar y restar racionales, lo que tememos es una representación de las siguientes situaciones: a) Suma de racionales: 1 2 1 3 + = ¿? + = ¿? Si dividimos ambos en sectores del mismo tamaño, tendremos un común divisor, entonces, al unirlos sumando queda: 5 6 =

1 3 1 6 + = ¿? Al dejarlos con un divisor común: 1 3 1 6 3 6 1 2 + = =

1 2 2 3 + = ¿? Al dejarlos con un divisor común: 1 2 2 3 7 6 + =

b) Resta de racionales: 1 2 _ 1 3 = ¿? _ = ¿? Si dividimos ambos en sectores del mismo tamaño, tendremos un común divisor, entonces, al quitar (restar) el segundo del primer valor queda: _ 1 6 =

La suma y resta de números racionales sólo puede realizarse si estos racionales tienen el mismo (común) denominador. Al realizar una suma o resta de números racionales tenemos las siguientes situaciones, que pueden ser enfrentadas de diferente modo de manera de lograr que tengan igual denominador. El modo que resulta en todos los casos es el de encontrar el mínimo común denominador (m.c.m.)

Ejemplos: 1. Si los denominadores son iguales: 4 15 + 7 11 15 4 15 - 7 -3 15 = y = 2. Si uno de los denominadores es múltiplo del otro: 2 15 + 7 45 = 2∙3 + 7∙1 45 6 + 7 45 13 45 = =

3. Si los denominadores son primos entre sí: 4 5 + 7 8 = 4∙8 + 5∙7 40 32 + 35 40 67 40 = = 4. Aplicando mínimo común múltiplo (m.c.m.): 5 12 + 7 18 = 5∙3 + 7∙2 36 15 + 14 36 29 36 = =

Multiplicación de Racionales: a) Racional por entero Recordemos que la multiplicación es una suma iterada, entonces tendremos una suma de racionales iguales. 1 5 1 5 1 5 1 5 3 5 + + = ● 3 =

Multiplicación de Racionales: Al multiplicar dos racionales, el resultado es un número racional que cumple ambas condiciones simultaneamente. ● 3 7 2 5 6 35 3 7 2 5 3 · 2 7 · 5 6 35 ● = =

Multiplicación de Racionales: ● 3 5 2 4 3 5 2 4 3 · 2 5 · 4 6 20 ● = = 6 20

Entonces, la multiplicación de racionales se hará multiplicando los numeradores y denominadores entre ellos. Ejemplo: -4 5 7 8 = ∙ -28 40 = 28 40 - a) b)

También debemos recordar que la división es una resta iterada, entonces, si deseamos conocer el resultado de eta resta iterada (el resultado de la división), haremos: 1 2 1 3 : = ¿? Lo que tenemos es: 1 2 3 6 3 6 : 2 6 3 2 = = 1,5 2 6 1 3

División: Entonces, podemos observar que la división de dos racionales se corresponde con el producto cruzado de los numeradores y denominadores del dividendo y divisor, de manera que lo podemos representar como: 3 6 : 2 6 18 12 = Simplificando el racional, queda: 18 : 6 12 : 6 3 2 =

8 División: Número Mixto: Para dividir racionales, también podemos recordar que la división es la operación inversa a la multiplicación, por lo que dividir por un racional, equivaldrá a multiplicar por el inverso multiplicativo del divisor o recíproco, es decir: Ejemplo: -4 5 : 7 8 = -4 5 ∙ 8 7 = -32 35 = 32 35 - Número Mixto: Ejemplo: 3 5 = 8∙5 + 3 5 = 43 5 8

1.3 Transformación de números racionales De fracción a decimal: Se divide el numerador por el denominador. Ejemplo: 7 4 = 1,75 De decimal finito a fracción: El numerador corresponde al número sin comas, y el denominador es una potencia de 10 que depende del número de decimales que tenga el número. Ejemplo: 1,75 = 100 175 = 25∙7 25∙4 = 7 4

De un número decimal periódico a fracción: 1. El numerador de la fracción es la diferencia entre el número decimal completo, sin la coma, y la parte entera. 2. El denominador está formado por tantos nueves (9), como cifras tenga el período. Ejemplo 1: 2,35 = 235 – 2 = 233 99 Ejemplo 2: 0,376 = 376 – 0 = 376 999 Nota: Se llama “período” al conjunto de dígitos que se repite indefinidamente.

De un número decimal semi periódico a fracción: 1. El numerador de la fracción corresponde a la diferencia entre el número decimal completo, sin la coma; y la parte entera incluyendo las cifras del ante período. 2. El denominador queda formado por tantos nueves (9), como cifras tenga el período, y tantos ceros (0), como cifras tenga el ante período. Ejemplo: 3,21 = 321-32 = 289 90 Nota: Se llama “ante período” a los números que hay entre la coma decimal, y el período.

1.4 Comparación de fracciones Multiplicación cruzada: Ejemplo: Al comparar (Multiplicando cruzado) 13 15 9 10 y 13 ∙ 10 y 15 ∙ 9 130 y 135 13 15 9 10 Como 130 < 135, entonces: <

Igualando denominadores: Ejemplo: 13 15 7 12 Al comparar y (Igualando denominadores) 13∙4 15∙4 7∙5 12∙5 y 52 60 35 60 y Como 52 > 35, entonces 13 15 7 12 >

Transformar a decimal: Ejemplo: 13 15 7 12 Al comparar (Transformando a decimal) y 13 15 = 0,86666666… 7 12 = 0,58333333… 13 15 7 12 Como 0,86 > 0,583 , entonces >

Igualando Numeradores: Ejemplo: Al comparar (Multiplicamos ambos numeradores por un factor para obtener el m.c.m. entre 10 y 13 en este caso 130) 10 3 13 4 y 10·13 3·13 13·10 4·10 y 130 39 40 y 10 3 13 4 es mayor que Por lo tanto,

1.5 Secuencia Numérica Ejemplo: 6 , 5 16 , 5 26 , 5 36 , ... 5 6 , 5 16 , 5 26 , 5 36 , ... 5 En la secuencia: ¿Qué número tendríamos que sumar a para obtener el 7° término ? 1 , 5 Respuesta: De acuerdo a las características de la secuencia, el 7° término es 66 . 5 Tendríamos que sumar a para obtener el 7° término. 65 5 1 , Es decir: 65 = 13 5

Lo que nos permitiría saber, por ejemplo, Observación: La secuencia anterior también se puede analizar de la siguiente manera: 1 + 1 , 5 1 + 3 , 5 1 + 5 , 5 1 + 7 , 5 ... , 1 + 13… 5 1° 2° 3° 4° ... , 7°… Lo que nos permitiría saber, por ejemplo, ¿cuál es el valor del n-ésimo término de la secuencia? Respuesta: Es , más un número impar, lo que se expresa como: 1 5 1 + (2n - 1) 5 (Con n = posición del término)

Representación de Racionales en la recta numérica Para representar los números enteros, simplemente repetimos una misma distancia

Para ubicar una posición de un racional en la recta numérica Nos apoyamos en la geometría, usando el Teorema de Thales: 1° La división en partes iguales se logra trazando una recta cualquiera que tenga un origen común con el trazo a dividir y sobre ella se marcan con el compas las divisiones que se desean realizar. 2° Desde el fin de la última división se traza una recta hacia el final del trazo a dividir. 3° Desde cada una de las divisiones en la recta, se trazan paralelas a la líneas del punto 2°, las que cortarán el trazo en las partes iguales deseadas.

Sinteticemos en el siguiente mapa conceptual lo que hemos aprendido

Decimal semiperiódico Conjunto Q Propiedades y comparación Operatoria Transformaciones Decimal finito a fracción Decimal periódico a Decimal semiperiódico a Adición Sustracción Multiplicación División Simplificación Amplificación Fracciones equivalentes