第五章卡方檢定 5-1 卡方檢定 (X2 test) 5-2 適配度檢定 (good-of-fit test)

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第五章卡方檢定 5-1 卡方檢定 (X2 test) 5-2 適配度檢定 (good-of-fit test) 5-3　獨立性檢定 (test of independence) 5-4　同質性檢定 (test of homogeneity)

5-1 卡方檢定(X2 test) 　　卡方檢定適用於非連續變項(例如：類別或次序變數)之差異分析, 卡方分配可以協助我們利用樣本的變異數來推論母體變異數, 母體變異數代表著資料的分散程度。隨著應用的不同, 對於資料分散的程度也有不同的使用, 例如, 對於獲利程度而言, 值是較大較好, 但對於品管的變異數而言, 則是愈小愈好。卡方檢定則是利用卡方分配(卡方值)來進行檢定, 適用於分類變數的分析, 若是單一類別的變數, 可以得到次數的分配, 若是有兩個類別, 則可以使用交叉表(cross-tabulation)分析, 而且使用卡方(Chi-Square, X2)來作檢定。卡方檢定常用的應用有三大類, 分別是適配度檢定(good-of-fit test), 獨立性檢定(test of independence)和同質性檢定(test of homogeneity), 我們分別介紹如後。

5-2 適配度檢定(good-of-fit test) 　　當我們想了解某一個變數是否與某個理論或母體分配相符合時, 就可以使用卡方檢定的應用之一, 「適配度檢定」, 適配度檢定的內容是一個變數, 因此, 也稱為單因子分類(one-way classification) 檢定。卡方的適配度檢定是取樣本的觀察值和母體的期望值作比較, 而卡方值愈大, 代表觀察值和期望值差異愈大, 當卡方值超過某一個臨界值時, 就會得到顯著的統計檢定結果。研究問題的假設如下：虛無假設H0：母體符合某種分配或理論對立假設H1：母體不符合某種分配或理論若是適配度檢定的結果是顯著, 則會拒絶虛無假設H0，卡方統計量的定義如下： X2= Oi= 樣本的觀察值 Ei= 理論推算的期望值

範例：某電腦公司在資訊展時, 分別售出筆記型電腦白色50台, 黑色40, 灰色30台, 該電腦公司想要知道, 消費者對筆記型電腦的顏色偏好是否有差異? 我們整銷售的資料如下：虛無假設H0：消費者對筆記型電腦顏色的偏好是相同的對立假設H1：消費者對筆記型電腦顏色的偏好是不相同的期望值 = 總人數＊每種結果的機率　　 = (50+40+30) ＊ ( ) 　= 40 X2= = 　　　　+　　　　 + = 2.5+0+2.5 = 5 自由度 = (3-1) = 2 查表：結果：我們計算卡方統計量為5, 小於卡方分配臨界值5.99, 因此, 我們接受虛無假設H0, 消費者對筆記型電腦顏色的偏好是相同的假設顯著水準訂定為5%, 自由度為2, 查卡方分配臨界值表X2 = 5.99

實務操作： 1. 開啟範例 expected.sav 2. 按 Data Weight Cases 3. 在Weight Cases 視窗，選取 Sale 選取 Weight cases by 4. 按 > ，選取 Sale 到 Frequency Variable 5. 按 OK，回到開啟資料視窗，按 Analyze  Nonparametric 　 Tests  Chi-Square 6. 在Chi-Square Test 視窗，選取 Sale 7. 在Chi-Square Test 視窗，按 > ，選取 Sale 到 Test Variable 　　 List 8. 按 Options ，選取 Descriptive 9. 按 Continue，回到 Chi-Square Test 視窗 10. 按 OK，出現報表結果

報表分析結果如下： NPar Tests 　　Descriptive Statistics Chi-Square Test Frequencies Sale Test Statistics a 0 cells (.0%) have expected frequencies less than 5. The minimum expected cell frequency is 40.0. 結果：從表中我們可以看到卡方統計量為5, P值0.082大於0.05, 因此, 我們接受虛無假設H0, 消費者對筆記型電腦顏色的偏好是相同的。

5-3 獨立性檢定 (test of independence) 　　獨立性檢定是用在同一個樣本中, 兩個變數的關連性檢定, 也就是說, 在探討兩個類別變數之間, 是否互為獨立, 或則是有相依的關係存在, 獨立性檢定的結果, 若是達到顯著, 則需要查看二個變數的關連性強度, 我們整理如下： 2×2 列連表：查看　(phi)相關係數 3×3 列連表：查看列聯係數(coefficient of contingency) 注意：4×4, 5×5, 6×6：也是查看列聯係數 2×3列連表：查看Cramer’s V 係數注意：(3×2, 2×4, 3×4…) ：也是查看Cramer’s V 係數　　註解：一般建議不超過16個個格, 也就是使用小於4×4或3×5的表格, 以免難於解釋結果, 另外, 一般也常用Lamda(　)係數來解釋兩個變數的關係, 　係數是以一個變數可以解釋另一個變數時, 削減誤差比率(Proportioned Reduction in Error), 愈大代表兩個變數的關連性愈強。

電腦公司銷售筆記型電腦, 男性分別購買白色50, 黒色60, 灰色50, 女性分別購買白色70, 黒色30, 灰色40, 我們想要了解性別(男, 女)在購買筆記型電腦時, 對於顏色的選擇是否有差異?　首先，我們整理男女購買筆記型電腦的觀察值如下：研究問題的假設如下：虛無假設H0：兩個變數相互獨立, 代表男女性別與購買筆記型電腦顏色無關對立假設H1：兩個變數相互關連(相依), 代表男女性別與購買筆記型電腦顏色有關理論的期望值 =　　　　＊　　　　＊總計自由度 = (列的數目 - 1) (行的數目 - 1) = (r-1)(j-1)

我們計算男女購買筆記型電腦的理論期望值如下：男性購買白色 = 男性購買黑色 = 男性購買灰色 = 女性購買白色 = 女性購買黑色 = 女性購買灰色 = 我們整理男女購買筆記型電腦的理論期望值如下：

我們整理觀察值和理論的期望值如下：註：(數字)代表理論的期望值卡方檢定統計量： X2= O 為觀察次數, E為期望次數若X2>X2(r-1)(c-1)  則拒絶虛無假設H0 = 13.17 查表：結果：　　我們計算卡方統計量為13.17, 大於卡方分配臨界值5.99, 因此, 我們拒絶虛無假設H0, 消費者男女性別與購買筆記型電顏色有關假設顯著水準  行為5%, 自由度 = (3-1)(2-1) = 2, 查卡方分配臨界值表X2=5.99

實務操作： 1. 開啟範例 independence.sav 2. 按 Data Weight Cases 3. 在Weight Cases 視窗，選取 Sale 選取 Weight cases by 4. 按 > ，選取 Sale 到 Frequency Variable 5. 按 OK，回到開啟資料視窗，按 Descriptive Statistics  Crosstabs 6. 在 Crosstabs 視窗，選 Sex (性別) 7. 在 Crosstabs 視窗，選 Sex (性別)到 Row(s) ，選 color (顏色) 8. 在 Crosstabs 視窗，選 color (顏色)到 Column(s) 9. 按 Statistics，選 Chi-square，Contingency coefficient，Phi and Cramer’s V ， Lambda 10. 按 Continue，回到 Crosstabs 視窗 11. 按 Cell，選取 Observed，Row，Column，Total 12. 按 Continue，回到 Crosstabs 視窗 13. 按 OK，出現報表結果

報表分析結果如下： Crosstabs Case Processing Summary

Sex * Color Crosstabulation

Chi-Square Tests a 0 cells (.0%) have expected count less than 5. The minimum expected count is 42.00. 結果：我們得到卡方統計量為13.17, P值 0.001小於臨界值0.05, 因此, 我們拒絶虛無假設H0, 消費者男女性別與購買筆記型電顏色有關。

5-4 同質性檢定(test of homogeneity) 　　同質性檢定是用在不同樣本(例如：二個樣本)中, 同一個變數是否為一致的檢定, 也就是說, 用來檢測不同母體在同一個變數的回應下, 是否有顯著差異。同質性檢定的統計量如下： X2= 　　　　　　　　, 自由度df = (r-1)(c-1) O為觀察次數, E為期望次數若 X2> X2(r-1)(j-1),  則拒絕虛無假設H0 　　同質性檢定的統計量　　　　　　　　　　　　為Pearson chi-square皮爾森卡方統計量, 另外, 也可以使用likelihood概以此卡方統計量來作檢定注意：　　我們使用同質性檢定於細格大於2時, 只能檢定出是否有顯著差異, 至於是那二組有顯著差異, 則需要再進一步, 作事後比較, 才可以得知

範例：我們想瞭解大學生, 大學教師, 家長對於研究生購買筆記型電腦的意見是否一致? 　　我們想瞭解大學生, 大學教師, 家長對於研究生購買筆記型電腦的意見是否一致? 　　我們整理大學生, 大學教師, 家長對於研究生購買筆記型電腦的意見, 贊成或反對的觀察值如下：研究問題的假設如下：虛無假設H0：對於問題的反應是一致, 代表著大學生, 大學教師和家長, 對於研究生購買筆記型電腦的態度是一致的。對立假設H1：對於問題的反應是不同的, 代表著大學生, 大學教師和家長, 對於研究生購買筆記型電腦的態度是不一致的我們可以設定身份 ID：大學生 1 , 大學教師 2, 家長 3 意見 Opinion：贊成1, 反對2 贊成或反對的觀察值 number。

輸入列聯表

實務操作： 1. 開啟範例 homogeneity.sav 2. 按 Data  Weight Cases 3. 在Weight Cases 視窗，選取 number ，選取 Weight cases by 4. 按 > ，選取 Sale 到 Frequency Variable 5. 按 OK，回到開啟資料視窗，按 Descriptive Statistics  Crosstabs 6. 在 Crosstabs 視窗，選 ID (身份)到 Row(s) ，選 opinion (意見)到 Column(s) 7. 按 Statistics，選 Chi-square，Contingency coefficient，Phi and Cramer’s V ， Lambda 8. 按 Continue，回到 Crosstabs 視窗 9. 按 Cell，選取 Observed，Row，Column，Total 10. 按 Continue，回到 Crosstabs 視窗 11. 按 OK，出現報表結果

報表分析結果如下： Chi-Square Tests a 0 cells (.0%) have expected count less than 5. The minimum expected count is 42.00. 結果：　　我們得到卡方統計量為13.17, P值 0.001小於臨界值0.05, 因此, 我們拒絶虛無假設H0，對於問題的反應是不同的, 代表著大學生, 大學教師和家長, 對於研究生購買筆記型電腦的態度是不一致的。