Ch05 點估計與抽樣分配 授課老師 薛欣達

學習目標 估計母體參數的樣本統計量 應用中央極限定理 根據估計式的需求性質判斷估計式的好壞 應用自由度的概念 利用樣板計算抽樣分配與相關的結果

歷史故事 民主黨 共和黨 有電話且 ( 或 ) 有汽車且 ( 或 ) 為該雜誌讀者的人 偏差 樣本 母體 樣本從整個母體 隨機選出 好的抽樣 過程 母體 樣本

母體參數 討論母體時，平均與標準差被稱為參數， 記做 μ 及 σ 。 母體的數值測度被稱為母體參數 (population parameter) 。

估計母體參數的樣本統計量 樣本統計量 (sample statistic) ：指樣本的數值測度， 簡稱統計量。 某種母體參數的估計式 (estimator) 是估計該參數 的樣本統計量。利用樣本得到估計式的某特定數 值是被估計母體參數的一項估計，稱為母體參數 的點估計 (point estimate) 。

母體比例 vs. 樣本比例 母體比例 (population proportion) p 等於母體內某 一類元素的總數除以母體的元素個數。 樣本比例 (sample proportion) 是 其中 x 是樣本內某一類元素的總數，而 n 是樣本數。

母體分配，一組從母體選出的隨機 樣本以及它們個別的平均 XXXX XXXXXX XXXX XXXXXX XXXXXX XXXXXX XXXX 母體平均 (  ) 樣本點 母體的頻率分配 樣本平均 ( ) X

如何由母體隨機挑選樣本 需要一份所有母體元素的名單 ( 底冊 ) 。 藉由隨機產生的數字，這份底冊讓我們決 定樣本應該包含名單中的哪些元素。

分層抽樣方法 分層抽樣把母體分成二個或二個以上稱為 「層」 (strata) 的子母體，並且隨機從每一個 子母體挑選一些樣本。 每一層從某種與抽樣實驗有關的角度來看 都必須是不同的。

分層抽樣方法 例子：某間大學的學生或許有 54% 的女學 生及 46% 的男學生。因為男女生或許在某 一次調查中有著非常不一樣的意見。故， 隨機樣本中有必要包含適當比例的男女生。

分層抽樣方法 ( 續 ) 如果樣本總數剛好等於 100 ，則一種代表性 的樣本應該包含 54 個女學生及 46 個男學 生。

其他抽樣方法 分群抽樣 (cluster sampling) 一階段分群抽樣 (single-stage cluster sampling) 二階段分群抽樣 (two-stage cluster sampling) 多階段分群抽樣 (multistage cluster sampling) 系統抽樣 (systematic sampling)

抽樣分配 固定母體並且固定樣本數的條件下，統計量的抽 樣分配 (sampling distribution) 是該統計量所有可 能值的機率分配。 樣本數固定在 n ，而且每一個樣本元素都來自某 個固定的母體， 的抽樣分配是隨機變數 所有 可能值的機率分配。

中央極限定理 從一個平均 μ 與標準差 σ 的母體抽樣。如果樣本 數持續增加，樣本平均的抽樣分配會接近一個 有著平均等於 μ 跟標準差等於 的常態分 配。 對夠大的樣本數 n

常態分配母體不同樣本數之樣本平 均的抽樣分配 常態母體 f ( X ) μμ 抽樣分配 : n = 2 抽樣分配 : n =16 抽樣分配 : n = 4

當樣本數遞增下的抽樣分配 X n = 5 X n = 20 X -  Large n P(x)

中央極限定理 中央極限定理說明樣本平均 的抽樣分配會接 近常態分配，無論樣本來自的母體是何種分配。 此定理讓我們有能力產生樣本平均可能存在區 域的機率陳述，同時計算 與它所估計的母體 平均離多遠的機率。

中央極限定理的效果：各種不同母 體與各種不同樣本數之 的分配 常態均勻右偏 母體 n = 2 n = 30 X  X  X  X  不規則

中央極限定理的三個面向 如果樣本數夠大， 的抽樣分配是常態的。 的期望值等於 μ 。 的標準差等於 。

點估計的統計性質 如果一個估計式被稱為不偏的 (unbiased) ， 表示該估計式的期望值等於它希望估計的 母體參數。 偏差 (bias) ：估計式與希望估計的參數間， 任何系統性的離異 ( 大部分大於希望估計的 參數或是大部分小於希望估計的參數 ) 。

自由度 如果你必須選擇 n 個數字，並且加諸一種 關於它們總和的條件，則你的自由度為 n － 1 。 例如：你被要求自由地選擇 10 個數字，但 是這 10 個數字總和必須等於 100 ，你的自 由度有 9 個。

二維陣列的自由度 假設你被要求選擇自己喜歡的數字填滿一 種三列四行的數字矩陣。你有 3 × 4 ＝ 12 個自由度。 r 列與 c 行： (r － 1)(c － 1) 個自由度