密碼學與網路安全 第4章 有限體

簡介 有限體在密碼學日漸益重要 許多密碼學演算法，都很依賴有限體的特性，尤其是進階加密標準（AES）和橢圓曲線密碼學 群、環、和體是抽象代數或現代代數的基本要素 在抽象代數中，我們關心的是哪些集合元素可以代數運算

群 「群」（有時表示成{G,‧}）是內含二元運算的元素集合 對G裡的每組元素（a,b）來說，（a‧b）也是G裡的元素 必須遵守： 結合性：(a.b).c = a.(b.c) 單位元素： e: e.a = a.e = a 反元素： a.a’= e 若 a.b = b.a 即為交換群

循環群 將群的重複運算定義為群的指數運算： a-3 = a.a.a 此外也定義：e=a0 假如G裡的每個元素都是固定元素的指數，G就是循環群 循環群必為交換群，而且可能是有限群或無限群

環 一群內含兩個二元運算（加法和乘法）的數值 加法交換群： 若滿足乘法交換性，即為交換環 整數域 乘法封閉性 乘法結合性 分配律：a(b+c) = ab + ac 若滿足乘法交換性，即為交換環 整數域 乘法單位元素 0不可為除數

體 「體」（有時表示成{F, ＋, ×}）是具有兩個二元運算的元素集合 「體」是可以計算加法、減法、乘法、除法的集合 除法規則的定義是a/b = a( b-1) 「體」常見的例子包括了有理數、實數、複數

群、環、體

模數運算 若a 為整數、n 為正整數 將a mod n 的值定義為a 除n 的餘數 整數n稱為模數 若（a mod n ) =( b mod n ) 整數a、b是n的同餘 寫成a ≡ b(mod n) B是a mod n的餘數

除數 若b ≠ 0而a 、b 、m 皆為整數，且某個數值m能讓 a = mb 例如1,2,3,4,6,8,12,24都可以整除24 通常以b｜a表示b 能整除a 而b也就是a的因數 例如1,2,3,4,6,8,12,24都可以整除24

模數算術 若n｜(a - b)，a ≡ b(mod n) 若a ≡ b(mod n)，b ≡a(mod n) 若a ≡ b(mod n)且b ≡ c(mod n)，a ≡ c(mod n)

模數算術 Zn是小於n的非負整數集合： Zn = {0, 1, … , n-1} 一般運算所沒有的兩項特性： 若(a+b)=(a+c) mod n，則b=c mod n 但a、互為質數，且若(a.b)=(a.c) mod n，則b=c mod n

模數為8的模數加法運算 + 1 2 3 4 5 6 7

最大公因數（GCD） 數論的共同問題 若a、b、m為整數，對m來說，如果a = mb，非零的b就是a的因數 GCD(a, b)表示a和b的最大公因數；正整數c若符合以下兩點，就是a、b的最大公因數： c是a、b的因數 a、b的任何因數也是c的因數 例如GCD(60,24) = 12 若兩整數a、b只有正公因數1，則a、b互為質數 以等式表示即為 GCD(a, b) = 1 例如 GCD(8,15) = 1（8、15互為質數）

歐幾里德演算法 找出最大公因數的有效方法 對任何非負整數a和任何正整數b而言： 歐幾里德演算法計算最大公因數的方式： GCD(a,b) = GCD(b, a mod b) 歐幾里德演算法計算最大公因數的方式： EUCLID(a,b) 1. A = a; B = b 2. if B = 0 return A = gcd(a, b) 3. R = A mod B 4. A = B 5. B = R 6. goto 2

範例：GCD(1970,1066) 1970 = 1 x 1066 + 904 gcd(1066, 904) 1066 = 1 x 904 + 162 gcd(904, 162) 904 = 5 x 162 + 94 gcd(162, 94) 162 = 1 x 94 + 68 gcd(94, 68) 94 = 1 x 68 + 26 gcd(68, 26) 68 = 2 x 26 + 16 gcd(26, 16) 26 = 1 x 16 + 10 gcd(16, 10) 16 = 1 x 10 + 6 gcd(10, 6) 10 = 1 x 6 + 4 gcd(6, 4) 6 = 1 x 4 + 2 gcd(4, 2) 4 = 2 x 2 + 0 gcd(2, 0)

有限體 有限體是加密的關鍵角色 我們可以證明有限體的級數（元素數目）必須是質數的乘冪，也就是pn（n為正整數） 級數Pn的有限體通常以GF(Pn)表示 經常使用： GF(p) GF(2n)

GF(p) 對質數p而言，級數p的有限體GF(p)定義成整數集合Zp {0, 1, …, p-1}，以及算術運算模數p 因為w 與p 互為質數，所以若將Zp的所有元素乘上w ，產生的餘數將會是所有Zp元素的重排，因此其中某個餘數必為1 Zp 裡的某些整數乘上w 之後的餘數為1。這種整數是w 的乘法反元素，稱為w-1，因此Zp 實際上就是有限體

GF(7) 乘法範例  1 2 3 4 5 6

找出乘法反元素 EXTENDED EUCLID(m, b) 1. (A1, A2, A3)=(1, 0, m); (B1, B2, B3)=(0, 1, b) 2. if B3 = 0 return A3 = gcd(m, b); no inverse 3. if B3 = 1 return B3 = gcd(m, b); B2 = b–1 mod m 4. Q = A3 div B3 5. (T1, T2, T3)=(A1 – Q B1, A2 – Q B2, A3 – Q B3) 6. (A1, A2, A3)=(B1, B2, B3) 7. (B1, B2, B3)=(T1, T2, T3) 8. goto 2

GF(1759)裡的550乘法反元素 Q A1 A2 A3 B1 B2 B3 — 1 1759 550 3 –3 109 5 –5 16 1759 550 3 –3 109 5 –5 16 21 106 –339 4 –111 355

多項式運算 n 階多項式（polynomial）可表示為（整數n ≧ 0）： 多項式運算分成三種不同類型： f(x) = anxn + an-1xn-1 + … + a1x + a0 = ∑ aixi 多項式運算分成三種不同類型： 使用代數基本規則的一般多項式運算 將係數取p 同餘的多項式運算 係數是在GF(p)裡、而且定義成多項式m(x)同餘的多項式運算（m(x)的最高次方為整數n）

一般多項式運算 這類多項式是以係數集合定義 多項式的加法和減法是以係數處理 例如 f(x) = x3 + x2 + 2且 g(x) = x2 – x + 1，那麼： f(x) + g(x) = x3 + 2x2 – x + 3 f(x) – g(x) = x3 + x + 1 f(x) x g(x) = x5 + 3x2 – 2x + 2

係數在Zp的多項式運算 係數可以是「體」F的元素 這種情況的多項式所形成的集合會是環，因此稱為多項式環 大多對 mod 2 最感興趣 也就是所有係數皆為0或1 例如 f(x) = x3 + x2 且 g(x) = x2 + x + 1，那麼： f(x) + g(x) = x3 + x + 1 f(x) x g(x) = x5 + x2

多項式除法 任何多項數可寫成： 如果沒有餘數 如果g(x)沒有1和本身以外的因數，稱為不可分解或質數多項式 f(x) = q(x) g(x) + r(x) 可解釋 r(x) 是為餘數 r(x) = f(x) mod g(x) 如果沒有餘數 就表示g( x）整除f( x ) 可以表示成g( x ) / f( x ) 如果g(x)沒有1和本身以外的因數，稱為不可分解或質數多項式

找出最大公因數 可以改寫歐幾里德演算法來計算： 找出多項式的最大公因數c(x) = GCD(a(x), b(x)) c( x )能整除a( x )和b( x ) a( x )和b( x )的任何因數也是c( x )的因數 可以改寫歐幾里德演算法來計算： EUCLID[a(x), b(x)] 1. A(x) = a(x); B(x) = b(x) 2. if B(x) = 0 return A(x) = gcd[a(x), b(x)] 3. R(x) = A(x) mod B(x) 4. A(x) ¨ B(x) 5. B(x) ¨ R(x) 6. goto 2

範例 GF(23)

計算時的考量

範例 GF(23)的 (x2+1) 是 1012，(x2+x+1) 是 1112 加法運算 乘法運算 (get q(x) & r(x)) (x2+1) + (x2+x+1) = x 101 XOR 111 = 0102 乘法運算 (x+1).(x2+1) = x.(x2+1) + 1.(x2+1) = x3+x+x2+1 = x3+x2+x+1 011.101 = (101)<<1 XOR (101)<<0 = 1010 XOR 101 = 11112 (get q(x) & r(x)) (x3+x2+x+1 ) mod (x3+x+1) = 1.(x3+x+1) + (x2) = x2 1111 mod 1011 = 1111 XOR 1011 = 01002

使用產生器 利用相同的不可分解多項式，也能定義GF(2n)有限體 級數為q的有限體F產生器g是一個元素，這個元素的第一個q – 1次方能產生F所有非零元素 也就是說，這個F的元素是由0, g0, g1, …, gq-2組成 如果f(b) = 0，F裡的元素b就稱為根 不可分解多項式的根g，就是定義在此多項式的有限體的產生器

總結 群、環、體 整數模數算術 歐幾里德演算法 GF(p)有限體 GF(2n)多項式運算