Section 1.2 Describing Distributions with Numbers 用數字描述分配

用統計數字說話 描述資料中心 (center) 位置的統計數字： – 平均數 (mean) – 中位數 (median) 描述資料分散 (spread) 程度的統計數字： – 四分位 (quartiles) 四分位間距 (Interquartile range) 標準差 (standard deviation)

平均數 (mean) 所有資料加總除以資料個數即為平均 數。 n 筆資料分別為 x 1, x 2, …, x n 則均數為 簡記為

中位數 (median) 將所有資料由小到大排序後，排在最 中間的數，稱為中位數，記為 M 。 n 筆資料的中位數 – 若 n 為奇數，則排序第 (n +1)/2 為中位數。 – 若 n 為偶數，則排序第 n /2 與第 n/2 +1 的 平均數為中位數。

平均數與中位數的比較 對稱資料 – 平均數與中位數的數字相當。 偏斜資料 (skewed data) – 左偏斜資料 (skewed to the left) ： 中位數在平均數的右邊，即中位數大於平均數。 – 右偏斜資料 (skewed to the right) ： 中位數在平均數的左邊，即中位數小於平均數。

右偏斜資料 (Figure 1.4)

Skewed (to the Right) Distribution 右偏斜分佈 Figure 1.15(b)

Symmetric Distribution 對稱分佈 Figure 1.15(a)

四分位數 (quartiles) 將所有資料由小到大排序後， – 排在前面 ¼ 位置的數，稱為第 1 四分位數， 記為 Q 1 。 Q 1 也可視為前半資料的中位數。 – 排在前面 ¾ 位置的數，稱為第 3 四分位數， 記為 Q 3 。 Q 3 也可視為後半資料的中位數。 四分位間距 (inter-quartile range)

例題 1.9 Mark McGwire 的全壘打數： ( 偶數 ) – – Q 1 M Q 3 Babe Ruth 的全壘打數： ( 奇數 ) – – Q 1 M Q 3

五數總結與盒形圖 五個重要敘述性統計量，最小值、第 1 四 分位數、中位數、第 3 四分位數及最大值 又稱為五數總結 (five-number summary) 。 – 軟體多可算出五數總結的資料。 盒形圖 (boxplot) 將資料的五數總結，以圖 形呈現出來。

盒形圖實例 (Example 1.9, Figure 1.11)

標準差 (Standard Deviation) 與 變異數 (Variance) n 筆資料分別為 x 1, x 2, …, x n ，則定義變異數為 簡記為 標準差 s 則為變異數 s 2 的平方根

標準差與變異數實例 例題 1.10 ： 7 位受試者的新陳代謝率， 每 24 小時消耗卡路里數，資料如下： 1792, 1666, 1362, 1614, 1460, 1867, 1439 平均數為 1600 卡路里。 變異數為 s 2 = 35, 。 標準差為 s = 卡路里。

標準差與變異數演算

離差 (deviation) 圖示 離差 =  161 離差 =  192 x =  x = 

離差值與自由度 n 筆資料對均值的差稱為離差值，即 因為 n 個離差值的總和必為零， 所以第 n 個離差值，可由前面 n  個離差值來決定。我 們稱離差值有 n  個自由度 (degrees of freedom) 。

標準差的運用 平均數 被選為度量中心時，標準差 s 可度量平均值的離散度。 所有的資料都一樣時， s = 0 ，沒有離散 度。其他情形 s 都大於零。 觀測值離平均數越遠時， s 就越大。 s 與 和原有的觀察值有相同的單位。 高度偏斜或少數離群值會使 s 變很大。

五數總結的選用 描述偏斜分配或是有嚴重離群值的 資料時，五數總結優於平均數和標準 差。 沒有離群值且大致對稱的資料則選 用 與 s 。