Measures Of Central Tendency مقاييس النزعة المركزية Measures Of Central Tendency

* يسمى ذلك الميل إلى التجمع حول هذه القيمة بالنزعة المركزية كل ظاهرة فى الحياة العامة لها ميل للتجمع حول نقطة معينة ؛ ومن ثم إذا استطعنا تحديد هذه النقطة فإننا سنصل إلى قيمة متوسطة تتجمع حولها القيم . * يسمى ذلك الميل إلى التجمع حول هذه القيمة بالنزعة المركزية * وتسمى المقاييس المستخدمة مقاييس النزعة المركزية

شروط المقياس الجيد يحسب بطريقة سهلة لا تؤثر على دقة البيانات . يأخذ فى الاعتبار جميع المفردات المطلوب حساب المقياس لها . يكون له معنى طبيعى مفهوم يستخدم فى الحياة العامة . يعكس التغير فى الظاهرة ، ولا يتغير بتغير طرق حسابه . يخضع للعمليات الجبرية خضوعا تاما . لا يتأثر بالقيم الشاذة او المتطرفة . لا يتأثر باختلاف العينات ذات الحجم الواحد .

Mode Median Harmonic Mean Geometric Mean Arithmetic Mean مقاييس النزعة المركزية Measures Of Central Tendency المنوال Mode الوسيط Median الوسط التوافقى Harmonic Mean الوسط الهندسى Geometric Mean الوسط الحسابى Arithmetic Mean

الوسط الحسابى Arithmetic Mean أولا : فى حالة البيانات غير المبوبة :- يعد من أكثر المقاييس المستخدمة فى الاحصاء حيث انه بسيط وسهل الفهم و يصلح للمقارنة بين المجموعات . أولا : فى حالة البيانات غير المبوبة :- إذا كانت قيم المتغير (x) هـــى x1 , x2 , … , xn حيث (n) يمثل حجم المجموعة ؛ فإن الوسط الحسابى يمكن التعبير عنه على النحو التالى :-

احسب الوسط الحسابى للقيم 2، 4 ، 6 ، 1 مثال الوسط الحسابى يتأثر بالطرح والجمع فالوسط الحسابى للقيم X1+a ,X2+a ,… ,Xn+a يكون :- احسب الوسط الحسابى للقيم 3،5،7،2 مثال الوسط الحسابى يتأثر بالضرب و القسمة فالوسط الحسابى للقيم X1*b ,X2*b ,… ,Xn*b يكون :- احسب الوسط الحسابى للقيم 6،10،14،4 مثال

ثانيا : فى حالة البيانات المبوبة :- هنا تواجهنا صعوبة من نوع جديد ؛ ذلك لأن البيانات فى جدول التوزيع التكرارى تكون غير معروفة بالتفصيل ، بل هى معروفة أجمالا نظرا لاختصارها فى فئات . لذلك سنفترض ان كل المفردات فى كل فئة موزعة توزيعا عادلا على مدى الفئة ؛ اى اننا لن نخطئ كثيرا اذا اعتبرنا المفردات فى كل فئة تكون متجمعة عند مركز الفئة . مركز الفئة = الحد الأدنى للفئة + الحد الأعلى للفئة 2 وعلى ذلك يعرف الوسط الحسابى للتوزيعات التكرارية بأ نة الوسط الحسابى المرجح بالتكرارات .

لتحسين ســـــــــرعة الحساب الوسط الحسابى لمراكز الفئات X1, X2,… ,Xn والمرجح بالتكرارات المناظرة F1,F2,…,Fn يكون مثال الجدول التالى يمثل الأجر الأسبوعى للعامل بالجنية فى مائتين محل بمنطقة شبرا الخيمة :- المطلوب حساب متوسط الأجر الأسبوعى للعامل يمكن الاستفادة من خصائص الوسط الحسابى فى حل المثال بثلاث طرق لتحسين ســـــــــرعة الحساب

الطريقة المطولة أى أن متوسط الأجر الأسبوعى للعامل هو 32.5 جنية

الطريقة المختصرة وهنا نطرح وسطا فرضيا ( مقدار ثابت ) من مراكز الفئات ثم نعيد إضافته إلى الوسط الحسابى بعد حسابه من مراكز الفئات (المعدلة) ‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‍‍. وذلك للتغلب على الصعوبات فى الحساب عندما تكون مراكز الفئات أرقام كبيرة أو كسرية .

الطريقة الأكثر اختصارا وهنا نقسم مراكز الفئات المعدلة (سابقا) على مقدار ثابت ثم نعيد ضربة فى الوسط الحسابى بعد حسابه من مراكز الفئات (النهائية( ‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‍‍. عموما إذا كان الجدول التكرارى منتظما (أطوال الفئات متساوية( فأنة يمكن وضع صفر أمام اى فئة، ووضع الارقام -1،-2،-3،...أمام الفئات السابقة لهذه الفئة ، ووضع الارقام 1،2،…أمام الفئات التالية لها . مقياس أخر

الوسط الهندسى Geometric Mean أولا : فى حالة البيانات غير المبوبة :- إذا كانت قيم المتغير (x) هـــى x1 , x2 , … , xn حيث (n) يمثل حجم المجموعة ؛ فإن الوسط الهندسى يمكن التعبير عنه على النحو التالى :- بالاستعانة باللوغاريتمات

الوسط الحسابى دائما أكبر من الوسط الهندسى ( لنفس البيانات ( احسب الوسط الهندسى و الوسط الحسابى للقيم 2،4،2،16 مثال لاحظ أن الوسط الحسابى دائما أكبر من الوسط الهندسى ( لنفس البيانات (

ثانيا : فى حالة البيانات المبوبة :- الوسط الهندسى لمراكز الفئات X1, X2,… ,Xn والمرجح بالتكرارات المناظرة F1,F2,…,Fn يكون

احسب الوسط الهندسى من الجدول التكرارى التالى :- مثال مقياس أخر

الوسط التوافقى Harmonic Mean أولا : فى حالة البيانات غير المبوبة :- الوسط التوافقى لمجموعه من القيم هو مقلوب الوسط الحسابى لمقلوبات هذه القيم . إذا كانت قيم المتغير (x) هـــى x1 , x2 , … , xn حيث (n) يمثل حجم المجموعة ؛ فإن الوسط التوافقى يمكن التعبير عنه على النحو التالى :-

دائما الوسط الحسابى أكبر من احسب الوسط التوافقى و الوسط الهندسى و الوسط الحسابى للقيم 10،20،40،50 مثال لاحظ أن دائما الوسط الحسابى أكبر من الوسط الهندسى أكبر من الوسط التوافقى (لنفس البيانات(

يفضل ثانيا : فى حالة البيانات المبوبة :- الوسط التوافقى لمراكز الفئات X1, X2,… ,Xn والمرجح بالتكرارات المناظرة F1,F2,…,Fn يكون يفضل استخدام الوسط التوافقى فى حالة التعامل مع الأسعار القياسية أو معدلات السر عات أو معدلات التغير

احسب الوسط التوافقى من الجدول التالى والذى يوضح التوزيع التكرارى لسر عات 100 متسابق :- مثال مقياس أخر

الوسيط رتبة الوسيط = n + 1 عدد القيم فردى 2 الوسيط له رتبتان هما Median الوسيط أولا : فى حالة البيانات غير المبوبة :- الوسيط هو القيمة الموجودة فى منتصف البيانات بعد ترتيبها (تصاعديا أو تنازليا) . إذا كانت قيم المتغير (x) هـــى x1 , x2 , … , xn حيث (n) يمثل حجم المجموعة ؛ فإن الوسيط يكون هو المفردة التى رتبتها (بعد الترتيب ( عدد القيم فردى رتبة الوسيط = n + 1 2 الوسيط له رتبتان هما n & n + 1 2 2 عدد القيم زوجى

(-3)1& (-1)2& (3)3& (6)4& (7)5& (8)6 احسب الوسيط للقيم 112،3،4،5،6 مثال احسب الوسيط للقيم 112،3،4،5،6 الترتيب التصاعدى للقيم الوسيط لم يتأثر بالقيمة الشاذة 112 مثال احسب الوسيط للقيم -3،-1،3،6،7،8 (-3)1& (-1)2& (3)3& (6)4& (7)5& (8)6

* فى حالة الحساب من الجدول التكرارى المتجمع الصاعد (بعد تكوينه) ثانيا : فى حالة البيانات المبوبة :- الوسيط هو القيمة المقابلة لنصف مجموع التكرارات . لذلك رتبة الوسيط = يجب حساب الوسيط من أحد الجدولين التكراريين المتجمعين الصاعد أو الهابط * فى حالة الحساب من الجدول التكرارى المتجمع الصاعد (بعد تكوينه) الوسيط = الحد الأدنى لفئة الوسيط + طول فئة الوسيط ( رتبة الوسيط - التكرار المتجمع الصاعد السابق لفئة الوسيط ( التكرار الأصلى لفئة الوسيط

مثال الجدول التالى يمثل الأجر الأسبوعى للعامل بالجنية فى مائتين محل بمنطقة شبرا الخيمة :- المطلوب حساب متوسط الأجر الأسبوعى للعامل باستخدام الوسيط . رتبة الوسيط

33.33 Median

استخدام الوسيط فى حالة التعامل مع يفضل استخدام الوسيط فى حالة التعامل مع البيانات التى تكثر بها القيم الشاذة . الجداول التكرارية المفتوحة من أحد طرفيها أو من كليهما . التوزيعات التكرارية غير المتساوية فى طول الفئات . مقياس أخر

أقل مقاييس النزعة المركزية تأثر بالقيم الشاذة Mode المنوال أولا : فى حالة البيانات غير المبوبة :- المنوال هو القيمة الأكثر شيوعا بين البيانات. احسب المنوال للقيم 2،3،4،2،11،2 مثال أكثر القيم تكرارا هى القيمة 2 المنوال أقل مقاييس النزعة المركزية تأثر بالقيم الشاذة

لا يمكن اعتبار المنوال مقياسا للنزعة المركزية إن لم يكن هناك قيم مكررة . 3،4،5،6،7 مثال إن كان هناك أكثر من قيمة لها نفس الشيوع . 2،3،2،5،3،4 مثال

القوة x ذراعها = المقاومة x ذراعها ثانيا : فى حالة البيانات المبوبة :- المنوال هو القيمة المقابلة لأكبر تكرار؛ والتى تنتمى للفئة التى لها أكبر تكرار (الفئة المنوالية( وعلى ذلك فأن المنوال يقع فى الفئة المنوالية تحت تأثير التكراريين السابق واللاحق للفئة المنوالية . يحدد المنوال باستخدام قانون الرافعة : القوة x ذراعها = المقاومة x ذراعها

لها أكبر تكرار (60( الفئة المنوالية = 25-35 مثال الجدول التالى يمثل الأجر الأسبوعى للعامل بالجنية فى مائتين محل بمنطقة شبرا الخيمة :- المطلوب حساب منوال الأجر الأسبوعى للعامل . لها أكبر تكرار (60( الفئة المنوالية = 25-35 10 - س س نهاية الفئة المنوالية بداية الفئة المنوالية 35 25 المنوال 50 20 التكرار اللاحق التكرار السابق

يمكن تحديد المنوال بيانيا  المنوال = 25 + 7.14 = 32.4جنية يمكن تحديد المنوال بيانيا من رسم المدرج التكرارى

32.14 Mode مقياس أخر