1 集合論 Chapter 3

2 Chapter 3 Set Theory 3.1 Sets and Subsets A well-defined collection of objects (the set of outstanding people, outstanding is very subjective) 有限集合, 無限集合, 一個集合的基數, 子集合 A={1,3,5,7,9} B={x|x is odd} C={1,3,5,7,9,...} A 的基數 (|A|=5) A 為 B 的真子集. C 為 B 的子集合.

3 Chapter 3 Set Theory 3.1 Sets and Subsets 相等的 子集合

4 Chapter 3 Set Theory 3.1 Sets and Subsets 零集或空集合 : {},  宇集 : U A 的冪集合 :A 的所有子集合所成的集合 A={1,2}, P(A)={ , {1}, {2}, {1,2}} If |A|=n, then |P(A)|=2 n.

5 Chapter 3 Set Theory 3.1 Sets and Subsets 對任一有限集合 A ， |A|=n  0, 共有 C(n,k) 個大小為 K 的子集 合 依據子集合的元素 K ，計數 A 的子集合，我們得合

6 Chapter 3 Set Theory 3.1 Sets and Subsets Ex Number of nonreturn-Manhattan paths between two points with integer coordinated 由 (2,1) 到 (7,4): 3 向上, 5 向右 8!/(5!3!)=56R,U,R,R,U,R,R,U permutation 8 個 路徑, 選出３個路徑向上 {1,2,3,4,5,6,7,8}, 一個三元件子集合表示一個方法, 例如, {1,3,7} 表示路 徑 1, 3, and 7 為向上. 許多三元件子集合 =C(8,3)=8!/(5!3!)=56

7 Chapter 3 Set Theory 3.1 Sets and Subsets Ex 一個正整數的許多合成 4=3+1=1+3=2+2=2+1+1=1+2+1=1+1+2= 有 8 個合成.(4 有 5 個分割.). Consider 4= 第一個 加號 第二個 加號 第三個 加號 The uses or not-uses of these signs determine compositions. 合成 = 子集合 {1,2,3}=8

8 Chapter 3 Set Theory 3.1 Sets and Subsets Ex 對整數 n ， r 及 provecombinatorially. Let 考慮含 r 個元素的 A 的所有子集合： 不包含 x 所有可能的 包含 x

9 Chapter 3 Set Theory 3.1 Sets and Subsets Ex 巴斯卡三角形 binomial coefficients

10 Chapter 3 Set Theory 3.1 Sets and Subsets common notations (a) Z= 所有整數的集合 ={0,1,-1,2,-1,3,-3,...} (b) N= 所有非負整數或自然數所成的集合 (c) Z + = 所有正整數所成的集合 (d) Q= 所有有理數所成的集合 ={a/b| a,b is integer, b not zero} (e) Q + = 所有正有理數所成的集合 (f) Q*= 所有非零實數所成的集合 (g) R= 所有實數所成的集合 (h) R + = 所有正實數所成的集合 (i) R*= 所有非零實數所成的集合 (j) C= 所有複數所成的集合

11 Chapter 3 Set Theory 3.1 Sets and Subsets common notations (k) C*= 所有非零複數所成的集合 (l) For any n in Z +, Z n ={0,1,2,3,...,n-1} (m) 對每個實數 a,b with a<b, closed interval open interval half-open interval

12 u 習題 P134 Exercises3.1 8,12,14,20 Chapter 3 Set Theory

13 Chapter 3 Set Theory 3.2 Set Operations and the Laws of Set Theory Def. 3.5 For A,B a) b) c) 聯集 交集 對稱差集 Def.3.6 互斥 Def 3.7 餘集 Def 3.8 A 在 B 的（相對）餘集

14 Chapter 3 Set Theory 3.2 Set Operations and the Laws of Set Theory 對任意宇集 U 及任意集合 A,B in U ，下面敘述為等價的︰ a) b) c) d) reasoning process

15 Chapter 3 Set Theory 3.2 Set Operations and the Laws of Set Theory 集合論定律

16 Chapter 3 Set Theory 3.2 Set Operations and the Laws of Set Theory 集合論定律

17 Chapter 3 Set Theory 3.2 Set Operations and the Laws of Set Theory s 對偶 s (s d ) 對偶原理。令 S 表一個處理二個集合表示式相等的定理，則 S d ， S 的對偶，亦為一個定理

18 Chapter 3 Set Theory 3.2 Set Operations and the Laws of Set Theory Ex What is the dual of Since U A A A B 范恩圖

19 Chapter 3 Set Theory 3.2 Set Operations and the Laws of Set Theory

20 Chapter 3 Set Theory 3.2 Set Operations and the Laws of Set Theory Def I: 指標集 Theorem 3.6 一般化的狄摩根定律

21 u 習題 P146 Exercises3.2 4,8, 9,10, Chapter 3 Set Theory

22 Chapter 3 Set Theory 3.3 Counting and Venn Diagrams 在一個５０位大一新生的班級上，有３０位學習 C++ ，２５ 位學習 JAVA ，且有１０位二種語言都學習，試問有多少位 大一新生學習 C++ 或 JAVA ？ U AB

23 Chapter 3 Set Theory 3.3 Counting and Venn Diagrams 對１００個此類門樣本 set A: with D 1 set B: with D 2 set C: with D 3 Ex : AND 門有任何或所有下面的缺陷 D 1 : 輸入 I 1 卡住在０。 D 2 : 輸入 I ２ 卡住在 0 D 3 : 輸入 O 卡住在 1 with |A|=23, |B|=26, |C|=30,, 有多少個門至少有一個缺陷 ? A B C Ans:57

24 Chapter 3 Set Theory 3.3 Counting and Venn Diagrams Ex 3.27 有三種遊戲，有多少種方法一位學生可每天玩一種 遊戲，使得五天內，這三種遊戲他每種至少玩一 次？ set A: 不玩第一種遊戲 set B: 不玩第二種遊戲 set C: 不玩第三種遊戲 balls containers g1 g2 g3

25 u 習題 P150 Exercises3.3 4,6,10 Chapter 3 Set Theory