קבלת החלטות שיעור 2#

כימות אי הודאות הסתברות ככלי לביטוי אי הודאות בבעית ההחלטה : –חוזק האמונה ב " אמיתות " השונות –ערך בין 0 ל - 1 שמבטא את האמונה שלנו בסיכוי ל " אירוע " מסויים –הסתברות 1 = ודאות מוחלטת שהאירוע יקרה –הסתברות 0 = ודאות מוחלטת שהאירוע לא יקרה משפט בייס ככלי לעדכון הסתברות

הגדרות נוספות Prior probability – ההסתברות של מאורע לפני קבלת מידע חדש ( ממצא ) בנוגע אליו Posterior probability – ההסתברות של מאורע לאחר קבלת מידע חדש ( ממצא ) בנוגע אליו Probability revision – התחשבות במידע חדש לצורך המרת ה - Prior probability ל - posterior probability

תפקיד הטכניקות ל - Probability revision ממצא חריג לפני קבלת הממצא לאחר קבלת הממצא ציר הזמן Prior Probability Posterior Probability אבחנה

שתי תבניות מרכזיות לקבלת החלטות כל ההחלטות מתקבלות מראש, ואז מתבררים מצבי הטבע ( והתמורות ) מצבי הטבע מתבררים לאורך לתהליך קבלת ההחלטות

ניתוח באמצעות עץ החלטה - שלבים בניית עץ החלטה : –זיהוי ותיחום הבעיה ( מהי בעיית ההחלטה בתוך הסיפור ?) –הבניית הבעיה (structuring) –אפיון האינפורמציה הדרושה חישוב ה - Expected Value של כל אלטרנטיבה בחירת האלטרנטיבה עם ה - expected value הגבוה ביותר שימוש בניתוח רגישות (sensitivity analysis) על - מנת לבחון את מסקנות הניתוח

מיקסום ה - Expected Value של מי ?

מיקסום ה - Expected Value של מי ? (2) ברפואה : –של החולה –של הרופא –של החברה –של הממשלה –של הביטוח הרפואי במסחר : –של הקונה –של המוכר ( בעל החנות, המוכר בחנות ) –של המתווך ( סוכן נסיעות, מנוע השוואת מחירים, מתווך דירות ) –של הממשלה ( מס על רכב " ירוק ")

בניית עץ ההחלטה הגדרת בעיית ההחלטה זיהוי אלטרנטיבות ההחלטה זיהוי התוצאות (outcomes) האפשריות של כל אלטרנטיבה ייצוג רצף האירועים שמובילים לכל תוצאה אפשרית כסדרה של צמתי chance (chance nodes) וצמתי החלטה (decision nodes) קביעת ההסתברות של כל chance outcome ( סכום ההסתברויות היוצאות מ - chance node תמיד 1) קביעת ערך ( העדפה / תועלת / תשלום ) לכל תוצאה אפשרית ( מונחי תוחלת חיים, כסף, עלות, איכות חיים, תועלת וכו ')

למה עצי החלטה ? מאפשרים הצגה ויזואלית של הבעיה ומייצגים את אלמנטי המפתח במודל –הפרדה בין החלטות ואירועים שאין לנו שליטה עליהם החלטות – מיוצגות באמצעות ריבועים, מהם יוצאות האלטרנטיבות האפשריות אירועי אי - ודאות מיוצגים באמצעות עיגולים, מהם יוצאים מצבי הטבע האפשריים תמורות = העלים הסופיים בעץ

דוגמא שוק חזק (0.5) שוק חלש (0.5) $200M $-180M 0 $100M $-20M שוק חזק (0.5) שוק חלש (0.5) בניית מפעל קטן Do nothing צומת החלטה (decision node) צומת מצב טבע (A state of nature) תמורות (payoffs) בניית מפעל גדול

EMV (iאלטרנטיבה ) = (תמורה ממצב טבע 1) x (הסתברות למצב טבע 1) + (תמורה ממצב טבע 2) x (הסתברות למצב טבע 2) +…+ (Nתמורה ממצב טבע ) x (N הסתברות למצב טבע ) Expected Monetary Value

1.EMV(A 1 ) = (.5)($200,000) + (.5)(-$180,000) = $10,000 2.EMV(A 2 ) = (.5)($100,000) + (.5)(-$20,000) = $40,000 3.EMV(A 3 ) = (.5)($0) + (.5)($0) = $0 דוגמה מצב השוק שוק חלששוק חזק אלטרנטיבה ,000 בניית מפעל גדול (A1) ,000 בניית מפעל קטן (A2) 00 לא לבנות (A3) 0.5 הסתברות

" קיפול העץ " הכפלת ההסתברויות ברווח בכל chance node על - מנת למצוא את תוחלת הרווח בחירת האלטרנטיבה בעלת תוחלת הרווח הגבוהה ביותר בכל decision node

דוגמה – טיפול בחולה Operate Do not operate Disease present Disease absent Disease present Disease absent Survive Operative death Palliate Operative death U=0 Survive Cure No Cure No cure Cure p=.10 p=.90 p=.10 p=.90 p=.10 p=.02 p=.98 p=.10 p=.90 p=.10 p=.01 p=.99 Try for the cure U=.2 U=1 No cure Cure p=.10 p=.90 U=.2 U=1 U=.2 U=1 U=0 U=1

קיפול העץ Operate Do not operate Disease present Disease absent Disease present Disease absent Survive Operative death Palliate Operative death U=0 Survive No cure Cure No cure Cure p=.10 p=.90 p=.10 p=.90 p=.10 p=.02 p=.98 p=.10 p=.90 p=.10 p=.01 p=.99 Try for the cure U=.2 U=1 U=.2 U=1 U=0.1 X X.2 =.28 U=1

Fold It Again Operate Do not operate Disease present Disease absent Disease present Disease absent Survive Operative death Palliate Operative death U=0 Survive No cure Cure No cure Cure p=.10 p=.90 p=.10 p=.90 p=.10 p=.90 p=.10 p=.01 p=.99 Try for the cure U=.2 U=1 U=.2 U=1 U=0 U =.98 X X 0 =.27 U=1

Try for Cure Vs. Palliative Operate Do not operate Disease present Disease absent Disease present Disease absent Survive Operative death Palliate No cure Cure p=.10 p=.90 p=.10 p=.90 p=.10 p=.01 p=.99 Try for the cure U=.2 U=1 U=0 U =.98 X X 0 =.27 U =.90 X X 0 =.83 U=1

Final Fold - Operate Vs. Do Not Operate Do not operate Operate U=.928 U=.974

מה היה יכול לגרום לשינוי ההחלטה ? שינוי בתמורות ( למשל הערך של “no cure” היה עולה ) שינוי בהסתברויות ( למשל ההסתברות למוות במהלך הניתוח היתה גדלה )

דוגמא מחלקת מו " פ קיבלה משימה למצוא דרך זולה יותר לייצר את מוצר הדגל של החברה שתי טכנולוגיות אפשריות נבחנו (ω ו - α) – אי - ודאות בנוגע לתועלת הצפויה מכל טכנולוגיה ניתן להסיר את אי - הודאות באמצעות R&D ריבית לתקופה – 10%

האם כדאי להשקיע באחת מהטכנולוגיות ? השקעה בטכנולוגיה α: השקעה בטכנולוגיה ω : האם ניתן לשפר עוד יותר את הרווח הצפוי ?

בעיית המו " פ כעץ החלטה איזו טכנולוגיה לפתח ראשונה ? מתי כדאי לפתח גם את השניה ? ע " פ כל קריטריון כלכלי, חלופה α (dominates) שולטת על ω ( עלות פיתוח נמוכה יותר, פחות תקופות, תוחלת פרס גבוה יותר, מינימום פרס גבוה יותר, פחות שונות בפרסים...)

Example αω 0.8, 0 0.2, , , , , 550.5, , , 00.2, , 0 0.2, 240 α α stop ω ω 100

ניתוח רגישות 3 אלטרנטיבות לבניית קומפלקס דיור ושני מצבי טבע ידוע שההסתברות ל -high היא 0.65 ול - low 0.35: מצבי הטבע (states of nature) אלטרנטיבות LowHigh Small88 Medium515 Large-1122 Expected Monetary Value (EMV) 8(0.35) + 8(0.65) = 8 5(0.35) + 15(0.65) = (0.35) + 22(0.65) = 10.45

Dr. C. Lightner Fayetteville State University26 ניתוח רגישות ניתוח רגישות ביחס לרמת דיוק ההערכה של הסתברות מצבי הטבע ( האם ההחלטה שבחרנו היתה משתנה אילו הסתברות מצבי הטבע שונה ) כאשר יש רק שני מצבים אפשריים ניתן לייצג באמצעות גרף : EMV( small) = 8*p + 8*(1-p)= 8 EMV( medium) = 5*p + 15*(1-p) = 15 – 10p EMV( large) = -11*p + 22*(1-p) = 22 – 33p

Dr. C. Lightner Fayetteville State University27 CAL Condos: Sensitivity Analysis EMV( medium) EMV( large) EMV( small)

סימולציה יכולה לשמש ככלי אלטרנטיבי לקיפול העץ בכל chance node יש לבצע הגרלה לכל רצף אפשרי של החלטות יש לבצע סימולציה נפרדת ( לדוגמה, בדוגמת הטיפול בחולה יש 3 רצפים אפשריים ) מחייב הרצות רבות ( במיוחד כאשר יש מצבי טבע שההסתברות לקבלתם נמוכה / נדירה )

29 ערך מידע חדש על - מנת לבחון האופציה למידע חדש, עלינו לדעת : –עד כמה אמין המידע הנוסף ? מידע מושלם (perfect information), מידע לא מושלם (imperfect information) –כמה כדאי לשלם עבור המידע ? במונחי כסף, במונחי זמן

ערך מידע מושלם הוא ההפרש שבין הרווח בודאות מוחלטת לבין הרווח במצב של אי - ודאות EVPI = – Expected value under certainty Maximum EMV Maximum EMV Expected value Expected value. under certainty = under certainty = (הרווח הגבוה ביותר האפשרי במצב טבע 1) x (הסתברות מצב טבע 1) + (הרווח הגבוה ביותר האפשרי במצב טבע 2) x (הסתברות מצב טבע 2) + … + ( Nהרווח הגבוה ביותר האפשרי במצב טבע ) x (Nהסתברות מצב טבע ) ערך מידע מושלם

התוצאה הטובה ביותר אם ידוע לנו שיהיה שוק חזק היא 200,000 ( בניית מפעל גדול ) ואם ידוע לנו שיהיה שוק חלש אז נוכל להשיג 0 ( לא לבנות ). Expected value under certainty = ($200,000)(.50) + ($0)(.50) = $100,000 מצב השוק שוק חלששוק חזק אלטרנטיבה ,000 בניית מפעל גדול (A1) ,000 בניית מפעל קטן (A2) 00 לא לבנות (A3) 0.5 הסתברות דוגמה

ה - EMV שחושב ללא מידע מושלם הוא 40,000$, ולכן : = $100,000 – $40,000 = $60,000 EVPI = – Expected value under certainty Maximum EMV וזהו התשלום המקסימלי תמורת המידע שצריכה החברה להסכים לו דוגמה ( המשך )

ערך של אינפורמציה – עקרונות כלליים על - מנת שלמידע הנוסף יהיה ערך, חייבת להיות החלטה שתשתנה כתוצאה מקבלתו. להגברת הביטחון שלנו במצב זה או אחר אין ערך. הערך מושג רק על - ידי שיפור ה - EMV. מצב העולם לא יכול להשתנות כתוצאה מקבלת או אי - קבלת האינפורמציה

34 הסתברות ומידע מושלם מידע נחשב " מושלם " (perfect) אם הוא תמיד נכון אתה שוקל להשקיע בחברה. עם זאת, לפני ההשקעה היית מעוניין לדעת האם מדד תל - אביב 25 יעלה, דבר אשר צפוי להשפיע על התמורה מהשקעתך, ולכן אתה מחליט להתייעץ עם מגלה עתידות. נסמן A=" מדד 25 יעלה " ו - A’=" מגיד העתידות מנבא שמדד 25 יעלה ". מה לגבי : Pr(A | A’)? אם מגיד העתידות תמיד חוזה נכונה את מצב המדד, הרי : כלומר, ההסתברות Pr (A | A’) היא 1 ללא קשר להסתברות Pr(A)

35 Probability and Perfect Information על - פי ההסתברויות לעיל, לאחר שתיוועץ במגיד העתידות בעל המידע המושלם, לא תיוותר אי - ודאות כלשהו בנוגע למאורע מה לגבי : ? כלומר, ההסתברות היא 1 ללא קשר להסתברות

36 תוחלת ערך מידע מושלם (EVPI) דוגמת שוק ההשקעות למשקיע קיימים כספים זמינים להשקעה באחת מ - 3 אלטרנטיבות : מניה בסיכון גבוה, מניה בסיכון נמוך או חשבון חיסכון שמשלם ריבית של 500 דולר. אם ישקיע במניות, עליו לשלם עמלת ברוקר של 200 דולר. אם השוק יעלה, ירויח 1700 דולר מהשקעה במניה בסיכון גבוה, ו דולר ממניה בסיכון נמוך. אם השוק נשאר באותה רמה, הרווח מהשקעת הסיכון גבוה יהיה 300 דולר ומהשקעת הסיכון נמוך 400 דולר. אם השוק ירד, יפסיד 800$ מהשקעת הסיכון הגבוה אולם עדיין ירויח 100 דולר בהשקעת הסיכון הנמוך. ההסתברות שהשוק יעלה היא 0.5, ההסתברות שישאר יציב היא 0.3 וההסתברות שירד – 0.2.

37 מניית סיכון גבוה מניית סיכון נמוך חשבון חיסכון עולה ( 0.5) יציב ( 0.3) יורד ( 0.2) עולה ( 0.5) יציב ( 0.3) יורד ( 0.2) $1,500 $100 -$1,000 $1,000 $200 -$100 $500 Payoff שוק EMV=$540 EMV=$580 Influence Diagram החלטת השקעה מצב השוק רווח Decision Tree

38 כעת נניח שהמשקיע יכול להיוועץ במגיד העתידות אשר יספק מידע מושלם לגבי ביצועי השוק, בטרם קבלת ההחלטה בנוגע להשקעה יירד (0.2) מצב השוק מניית סיכון גבוה מניית סיכון נמוך חשבון חיסכון $1,500 $200 $1,000 $500 $100 Payoff יעלה (0.5) יציב (0.3) $500 -$100 -$1,000 $500 מניית סיכון גבוה מניית סיכון נמוך חשבון חיסכון מניית סיכון גבוה מניית סיכון נמוך חשבון חיסכון EVPI = EMV( עם מידע מושלם ) – EMV ( ללא מידע מושלם )= =$420 ולכן על המשקיע להגביל את התשלום למגיד העתידות עד ל דולר EMV= $1,000 החלטת השקעה מצב השוק רווח

לרוב המידע שאנו מקבלים אינו מושלם מקורות למידע לא מושלם : - ניתוחי וסקרי שוק - ניתוח נתוני עבר וזיהוי מגמות - בחינה מקדימה / פיילוט - מדידות לא ישירות - הערכות מומחים - תחושות בטן

ערך של מידע לא מושלם (EVII) מידע לא מושלם : דוגמת שוק ההשקעות ( המשך ) במקום להתייעץ עם מגיד העתידות החלטת לשכור כלכלן המתמחה בחיזוי מגמות שוק ההון. על - אף יכולותיו הגבוהות הכלכלן לעיתים טועה ותשובותיו בהינתן מצב השוק האמיתי הן כדלהלן : החלטת השקעה מצב שוק תחזית הכלכלן רווח הערכת הכלכלן (E) מצב השוק (M) UpFlatDown "Up"Pr( “ Up ” |Up)=0.80Pr( “ Up ” |Flat)=0.15Pr( “ Up ” |Down)=0.20 "Flat"Pr( “ Flat ” |Up)=0.10Pr( “ Flat ” |Flat)=0.70Pr( “ Flat ” |Down)=0.20 "Down"Pr( “ Down ” |Up)=0.10Pr( “ Down ” |Flat)=0.15Pr( “ Down ” |Down)=0.60

41 אם הכלכלן חוזה " יעלה ": תחזית הכלכלן מניה בסיכון גבוה מניה בסיכון נמוך חשבון חיסכון $1,500 $100 -$,1000 רווח “ יעלה ” (?) עולה (?) יציב (?) יורד (?) $1,000 $200 -$100 עולה (?) יציב (?) יורד (?) $500 Pr(E=“Up”) =? Pr(M=Up|E=“Up”) =? Pr(M=Flat|E=“Up”) =? Pr(M=Down|E=“Up”) =?

42 $1,500 $100 -$,1000 Payoff “ יעלה ”( 0.485) Up (0.825) Flat (0.093) Down (0.082) $1,000 $200 -$100 Up (0.825) Flat (0.093) Down (0.082) $500 EMV= $1,164 EMV= $835 תחזית הכלכלן מניה בסיכון גבוה מניה בסיכון נמוך חשבון חיסכון

43 $1,500 $100 -$,1000 Payoff “ יציב ”(?) Up (?) Flat (?) Down (?) $1,000 $200 -$100 Up (?) Flat (?) Down (?) $500 Pr(E=“Flat”) =? Pr(M=Up|E=“Flat”) =? Pr(M=Flat|E=“Flat”) =? Pr(M=Down|E=“Flat”) =? אם הכלכלן חוזה " יציב ": תחזית הכלכלן מניה בסיכון גבוה מניה בסיכון נמוך חשבון חיסכון

44 $1,500 $100 -$,1000 Payoff “ יציב ”( 0.3) Up (0.167) Flat (0.7) Down (0.133) $1,000 $200 -$100 Up (0.167) Flat (0.7) Down (0.133) $500 EMV= $187 EMV= $293 תחזית הכלכלן מניה בסיכון גבוה מניה בסיכון נמוך חשבון חיסכון

45 Economist’s Forecast High-Risk Stock Low-Risk Stock Savings Account $1,500 $100 -$,1000 Payoff Down(?) Up (?) Flat (?) Down (?) $1,000 $200 -$100 Up (?) Flat (?) Down (?) $500 $1,500 $100 -$,1000 Payoff “ יירד ”(?) Up (?) Flat (?) Down (?) $1,000 $200 -$100 Up (?) Flat (?) Down (?) $500 Pr(E=“Down”) =? Pr(M=Up|E=“Down”) =? Pr(M=Flat|E=“Down”) =? Pr(M=Down|E=“Down”) =? אם הכלכלן חוזה " יירד ": תחזית הכלכלן מניה בסיכון גבוה מניה בסיכון נמוך חשבון חיסכון

46 $1,500 $100 -$,1000 Payoff “Down”(0.215) Up (0.233) Flat (0.209) Down (0.558) $1,000 $200 -$100 $500 Up (0.233) Flat (0.209) Down (0.558) EMV= -$188 EMV= $219 תחזית הכלכלן מניה בסיכון גבוה מניה בסיכון נמוך חשבון חיסכון

47 תחזית הכלכלן “ יעלה ” (0.485) “ יציב ” ( 0.3) “ יירד ” ( 0.215) EMV= $1,164 EMV= $500 EMV= $822 EVII = EMV( עם מידע לא מושלם ) – EMV ( ללא מידע כלל )= =$242 כלומר כדאי למשקיע לשלם לכלכלן עד 242 דולר

אי הודאות עדכון הסתברויות אינפורמציה מושלמת אינפורמציה לא מושלמת אי הודאות נעלמת לפני קבלת ההחלטה אי הודאות נשארת גם בעת קבלת ההחלטה ( אך קטנה ) שאלת הבסיס : מהו הערך ללא אינפורמציה ללא ניסיון להקטין את אי הודאות בטרם ההחלטה סיכום בחירת חלופה החלטה תוצאה בפועל החלטה Acquire Info? אי הודאות רכישת אינפורמציה החלטה רכישת אינפורמציה בחירת החלופה החלטה בחירת החלופה ערכים אמיתיים נגלים תוצאה בפועל ערכים אמיתיים נגלים

סיכום ( המשך ) ערך ללא מידע ≤ ערך עם מידע לא מושלם ≤ ערך עם מידע מושלם ערך מידע לא מושלם ≤ ערך מידע מושלם

ערך מידע – תלוי בהרבה גורמים כמה שווה מידע מושלם לגבי תוצאות הגרלת הלוטו ? –אם מדובר בהגרלה שכבר היתה : אם לא שלחנו טופס – 0 אם שלחנו טופס ואין לנו דרך אחרת לברר את המספרים – גדול מ - 0. –אם מדובר בהגרלה שטרם היתה : האם יש לנו דרך לשלוח טופס ? האם יש לנו בלעדיות על המידע ? מה גודל הפרס, וכמה זוכים בו בממוצע בכל שבוע ?

דוגמה חברה אמריקאית קנתה אופציה לרכוש ממדינה זרה מיליון ק " ג חומר גלם לא מעובד בעלות של 5 דולר לק " ג ניתן לעבד את החומר בצורות שונות למוצרים שונים בעל החברה מאמין שניתן למכור את החומר בארה " ב ב - 8 דולר לק " ג בעקבות ויכוח בין ממשלת ארה " ב למדינה הזרה מאיימת ארה " ב לאסור יבוא החומר

דוגמה ( המשך ) במידה וממשלת ארה " ב תסרב לספק רישיונות יבוא לחברה עבור עיסקה זו, לאחר שתמומש האופציה, תאלץ החברה לשלם קנס של 1 דולר לק " ג על - מנת לבטל העיסקה נתבקשת לסייע לחברה לקבל החלטה

דוגמה ( המשך ) באם תצליח החברה לקבל רישיון יבוא, הרווח לחברה – 3 מליון דולר. באם לא – הפסד של 1 מליון דולר. הנחה – ההסתברות לקבלת רישיון יבוא = 0.5

דוגמה ( המשך ) מהי ההסתברות P שבה תשתנה ההחלטה ? 3*P-1(1-P)=0 P=0.25 אופציה נוספת העומדת בפני החברה היא לפנות קודם בבקשה לקבל רישיון יבוא ורק אז להחליט אם לממש את אופציית הקניה. במקרה כזה יש סיכוי של 0.7 שהאופציה לא תהיה קיימת יותר אם נרצה להשתמש בה

דוגמה ( המשך )

נניח כעת שמקור מסתורי מוכן לתת מידע מושלם לחברה האם היבוא יאושר או לא. כמה שווה המידע ? ללא מידע מושלם – תוחלת רווח של 1 מליון דולר עם מידע מושלם – תוחלת רווח של 1.5 מליון דולר

הערך של מידע שאינו מושלם מכיוון שמידע מושלם לא בנמצא, החברה מנסה להישען על אינדיקציות שונות לצורך ההחלטה מאעכר מקומי מוכן לספק לחברה תחזית אם היבוא יאושר או לא. מניסיון העבר עם האיש, ידוע : –ב - 90% מהמקרים שהיבוא אושר זאת גם היתה האינדיקציה שנתן –ב - 60% מהמקרים שבהם היבוא לא אושר זאת גם היתה האינדיקציה שנתן התמורה המבוקשת עבור המידע – 10,000 דולר האם שווה לבדוק את האופציה ? מהו ערך מידע מושלם ?

מציאת ההסתברויות הנכונות

ולבסוף... מהו שווי המידע של היועץ ?

תבחין עיקרי לערך אינפורמציה למידע יש ערך רק אם הוא משנה את ההחלטה שלנו במידה ולא, ערכו אפס דוגמה משוק המניות : –חדשות נוספות כמעט לא ישפיעו על מחיר המניה –קנה בזמן השמועות –מכור בזמן פרסום החדשות

דוגמה אתה בדרכך הביתה והחלטת לנסוע דרך נתיבי איילון ולא מגהה מהו ערך המידע שיש פקק תנועה בגהה ? מהו ערך המידע שיש פקק תנועה בנתיבי איילון ?

ערך של מידע מודיעיני האם ניתן " לתמחר " את המידע שמספקות יחידות איסוף ?