Сохранение суммы фазовых координат

Важный частный случай представляют системы, в которых в течение всего процесса сохраняется постоянной сумма значений неотрицательных фазовых координат: Математическое моделирование процессов отбора2

В химии, например, это условие выражает закон Ломоносова-Лавуазье сохранения вещества, в экологии – сохранение ёмкости среды обитания. Стандартный симплекс: Математическое моделирование процессов отбора3

Теорема Для того чтобы решение системы удовлетворяло тождеству при любых начальных условиях x(t0),принадлежащих стандартному симплексу S,необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство: (*) в точках, удовлетворяющих условию Математическое моделирование процессов отбора4

Доказательство. Необходимость: Дифференцируя соотношение, получим отсюда следует (*). Математическое моделирование процессов отбора5

Достаточность: Введём переменную Обозначим Математическое моделирование процессов отбора6

Рассмотрим систему: Равенству соответствует, при этом вытекает условие, следовательно, поэтому, что и требовалось доказать. Математическое моделирование процессов отбора7

Замечание Совокупность критериев неотрицательности решения системы дифференциальных уравнений и сохранения суммы фазовых координат даёт необходимые и достаточные условия принадлежности решения дифференциальных уравнений стандартному симплексу. Математическое моделирование процессов отбора8

Следствие1 Пусть функции непрерывны по совокупности переменных, удовлетворяют условию Липшица по переменным х на симплексе S и условию квазиположительности при любых. Математическое моделирование процессов отбора9

Тогда следующая система уравнений является системой на стандартном симплексе, при этом её правые части будут непрерывными, удовлетворяющими условию Липшица по переменным на симплексе S. Математическое моделирование процессов отбора10

Следствие 2 Пусть функции, где параметры - некоторые постоянные или непрерывно зависящие от времени, являются непрерывными по совокупности переменных и удовлетворяют условию Липшица по аргументам на симплексе S для каждого фиксированного момента времени. Если правые части системы уравнений удовлетворяют условию квазиположительности, то система является системой на стандартном симплексе, при этом её правые части будут непрерывными по и, удовлетворяющими условию Липшица по переменным на симплексе S. Математическое моделирование процессов отбора11

Доказательство. Непрерывность правых частей системы очевидна. Условия Липшица по переменным на симплексе выполнено. Просуммировав правые части системы, легко убедиться, что их сумма равна нулю. Следствие доказано. Математическое моделирование процессов отбора12