第三章 随机向量

§3.1 随机向量的分布 一、随机向量及其分布函数 n 维随机向量 ：书 P72 定义 3.1 联合分布函数： 书 P72 定义 3.2 我们主要讨论二维情形 1 、二维随机变量 设 X 和 Y 是定义在 (Ω,P) 上的两个随机变量, 则称 （ X ， Y ）为二维随机变量或二维随机向量。

二维随机变量的例子

2 、联合分布函数 ① 定义：设（ X ， Y ）是二维随机变量， x 、 y 是任意 实数，函数 F （ x,y ） =P{X≤x,Y≤y} 称为（ X ， Y ）的 分布函数，或称随机变量 X 与 Y 的联合分布函数 x y (x,y)

y X≤x (x,y) X Y x y Y≤y 二元分布函数的几何意义

② 边缘分布函数 F X （ x ） =P{X≤x,Y≤+ ∞ } F Y （ y ） =P{X≤+ ∞,Y≤ y } x x y x y y

③ 联合分布函数的性质 (1)0≤F （ x,y ） ≤1; (2) F(-∞,- ∞)=0 F(+∞,+ ∞)=1; 对于任意固定的 Y, 对于任意固定的 X,

(4)F （ x ， y ）关于 x 右连续，关于 y 右 连续， 即 F （ x+0 ， y ） =F （ x ， y) F （ x ， y+0 ） =F （ x ， y ） (3)F(x,y) 对 x 和 y 分别是不减函数. 对于任意固定的 y, 当 x 1 < x 2 时， 对于任意固定的 x, 当 y 1 < y 2 时

x y

说 明 上述五条性质是二维随机变量分布函数的最基本的 性质，即任何二维随机变量的分布函数都具有这五 条性质； 更进一步地，我们还可以证明：如果某一二元函数 具有这五条性质，那么，它一定是某一二维随机变 量的分布函数（证明略）．

例 1 ．已知二元函数 判断它是否为某二维随机变量的分布函数 故 它不是某二维随机变量的分布函数

二、二维离散型随机变量及分布 ①定义：如果二维随机变量 (X ， Y) 所有可能取的数对为有 限个或可数个，则称（ X ， Y ）为二维离散型随机变 量．并 且称 为（Ｘ，Ｙ）的概率分布，或称做Ｘ与Ｙ的联合概率分 布． 简称联合分布，联合分布也可用表格列出

②联合分布的性质：

例 2 ．袋内有四张卡片，分别写有１、２、３、２，每 次从中任取两张，记Ｘ，Ｙ分别表示取到的两张卡片中 的最小数字与最大数字，求Ｘ与Ｙ的联合分布。

例 3.X 表示随机的在 1~4 的 4 个整数中取出的一个数,Y 表示在 1~X 个整数中随机地取出的一个数, 求Ｘ与Ｙ的 联合分布 解： 由题意知， {X=i ， Y=j} 的取值情况是： i=1,2,3,4 ，且 是等可能的；然后 j 取不大于 i 的正整数。由乘法 公式求得 ( X,Y ) 的分布律。

X Y

例 4 二维随机向量 (X,Y) 的联合概率分布为 : X 0 1 Y a 求 :(1) 常数 a 的取值 ; (2)P(X≥0,Y≤1); (3) P(X≤1,Y≤1) 解 (1) 由 ∑p ij =1 得 : a=0.1 (2) 由 P{(X,Y) ∈ D}= (2)P(X≥0,Y≤1)=P(X=0,Y=0)+ P(X=0,Y=1)+P(X=1,Y=0)+P(X=1,Y=1) = =0.6

(3)P(X≤1,Y≤1)=P(X=-1,Y=0)+P(X=-1,Y=1)+P(X=0,Y=0) +P(X=0,Y=1)+P(X=1,Y=0)+P(X=1,Y=1)=0.75 例 5. 将一枚均匀的硬币抛掷 4 次,X 表示正面向上次 数,Y 表示反面朝上次数, 求 (X,Y) 的联合概率分布. 解 X 的所有可能取值为 0,1,2,3,4,Y 的所有可能取值 为 0,1,2,3,4, 因为 X+Y=4, 所以 (X,Y) 概率非零的数值对 为 : X Y P(X=0,Y=4)=0.5 4 =1/16 P(X=1,Y=3)==1/4 P(X=2,Y=2)==6/16 P(X=3,Y=1)= =1/4 P(X=4,Y=0)= =1/16

联合概率分布表为 : : Y X01234X / / / / /

例 6. 设随机变量 Y~N(0 ， 1), 令 求 (X 1,X 2 ) 的联合概率分布。 解 : (X 1,X 2 ) 的取值数对为 (0,0),(0,1),(1,0),(1,1), P(X 1 =0,X 2 =0)=P(|Y|≥1,|Y|≥2) =P(|Y|≥2) =1-P(|Y|<2) P(X 1 =0,X 2 =1)=P(|Y|≥1,|Y|<2) =P(1≤|Y|<2) =P(-2≤Y<-1)+P(1≤Y<2) =2P(1≤Y<2)

P(X 1 =1,X 2 =0)=P(|Y|<1,|Y|≥2)=0 P(X 1 =1,X 2 =1)=P(|Y|<1,|Y|<2)=P(|Y|<1) 联合概率分布表为 : X X101X

③二维离散型随机变量的边缘分布

例 7. 书 P75 例 3.1 例 8. 书 P75 例 3.2 边缘分布具有一元随机变量分布列的性质 联合分布唯一决定边缘分布

例 9. 设 (X,Y) 的联合概率分布为 : X 0 1 Y 求 :(1)X,Y 的边缘分布 ; (2)X+Y 的概率分布.

X P Y P 解（ 1 ）得

X 0 1 Y (2)X+Y 的取值为 -1,0,1,2,3, P(X+Y=-1)=P(X=-1,Y=0)=0.05 P(X+Y=0)=P(X=0,Y=0)+P(X=-1,Y=1)=0.2 P(X+Y=1)=P(X=0,Y=1)+P(X=1,Y=0) +P(X=-1,Y=2)=0.4

同理,P(X+Y=2)=0.3, P(X+Y=3)=0.05 所以 X+Y P

例 10. 已知随机变量 X 和 Y 的分布列分别为 且已知 P{XY=0}=1 求 X 与 Y 的联合分布, 解:解: 由于 P{XY=0}=1 所以 P{XY ≠ 0}=0 X 0 1 Y

三. 连 续型随机向量的联合概率密度, 边缘概率密度 1 、书 P76 定义 、性质 (1) f(x,y)≥0 ， (x,y) ∈ R 2

在几何上 z = f (x, y) 表示空间的一个曲面， 上式 即表示 P{(X,Y)  G} 的值等于以 G 为底，以 曲面 z = f (x, y) 为顶的柱体体积

3 ．边缘概率密度函数及边缘分布函数 边缘分布函数

边缘密度具有一元随机变量密度函数的性质 联合密度函数唯一决定边缘密度函数

4 、二维连续型常见分布 二维均匀分布 对于 G 中任意可度量子区域 D 有

二维均匀分布几何意义

二维正态分布 （书 P79 ）

可以证明 若 则 X,Y 的边缘概率密度分别为 X~N(μ 1,σ 1 2 ), Y~ N(μ 2,σ 2 2 ); 即 二维正态分布 (X,Y) 的边缘概率密度是一维正态分 布. 由此可知随机向量的联合概率密度完全决定了它的边 缘概率密度, 反之不一定成立.

例 11. 设二维随机向量 (X,Y) 的联合概率密度为 求 (X,Y) 关于 X,Y 的边缘概率密度.

X,Y 的边缘概率密度为一维正态分布. 所以, 边缘概率密度为一维正态分布的二维随机向量不一 定是二维正态分布.

例 1 ３. 书Ｐ７８ 例３. ４ 先求待定参数

1 y=x

1 x=y

o y=x y 1

x y o1 y=x 2

x y o

x y 0 y=x 1

y x 0 1 x=y

§3.2 随机变量的独立性

说 明

例 1. 书 P113 习题 7

二、离散型随机变量的独立性

例 2. (X,Y) 的联合概率分布为 : X01X01 Y (1) 求 X,Y 的边缘分布 ; (2) 判断 X,Y 是否独立. (3) 求 F(0,2). 解 :(1)X,Y 的概率分布分别为 : X 0 1 P Y 0 1 P (2)P(X=0,Y=0)=0.3P(X=0)P(Y=0)=0.7×0.5=0.35 X,Y 不独立 注意 :X,Y 独立时, 需对 所有的 (x i,y j ) 一一验证. (3)F(0,2)=P(X≤0,Y≤2)= =0.7

例 4 设随机变量 X 和 Y 相互独立, 试将下表补充完整. Xx1x2Xx1x2 Y y 1 y 2 y 3 1/8 1/61 1/241/41/12 3/4 1/2 3/81/4 1/3

三. 连续型随机变量的独立性

说 明

例 5. 设 (X,Y) 服从区域 D 上的均匀分布, 判断 X,Y 的独立性, 其中 (1)D={(x,y),|x|≤1,|y|≤1};(2)D={(x,y),x 2 +y 2 ≤1} 解 (1) f X (x)= |x|≤1 0 |x|>1 同理, f Y (y)= 所以,X,Y 独立.

(2) X,Y 不独立

x y 0 1 y=1-x

例 9. （正态随机变量的独立性）

四、 n 维随机变量的独立性 注意 ： 若 X,Y 独立， f(x),g(y) 是连续函数， 则 f(X),g(Y) 也独立。

§3.3 随机向量函数的分布与数学期望 一、离散型随机向量函数的分布 例 1. 书 P89 例 p

p

例 2. 设随机变量 X 1 与 X 2 相互独立，分别服从二项分布 B(n 1,p) 和 B(n 1,p) ，求 Y=X 1 +X 2 的概率分布. 解 依题知 X+Y 的可能取值为 0,1,2,...,n 1 +n 2, 因此对于 k (k= 0,1,2,...,n 1 +n 2 ) ，由独立性有 由 得 所以 Y=X 1 +X 2 服从二项分布 B(n 1 +n 2,p)

即:即: 若 X 与 Y 相互独立， X ～ B(n 1,p) ，Ｙ～ B(n ２,p) ， 则 X+Y ～ B(n 1 +n 2,p) 二项分布的可加性 类似可得 ( 书 P91 例 3.13): 若 X,Y 相互独 立,X~P(λ 1 ),Y~P(λ 2 ), 则 X+Y~P(λ 1 +λ 2 ) Possion 分布的可加性

二. 连续型随机变量和的概率密度函数

x + y = z

三. 随机向量函数的数学期望 设 g(X,Y) 为随机变量 X,Y 的函数,E[g(X,Y)] 存在, (1) 若 (X,Y) 为离散型随机向 量,P(X=x i,Y=y j )=p ij,(i,j=1,2…), 则 (2) 若 (X,Y) 为连续型随机向量,(X,Y)~f(x,y), 则

例 4. 设 (X,Y) 的联合概率分布为 X 1 0 3/8 3/ / /8 Y 求 EX,EY,E(XY). 解 X,Y 的边缘分布为 X 1 3 P 3/4 1/4 Y P 1/8 3/8 3/8 1/8 所以 EX=3/2, EY=3/2,

例 5. 书 P95 例 3.19 例 6. 书 P95 例 3.20 例 7. 书 P95 例 3.21

x=y x 0 y

四. 数学期望的性质 1. 如果 (X,Y) 是二维随机向量, 则 2. 若 (X,Y) 是二维随机向量, 且 X 与 Y 独立, 则 E(XY)=EXEY 证明 :

由 X,Y 相互独立得 注 性质 1 和 2 可推广到有限个随机变量情形. 书 P97

§3.4 随机向量的数字特征 一. 协方差 定义 ( 书 P97 定义 3.8) 对两个随机向量 (X,Y), 若 E(X-EX)(Y-EY) 存在， 则称 cov(X,Y)=E(X-EX)(Y-EY) 为 X 和 Y 的协方差。 特别, 若 X=Y, 则 cov(X,X)=E(X-EX) 2 =DX 因此, 方差是协方差的特例, 协方差刻画两个随机变量之间的 “ 某种 ” 关系.

性质 1.cov(X,Y)= cov(Y,X) ； 2.cov(aX,bY)= abcov(X,Y), a,b 为任意常数； 3.cov(C,X)=0, C 为任意常数； 4.cov(X 1 +X 2,Y)=cov(X 1,Y)+cov(X 2,Y) 推论 D(X±Y)=DX+DY±2cov(X,Y)

可以证明 若 (X,Y) 服从二维正态分布, 即 则

二. 相关系数 书 P101 定义 3.10 设随机变量 X 和 Y 的方差为正值, 称 注 若 (X,Y) 服从二维正态分布, 则

例 1. 设 (X,Y) 服从二维正态分布, 且 X~N(1,9),Y~N(0,16), 解

所以

性质 a>0 时,ρ XY =1 a<0 时,ρ XY =-1 (4) 若 X,Y 相互独立, 则 ρ XY =0 证明 (2) cov(X,Y)=E(X-EX)(Y-EY) =E(X-EX)[(aX+b)-E(aX+b)] =E(X-EX)(aX-aEX)=aE(X-EX) 2 =aDX DY=D(aX+b)=a 2 DX 故

注意 |ρ XY | 的大小反映了 X,Y 之间线性关系的密切程度 : ρ XY =0 时, X,Y 之间无线性关系 ; |ρ XY |=1 时, X,Y 之间具有线性关系. ρ XY ≠0,X,Y 相关 ρ XY =0,X,Y 不相关 ρ XY >0,X,Y 正相关 ρ XY <0,X,Y 负相关 ρ XY =1,X,Y 完全正相关 ρ XY =-1,X,Y 完全负相关

显然 X,Y 独立 注 X,Y 不相关, 不一定有 X,Y 独立. 若 (X,Y) 服从二维正态分布, 则 X,Y 独立  X,Y 不相关.

例 2. (X,Y) 的联合分布为 : X 0 1 Y /8 1/8 1/8 1/8 0 1/8 1/8 1/8 1/8 求相关系数 ρ XY, 并判断 X,Y 是否相关, 是否独立. 解 =0 =3/4 由对称性得

EY=EX=0 EY 2 =EX 2 =3/4 另外 =1/8-1/8-1/8+1/8=0 所以 cov(X,Y)=EXY-EXEY=0 即 X 与 Y 不相关. 亦即 ρ XY =0 另一方面 P(X=-1,Y=-1)=1/8≠ P(X=-1)P(Y=-1)=(3/8)×(3/8) 所以 X 与 Y 不独立. X 0 1 Y /8 1/8 1/8 1/8 0 1/8 1/8 1/8 1/8

§3.5 大数定律与中心极限定理 一. 依概率收敛 书 P107 定义 3.12 设随机变量序列 { X n }, 如果存在一个常数 a, 使得对任意的 ε>0 ，有 则称 { X n } 依概率收敛于 a, 记作

二. 大数定律 在实践中，不仅事件发生的频率具有稳定性， 还有大量测量值的算术平均值也具有稳定性。

切比雪夫大数定律 : 设随机变量序列 {X n } 相互独立, 数学期 望和方差均存在, E(X n )=u n, D(X n )=σ n 2 <C (n=1,2,...), 其中常数 C 与 n 无关, 则对任意的 ε>0, 有 书 P108 定理 3.9

推论： 设 {X n } 为相互独立的随机变量序列, 且有相同 期望与方差 : E(X i )=u, 方差 D(X i )=σ 2 (i=1,2,...), 则对任意 的 ε>0, 有

注：辛钦大数定理其实是将推论中要求方差存在 这一条件去掉

书 P107 定理 3.8 （贝努里利大数定律）设每次试验中 事件 A 发生的概率为 p ， n 次重复独立试验中事件 A 发 生的次数为 u n ，则对任意 ε>0, 事件的频率 有 此定理说明了频率的稳定性。

三. 中心极限定理 书 P109 定理 3.11 林德贝格 - 勒维定理

例 1. 用机器包装味精, 每袋味精净重为随机变量, 期望值 为 100 克, 标准差为 10 克, 一箱内装 200 袋味精, 求一箱味精 净重大于 克的概率 ? 解：设一箱净重为 X, 箱中第 i 袋味精净重为 X i,(i=1,2,…,200) 则 X 1,X 2,…,X 200 独立同分布, EX i =100, DX i =10 2 =100, 且 由中心极限定理得 X 近似服从正态分布, 所求为 P(X>20500)= 1-P(X≤20500)

= 故一箱味精净重大于 的概率为 例 3. 一生产线生产的产品成箱包装, 每箱的重 量是随机的. 假设每箱平均重 50kg, 标准差为 5kg. 若用最 大载重量为 5 吨的汽车承运, 试用中心极限定理说明每车 最多可以装多少箱, 才能保障不超载的概率大于 例 2. 书 P110 例 3.30

解:解: 设 X i (i=1,2,…,n) 为装运的第 i 箱的重量,n 是所求的箱数. 则 X 1,X 2,…,X n 独立同分布, 由中心极限定理得 所以 即最多可以装 98 箱.

书 P111 定理 3.12 (( a<b 有 棣莫弗 — 拉普拉斯中心极限定理 说明：这个公式给出了 n 较大时二项分布的概率 计算方法。

例 1. 从次品率为 0.05 的一批产品中随机地取 200 件产品。 分别用二项分布，泊松分布，棣莫佛 — 拉普拉斯中心极限 定理计算取出的产品中至少有 3 个次品的概率. 解：（ 1 ）用二项分布计算

(2) 用泊松分布进行近似计算 (3) 用棣莫佛 — 拉普拉斯中心极限定理计算

例 1 ． 例 2. 一家保险公司里有 人参加保险，每人每 年付 12 元保险费，在一年内一人死亡的概率为 ，死 亡后其家属可向保险公司领得 1000 元。 （ 1 ） (1) 保险公司亏本的概率是多少？ （ 2 ） (2) 保险公司一年的利润不少于元 ， 元， 元的概率是多少？ 解：设 X 为一年内死亡的人数，则由题设知 (1) 保险公司亏本，即

由棣莫佛 — 拉普拉斯中心极限定理得 (2) 利润不少于 元，即

同理 例 3. 某单位有 200 台电话分机，每台分机有 5% 的时间要使 用外线通话。假定每台分机是否使用外线是相互独立的， 问该单位总机要安装多少条外线，才能以 90% 以上的概 率保证分机用外线时不等待？ 解：设有 X 部分机同时使用外线，则有 设有 N 条外线。由题意有

由德莫佛 - 拉普拉斯定理有

例 4 ．假设根据统计资料，男孩出生率为 ，女孩出生 率为 ，试用中心极限定理求在 个新生婴儿中男 孩不多于女孩的概率。 解：用 X 表示 个新生婴儿中男孩的人数，则 X ～ b(10000 ， 0.515) 男孩不多于女孩, 即

例 5. 一条自动生产线上生产的产品次品率为 20 % ，连 续生产 5000 件，用中心极限定理估计次品率 19 % 到 21 % 之 间的概率。 解：设 X 表示 5000 件产品中的次品数，则 X ～ B(5000 ， 0.2)

例 6 ．一学校有 1000 名住校学生，每人都以 80 % 的概率去 图书馆上自习，问图书馆至少应设多少个座位才能以 99 % 的概率保证上自习的同学有座位？ 解： X 表示同时去图书馆的人数，则 X ～ B(1000 ， 0.8) 设至少设 K 个座位才能以 99 % 的概率保证上自习的同学有 座位，即

从而应设 823 个座位才能以 99 % 的概率保证上自习的同学 有座位。