1 Gauss’ Algorithm Revisited Brigitte Vallee Journal of Algorithm 12, 1991 田錦燕 報告日 :95/01/25 最後修改 :95/2/27

2 Paper 內的章節 : 1.An historical survey 2.Different formulations of Gauss’ algorithm 3.Comparison between these algorithms 4.The possible antecedents of a configuration 5.The worst-case configuration of Gauss’algorithm 6.Comparing Gauss’ algorithm and Euclid’ s algorithm 7.The complexity of the LLL algorithm 本次報告內容 : 1. 本篇主要結論 ( 前言 ) 2.Gauss’ algorithm 歷史演進（１） 3.Different formulations of Gauss’ algorithm （２） 4. 與 Euclid’s Algorithm 和 Continued Fraction 比較（６）

3 1. 本篇主要結論 我們提出演算法的上限 顯見 Gauss’algorithm 歸納自 Euclid’s algorithm 的二維 case, 推論 Gauss’algorithm 的 worst-case 歸納自 Euclid’s algorithm 的 worst-case 。 考慮更進一步關於 LLL algorithm 的問題, LLL algorithm 使 用 Gauss’ algorithm 的修改版, 以下稱為 gauss(t) 。 LLL algorithm 當 t 大於 1 時是一個 polynomial time algorithm 推測當 t 等於 1 時,LLL algorithm 也是 polynomial time algorithm 。 當 t 等於 1 時, LLL algorithm 使用的副程式正好為原始的 Gauss’ algorithm

4 2.Gauss’ algorithm 歷史演進 Lagrange[11] 是第一個研究 reduction theory of binary quadratic forms, 但這些名詞實際上並沒有出 現在他的著作中。 將二維中的 bases of lattice 和 quadratic forms 關連起 來的是 Gauss[3](1953) Dirchlet[1](1850) 有系統的整理且延伸至三維。 Gauss 的貢獻最大, 所以將 reduction of binary quadratic form 命名為 Gauss’s algorithm 。 1983,Lovasz’ basis reduction algorithm(L 3 -algorithm)

5 3.Different formulations of Gauss’ algorithm Gauss’ algorithm Gauss-acute algorithm

6 Gauss’ algorithm(1/2) 我們從在 Z 2 中 lattice L 的一個 basis(u,v), 若 u 是 basis(u,v) 的最短向量, 我們可將向量 v 寫成最小向 量 x(v,u) K(v,u) = { w|w = ε(v-mu), m 屬於 Z, ε=±1} x(v,u) 是由 r=u ． v/u 2 得來, 而 m 是最接近 r 的數, 而 ε 的 符號是 r-m Gauss algorithm Repeat 1. If u 2 ＞ v 2, 將 u and v 交換 2. v:=x(v,u) Until u 2 ≦ v 2

7 檢視 Gauss 的公式, 如果將運算轉換成 Gram matrix G(u,v), 依定義可得到 在 lattice L 中得到一組 basis(u,v), Gauss algorithm 能在 L 中找出一 basis 為兩個 最小向量 Gauss’ algorithm(2/2)

8 考慮 Gauss-acute 的終止情況 若有三個點 A.B.C 定義如下 : u = AB, v = AC 依條件 (u ‧ v ≦ v 2 ) 知 C 角是銳角, 第二步是使 A.B 角亦為銳角。因此, 當以 u 、 v 為兩邊的三 角形 A.B.C 的三個角均為銳角時,Gauss-acute 停止。 Gauss-acute algorithm u v A B C u v A C B

9 比較 Gauss,Gauss(t),Gauss-acute NameGaussGauss(t) (LLL Algorithm) Gauss-acute 近似 正交 投影 Repeat 1.If u 2 ＞ v 2 swap(u,v) 2.u:=v- 「 」 u ( 同左 ) 停止 條件 until u 2 ≦ v 2 until u 2 ≦ t 2 v 2 until u ‧ v ＜ v 2 滿足 條件 v 2 ≧ u 2 0 ≦ u ‧ v ≦ ½ u 2 v 2 ≧ ( 1/t 2 )u 2 0 ≦ u ‧ v ≦ ½ u 2 u ‧ v ＜ v 2 0 ≦ u ‧ v ≦ ½ u 2

10 4. 與 Euclid’s Algorithm 和 Continued Fraction 比較 Gauss’ algorithm 是由 Euclid’s algorithm 推論 得來,Euclid’s algorithm 的基本步驟是將兩個 正整數 a 和 b(a ≧ b) 表示如下 : a = bq + r with 而且將 (a,b) 更新為 (b,|r|) 而 Gauss’ algorithm 是依此步驟推廣至二維。 在 Z 2,Gauss’ algorithm 和連分數是一樣的

11 (w,w’) 和 (u,v) 是同一個 lattice L 的兩個 bases, 假設以下兩個條件成立： (1) 兩個向量 u 和 v 形成一銳角 (2) 兩個向量 w 和 w’ 能表示在 basis(u,v) 中 w = pu+qv 和 w’=p’u+q’v p,p’,q,q’ 為正整數, 滿足 q < q’ 依 Gauss’ algorithm 步驟, 更新向量 w’ 為 w 0 =p 0 u+q 0 v 有理數 p 0 /q 0, 即 p/q 的連分數之 convergent 具 pq’ - p’q = ±1 性質

12 [Example] 取 a=(78,37) b=(34,16) [ 步驟一 ] A=7453 B=1412 [ 步驟二 ] n=3244 r ≒ 2 T=125 [ 步驟三 ] t=(10,5) a=(34,16) b=(10,5) A=1412 B=125 [ 步驟二 ] n=420 r ≒ 3 T=17 [ 步驟三 ] t=(4,1) a=(10,5) b=(4,1) A=125 B=17 [ 步驟二 ] n=45 r ≒ 3 T=8 [ 步驟三 ] t=(-2,2) a=(4,1) b=(-2,2) A=17 B=8 [ 步驟二 ] n=-6 r ≒ -1 T=13 [ 步驟三 ] 13 ≧ 8 output (-2,2)

13 u=(78,37) v=(34,16) 連分數為 [2:3,3],convergent 為 (w,w’) 和 (u,v) 是同一個 lattice L 的兩個 bases w = p(78,37) +q (34,16) w’=p’ (78,37) +q’ (34,16) 依 Gauss’ algorithm 步驟, 更新向量 w’ (10,5)=1 (78,37) +-2 (34,16) (-4,-1)=3 (78,37) +-7 (34,16) (-2,2)=10 (78,37) +-23 (34,16)