משוואת שרדינגר תלת-ממדית, ספין, צימודים וניוונים אטום המימן במבט קוונטי משוואת שרדינגר תלת-ממדית, ספין, צימודים וניוונים

משוואת שרדינגר תלת-ממדית הצורה הכללית של משוואת שרדינגר בשלשה ממדים היא: צורת המשוואה מתאימה לקואורדינטות קרטזיות. אם הפוטנציאל סימטרי בשלשת הממדים הפתרון פשוט ואפשר לכתוב את פונקצית הגל כ- פתרון של חלקיק בבור דמוי קוביה הנו יוצא דופן בטבע. יותר מקובלת היא סימטרייה כדורית, למשל לגבי אטומים. המשוואה התלת-ממדית היא הרחבה פשוטה של המקרה החד-ממדי שראינו מקודם. בתנאי שהפוטנציאל סימטרי, ניתן להניח כי פונקצית הגל מאפשרת הפרדת משתנים ולכן מקבלים למעשה שלוש משוואות, אחת לכל קואורדינטה. האנרגיה הכללית היא סכום שלשה ערכים עצמיים של אנרגיה. דוגמה לכך היא חלקיק לכוד בבור פוטנציאל קובייתי, הרחבה של בור הפוטנציאל שהכרנו בשיעור הקודם.

מערכות קואורדינטות קרטזיות קוטביות ההנחה של בורות פוטנציאל קובייתיים אינה כל כך פיסיקאלית. יותר מקובל למצוא בורות פוטנציאל כדוריים (סימטריה ספירית). מערכת הקואורדינטות ה-”טבעית” לתיאור אירועים בבור פוטנציאל כזה היא מערכת קואורדינטות קוטביות. יש לשים לב להצגה של יחידת הנפח הדיפרנציאלית בשתי השיטות של קואורדינטות. המעבר בין שיטה לשיטה נתון בשקף הבא. קרטזיות קוטביות

המבט הקוטבי המעבר ממערכת קואורדינטות קוטביות למע’ קרטזית הנו לכן משוואת שרדינגר הנה: וצורת הפתרונות הנה: המעבר ממערכת קוטבית למערכת קרטזית נעשה ע”י שלשת משוואות הטרנספורמציה מלמעלה. ע”י שינוי קואורדינטות, משוואת שרדינגר משתנה אף היא. כמו שהנחנו אפשרות להפרדת משתנים קרטזית, אפשר עכשיו להניח שקיימת הפרדת משתנים קוטביים. שלשת המשתנים הם: רדיוס זווית קוטבית זווית אזימותלית פירושה של הפרדת המשתנים היא שפונקציית גל שהיא הפתרון של משוואת שרדינגר בקואורדינטות קוטביות היא המכפלה של שלוש פונקציות גל, שכל אחת מהן היא פונקציה של משתנה קוטבי יחיד (רדיוס, זווית קוטבית, או זווית אזימותלית).

משוואת שרדינגר-פתרונות קוטביים (1) ע”י הכפלה ב מקבלים: האיבר דורש ש במשוואה השניה מותר להחליף את הנגזרות החלקיות בנגזרות שלמות כיוון שלאחר הפרדת המשתנים בפונקצית הגל, הפונקציות הן כל אחת תלויה רק במשתנה אחד . האיבר של המשוואה לא כולל אף אחד משני המשתנים האחרים ולמרות זאת, השוויון שבמשוואה צריך להתקיים עבור כל ערך של שלשת המשתנים. מכאן, שאיבר זה צריך להיות שווה לקבוע (קבוע חיובי) או לאפס. הפתרון שבשורה התחתונה ניתן להגבלה, כיוון שפונקצית הגל צ”ל חד-ערכית וסיבוב שלם של מע’ הצירים צריך להחזיר את הפונקציה לעצמה. מכאן ש צריך להיות אפס או שלם חיובי או שלילי, כך ש הקבוע נגזר מדרישת הנורמליזציה. עם פתרון

משוואת שרדינגר-פתרונות קוטביים (2) ע”י חלוקה ב והחלפה מקבלים כל אגף צ”ל שווה לקבוע, ונקבע זאת להיות משוואת הגל הרדיאלית הנה: המשוואה שמתקבלת אחר חלוקה בסינוס בריבוע והחלפת המשתנה מורכבת מאגף ימין שהוא פונקציה רק של ומאגף שמאל השווה לו שהוא רק פונקציה של . כיוון שתלות שני האגפים במשתנים שונה בהחלט, שוויון יתכן רק אם כל אגף הנו קבוע והקבועים הנם קבוע אחד. נקבע זאת שרירותית לערך שמופיע בשקף. הבחירה המשונה של הקבוע, , נובעת מהקביעה שרק כאשר או קבוע שלם וחיובי, הפתרונות של המשוואה הדיפרנציאלית עבור הנם קבילים (לא מתבדרים). פתרונות אלה הם פולינומי לג’נדר: שהם פונקציות של . משוואת הגל הרדיאלית היא אגף שמאל של המשוואה העליונה. על פתרונה נעמוד בשקף הבא.

משוואת שרדינגר-פתרונות קוטביים (3) למשוואה הרדיאלית יש פתרונות אם ורק אמ”מ: הפוטנציאל הנו בעל צורה של פוטנציאל קולומבי: ואז הפתרונות הן פונקציות עצמיות עבור המצבים הקשורים: הפתרונות של המשוואה הרדיאלית תלויות בפוטנציאל. רק בפוטנציאל קולומבי האנרגיה תלויה אך ורק במספר הקוונטי הראשי. בכל פוטנציאל אחר, האנרגיות של המצבים הקשורים תלויות הן במספר הקוונטי הראשי והן במספר הקוונטי האורביטלי. הקבוע מתקבל מתוך הקשר של בוהר עבור האנרגיה של מצב היסוד. הדרישה ל שלם באה מהדרישה לנירמול פונקצית הגל-צפיפות ההסתברות צריכה לשאוף לאפס כאשר שואף לאינסוף. האנרגיה של כל מצב קשור תלויה רק במספר הקוונטי הראשי. בסוגי פוטנציאל אחרים האנרגיות של המצבים הקשורים תלויות בשני מספרים קוונטיים: , כאשר ושלם.

מש’ שרדינגר-פתרונות קוטביים (סיכום) פונקצית הגל נכתבת כמכפלה של שלוש פונקציות: המספרים הקונטיים הנם שלמים שמקיימים: (ראשי) נקדים מאוחר למוקדם וניתן שמות לשלשת המספרים הקוונטיים. פירושם, והתפקיד של כל אחד מהם, יתברר בהמשך. יש לשים לב למגבלה של הערכים שכל אחד מהמספרים הקוונטיים יכול לקבל. סה”כ, מספר המצבים הקוונטיים מוגבל. (אורביטלי) (מגנטי)

מש’ שרדינגר-פתרונות קוטביים (סיכום) האנרגיות של המצבים הקשורים מקוונטטות. לכל פוטנציאל שלילי רמות האנרגיה של המצבים הקשורים תלויות בחוזק ובצורת הפוטנציאל ובמס’ הקוונטיים. אמ”מ הפונציאל הנו קולומבי, רמות האנרגיה הקשורות נתונות ע”י המובן של “פוטנציאל שלילי” הוא שזה מתאר מצב קשור [של האלקטרון לאטום]. בשלב זה לא מעניינים אותנו פוטנציאלים שאינם קולומביים, כיוון שדנים עתה רק באטום המימן.

פונקציות הגל של המימן פונקציות הגל הראשונות של אטום המימן. הטבלה מביאה כמה פונקציות עצמיות של המשתנים “רדיוס”, “זווית קוטבית” ו-”זווית אזימותלית” שמתאימים לאלקטרון הנמצא בפוטנציאל קולומבי. הפונקציות נבחרו עבור כמה מהמספרים הקוונטיים הראשונים.

צפיפות ההסתברות וערכים צפויים צפיפות ההסתברות: בקואורדינטות כדוריות, יחידת הנפח היא ולכן צפיפות ההסתברות היא צפיפות ההסתברות הנה סימטרית ביחס לציר הקוטבי. עבור , צפיפות ההסתברות ב”ת בזווית הקוטבית, לכן הוא פונקציה של בלבד. למציאת ההסתברות לגלות את האלקטרון במרחק מסוים מהגרעין עבור ערכי גדולים מ-1, צפיפות ההסתברות משתנה עם הזווית והצורה של ההסתברות תלויה גם ב- וגם ב- . הצורות השונות מוצגות בשקף הבא. לשים לב שעבור . צפיפות ההסתברות גדולה ביותר לאורך הציר הקוטבי. עבור צפיפות ההסתברות מרוכזת יותר במישור האזימותלי. כדי לקבל את מרחק האלקטרון מהגרעים, צריך לבצע אינטגרציה מסביב הזוית הקוטבית וגם סביב הזווית האזימותלית. הקשר עבור צפיפות ההסתברות הרדיאלית מתקבל כפי שבשקף, בגלל שהפונקציה הקוטבית מנורמלת. ההסתברות למציאת האלקטרון במרחק מסוים מהגרעין מתקבלת לאחר ביצוע האינטגרציה לפי הזווית הקוטבית וכן לפי הזווית האזימותלית.

מימן-מיקום האלקטרון צורות של צפיפות ההסתברות עבור האלקטרון באטום המימן, עבור שלשת מצבי האנרגיה הראשוניים. למרות שצפיפות ההסתברות של מצבי עבור אינן בעלי סימטריה כדורית, סכומן בעלי סימטריה כזו. יש לשים לב להסבר שבשקף הקודם. כאן, האזורים השחורים יותר מייצגים מקומות בהם סיכוי המצאות האלקטרון גבוה יותר.

צפיפות הסתברות רדיאלית-מימן צפיפות ההסתברות הרדיאלית עבור אלקטרון באטום המימן לגבי שלשת מצבי האנרגיה הראשוניים. החץ מסמן את הערך הצפוי של הקו המרוסק מסמן את הערך של הנגזר מהמודל של בוהר. יש לשים לב שהערך הצפוי עבור המרחק הנו תמיד גדול יותר מהערך המחושב עפ”י המודל של בוהר. כמו-כן, יש לשים לב שכאשר המספר הקוונטי האורביטלי הנו הגדול ביותר האפשרי צפיפות הסתברות הרדיאלית הנה במקסימום עבור

תנע זוויתי במכניקה קווטית (1) שימור התנע הזוויתי הקלאסי נובע מהעדר מומנט סיבוב במסלול מעגלי, בגלל שכיוון הכוח הוא לאורך הרדיוס-ווקטור. התנע הזוויתי הקלאסי של חלקיק, ביחס לראשית, הנו אנו מצפים שהתנע הזוויתי יישמר גם במערכות קוונטיות, למשל של אלקטרון באטום. הטיפול הקוונטי בתנע הזוויתי ייראה כי שני המספרים הקוונטיים הנוספים, מעבר למספר הקוונטי הראשי , הנם קשורים לתנע הזוויתי.

תנע זוויתי במערכות קוונטיות (2) החלפת התנע במשוואה הקלאסית של התנע הזוויתי באופרטור התנע הקוונטי מביא לסדרת אופרטורי התנע הזוויתי הקוונטי: במכניקה קוונטית, מה שמעניין הן המשוואות האופרטוריות. מתוכן אפשר למצוא את הפונקציות העצמיות ואת הערכים העצמיים, כפי שנראה בשקף הבא. בשורה התחתונה מופיע האופרטור שנותן את גודל הווקטור של תנע זוויתי כולל, בריבוע.

תנע זוויתי במערכות קוונטיות (3) בקוונטים, כאשר משתנה דינמי הנו קבוע תנועה, פונקצית הגל היא פנ’ עצמית של האופרטור המיצג את המשתנה הדינמי. הערך העצמי של משוואת אופרטור זו מתאר מצב יציב של המשתנה הדינמי. כיוון שמצפים שהתנע הזויתי נשמר, נחפש פתרונות של משוואות מהצורה: מש’ האופרטור עבור התנע הזוויתי לאורך Z: הצורה הכללית של משוואת האופרטור המופיעה כאן מתיחסת לאופרטורים דיפרנציאלים של כל אחד מרכיבי התנע, לאורך הצירים X,Y,ו-Z, או של גודל התנע . אנו רוצים את הפתרונות של משוואות האופרטורים של משוואות מהצורה . הצמצום של משוואת האופרטור היא תוצאה של פעולת האופרטור רק על הזווית האזימותלית, לכן אין פעולה עבור שני המשתנים האחרים ולכן צריך רק לקחת בחשבון את הזווית הזו. הדרישה לגבי ערכים מסוימים של המספר הקוונטי נובעת מהצורך שפונקצית הגל האזימותלית תהיה חד-ערכית. הצורה שמקבלים עבור הפונקציות האזימותליות העצמיות דומה למה שקיבלנו בתחילת הדיון כדי שהפתרון של משוואת שרדינגר בקואורדינטות קוטביות יישמר תחת סיבוב שלם . המסקנה מהחישוב היא שהרכיב בכיוון Z של התנע הזוויתי צ”ל אפס או כפולה שלמה של התוצאה מזכירה את הפוסטולט של בוהר, עם ההבדל היחדי שהוא תנאי של המכניקה הקוונטית לגבי אטום המימן, לא על התנע הכללי אלא רק על רכיב התנע בכיוון Z. יש לזכור כי היא הפונקציה העצמית של האופרטור המייצג את רכיב Z של התנע הזוויתי. עם פתרונות מצטמצמת ל- הערך העצמי המספר הקוונטי נותן את רכיב Z של התנע הזוויתי במצב הקוונטי

תנע זוויתי במערכות קוונטיות (4) נדון במשוואת הערכים העצמיים עבור : ע”י חלוקת המשוואה ב , והחלפת המשתנה: מקבלים משוואה שאגפה השמאלי זהה לאגף הימני של למשוואה זו יש פתרונות רק אם , כאשר הוא שלם חיובי או אפס, וכן . כיוון ש הוא הערך העצמי של האופרטור המתאר את נובע או . המספר הקוונטי קובע את הגודל של התנע הזוויתי הכולל. במשוואת האופרטור העליונה, הקבוע מסמן את הערכים העצמיים של המשוואה. ניתן לבטל את כיוון ש הוא אופרטור שאינו פועל על . לאחר החלוקת המשוואה כפי שמופיע בשקף, והחלפת המשתנה, מקבלים משוואה שצורתה דומה למשוואה שראינו קודם, משוואת שרדינגר לאחר הפרדת המשתנים, לכן התנאים שהמשוואה הקודמת הייתה צריכה לקיים תקפים גם לגבי משוואה זו, הנוכחית.

קוונטיזציה מרחבית (1) תנע זוויתי עבור הגבלת הגודל של רכיב Z של התנע הזוויתי=הגבלה לגבי כיוונים מותרים של ווקטור התנע הזוויתי. עפ”י המודל של בוהר, אלקטרון שמקיף את הגרעין יוצר מומנט דיפול מגנטי. לווקטור הדיפול המגנטי אותו כיוון כמו לווקטור התנע הזוויתי. עבור הגודל של ווקטור התנע הזוויתי הנו . הרכיב של הווקטור לאורך ציר Z יכול להיות . פירוש הקוונטיזציה של אורך הרכיב על ציר Z הוא שהזווית שבין ווקטור התנע הזוויתי לבין ציר Z הנה מקוונטטת והערכים שלה יכולים להיות בדידים בלבד. הקוונטיזציה שראינו כאן הנה קוונטיזציה מרחבית (SPATIAL QUANTIZATION). לגבי אטום המימן, אם למשל , ונרצה למדוד את הרכיב של התנע הזוויתי בכיוון מסוים במרחב, נמצא שגודלו הוא או 0 או . אם נמדוד את התנע הזוויתי בכיוון מרחבי אחר, נמצא את אותן התוצאות. המסקנה היא שלפני ביצוע המדידה, אין משמעות לדבר על ציר Z מסוים-ציר זה מוגדר רק כאשר מתחילים לבצע את המדידה. למשל, זו יכולה להיות הפעלה של שדה מגנטי חיצוני. דבר מוזר אחר היא שהגודל של רכיב Z של התנע הזוויתי הנו תמיד קטן מהגודל של התנע הזוויתי הכולל. בכל פעם שנבחר כיוון מסוים למדוד לאורכו את הגודל של הרכיב של התנע הזוויתי, לא נוכל אף פעם למצוא את כל התנע הזוויתי פונה בדיוק לכיוון זה. זו הנה תוצאה של עקרון אי-הוודאות של הייסנברג. תנע זוויתי ומומנט דיפול מגנטי

קוונטיזציה מרחבית (2) הערך הקטן ביותר של מתקבל כאשר הוא הגדול ביותר. לכן עבור מקבלים לגבי אטומי מימן במצב אי אפשר למצוא את ווקטור התנע הזוויתי (האורביטלי) קרוב יותר לציר Z מהערך שחושב למעלה. ערכים מותרים של תנע זוויתי ככל שהמספר הקוונטי האורביטלי גדול יותר, כך המצב קרוב יותר למצב הקלאסי בו אין קוונטיזציה מרחבית של התנע הזוויתי וכל כיוון שנרצה יהיה קביל עבור ווקטור התנע הזוויתי.

אפקט איינשטיין-דה האס הניסוי, שבוצע ב-1915, מראה את שימור התנע הזוויתי ברמה אטומית. הגליל הממוגנט (ע”י שדה מגנטי חיצוני) מתחיל להסתובב כך שהתנע הזוויתי שלו יהיה שווה בגודלו והפוך בכיוונו לתנע הזוויתי של מכלול האטומים שווקטורי התנע הזוויתי שלהם נהיו מקבילים. הניסוי מתבצע ע”י מיגנוט מיידי של מוט המתכת (ברזל) ע”י הפעלת שדה מגנטי חיצוני פתאומי. השדה המגנטי מכריח את ווקטורי התנע הזוויתי של כל אטומי המתכת להסתדר במקביל לכיוון השדה המגנטי החיצוני. למוט המתכת לא היה ווקטור תנע זוויתי מסוים לפני סידור ווקטורי התנע הזעירים של האטומים הבודדים, אך לאחר הסידור שלהם יש לו ווקטור תנע זוויתי גדול ומוגדר. כדי שהתנע הזוויתי הכולל יישמר, על המוט להתחיל להסתובב כך שיבטל בדיוק את ווקטור התנע הזוויתי שנוצר מסידור ווקטורי התנע הזוויתי העצמיים של כל אחד מהאטומים. מאוחר יותר, התברר כי המקור של האפקט איינשטיין-דה האס הנו תנע הזוויתי העצמי של האלקטרונים ולא לתנע הזוויתי שקשור לתנועתם המסלולית.

ניוון פונקצית הגל מוגדרת לחלוטין אם יודעים את שלשת המספרים הקוונטיים . פונקצית הגל מוגדרת לחלוטין אם יודעים את שלשת המספרים הקוונטיים . כמות המספרים הקוונטיים שנחוצים כדי לאפיין לחלוטין מצב קוונטי, שווה למספר הממדים הבלתי תלויים שבמשוואת שרדינגר. יכול להיות מצב בו כמה מצבים קוונטיים (שונים) הם בעלי אותה אנרגיה אלה מצבים מנוונים בפוטנציאל קולומבי, לכל המצבים עם אותו יש אותה אנרגיה, ללא תלות בערכי . (degenerate states) דרגת הניוונ היא מספר הפונקציות העצמיות (EIGENFUNCTIONS) להן אותה אנרגיה. למשל, באטום המימן, מצב האנרגיה מנוון ארבע פעמים. מצב אנרגיה זה כולל את המצבים הקוונטיים הבאים: הטענה כאן אינה בדיוק נכונה, כיוון שלא נלקח בחשבון ספין האלקטרון. הניוון בגלל מספר קוונטי אורביטלי נובע מהסימטריה הכדורית של הפוטנציאל הקולומבי. כיוון שבפוט’ כזה אין כיוון מועדף, האנרגיה של מצב קוונטי מסוים לא יכולה להיות תלויה ב

מצבים קוונטיים אטומיים-סיכום Symbol Name Represents Allowed values Principal Energy 1, 2, 3, … Orbital Magnitude 0, 1, 2, …, n-1 of orbital angular momentum Magnetic Direction of 0, +/-1, +/-2, ..., orbital ang. +/-l התאור כאן של המספרים הקוונטיים חסר את המספר הקוונטי הרביעי, שקשור לספין האלקטרון.