第四章 評價股票選擇權的數值方法 蒙地卡羅模擬與二項式模型 財務工程 呂瑞秋著

蒙地卡羅模擬與二項式模型 以風險中立評價的概念為根基的數值方法 評價商品 蒙地卡羅模擬：歐式選擇權與亞式選擇權 二項式模型：歐式選擇權與美式選擇權 財務工程 呂瑞秋著

蒙地卡羅模擬的原理 風險中立評價法主要的計算就是求期望值 利用大數法則(the Law of Large Numbers)的原理來計算期望值 大數法則：當樣本數夠大時，樣本的平均值會接近母體的期望值 財務工程 呂瑞秋著

1.模擬一條在風險中立機率下標的資產價格未來的途徑 2.根據以上模擬的結果計算衍生性金融商品的報償(payoff) 蒙地卡羅模擬評價衍生性金融商品的步驟 1.模擬一條在風險中立機率下標的資產價格未來的途徑 2.根據以上模擬的結果計算衍生性金融商品的報償(payoff) 3.重複以上1與2步驟許多次後，計算平均的報償 4.將3計算的平均報償以無風險利率折現即是該衍生性金融商品價值的估計值 財務工程 呂瑞秋著

計算歐式股票買權到期的報償Max( -K,0) 進行以上兩步驟共m次並計算平均報償 將上一步驟求得的平均報償乘以折現因子 蒙地卡羅模擬於歐式買權價值的計算 由電腦程式產生一個服從標準常態分配的亂數εi，加上股價St、無風險利率r、波動率參數σ與離到期日的時間T-t等資料代入(4.1)式得出一個模擬的到期股價 計算歐式股票買權到期的報償Max( -K,0) 進行以上兩步驟共m次並計算平均報償 將上一步驟求得的平均報償乘以折現因子 財務工程 呂瑞秋著

蒙地卡羅模擬於亞式買權價值的計算 由電腦程式產生一個服從標準常態分配的亂數，加上股價St、無風險利率r、波動率參數σ與時間變化Δt等資料代入(4.2)式得出一個模擬股價 。再由電腦程式產生一個服從標準常態分配的亂數，以及先前模擬股價、無風險利率r、波動率參數σ與時間變化Δt等資料代入(4.3)式得出一個模擬股價 。依此類推，陸續模擬出St+3Δt 、St+4Δt 、 St+5Δt與St+6Δt 財務工程 呂瑞秋著

蒙地卡羅模擬於亞式買權價值的計算(Cont) 計算亞式股票買權到期的報償 進行以上兩步驟共m次並計算 將上一步驟求得的平均報償乘以折現因子 財務工程 呂瑞秋著

二項式模型 是以建立多期的二項式樹狀模型(tree model)來模擬股價的行為 相較於蒙地卡羅模擬，二項式模型是一種更簡化的股價模擬的方式 股價每期或每步只能有上漲或下跌兩種狀態 「中央極限定理(Central Limit Theorem)」 的應用 財務工程 呂瑞秋著

二項式樹狀模型 Stun Stun-1 Stu2 Stun-1d Stu Stud St Std Studn-1 Stdn-1 Std2 財務工程 呂瑞秋著

二項式模型的設計 JR tree: u= d= P=1/2 CRR tree: u= d=1/u P=(erΔt-d)/(u-d) 財務工程 呂瑞秋著

二項式模型於歐式買權的評價 計算歐式股票買權在不同狀態下的到期報償Max(Stun-jdj-K, 0)。(j=0,1,2,…,n) 計算上述到期報償的平均值 將上一步驟求得的平均報償乘以折現因子 財務工程 呂瑞秋著

二項式模型於美式買權的評價 參考本書第83頁與第84頁 財務工程 呂瑞秋著

數值方法的種類 差分法(Brennan and Swhartz, 1977) 蒙地卡羅模擬(Boyle, 1977) 樹狀模型 二項式模型(Cox, Ross, and Rubinstein, 1979) 三項式模型(Boyle, 1988) 多項式模型 (Duan et. al., 2003) 財務工程 呂瑞秋著