1 应用计量分析在公共财政领域的应用黄智聪 厦门大学财政系研究生课程 课程名称：应用计量分析在公共财政领域的 应用 授课老师：黄智聪 授课内容： 最小平方估计式的性质、 简单回归模型之推论 参考书目： Hill, C. R., W. E. Griffiths, and G. G. Judge, (2001), Undergraduate Econometrics. New York: John Wiley & Sons

2 应用计量分析在公共财政领域的应用黄智聪 Y: 回归模型里的因变数 因变数 y 可以被分解成两个部分： 1. 规律性的部分： E(y) 不是随机的 2. 随机部分 :y 与 E(y) 之间的差，称为随机误差 项 e （ random error term ） e=y-E(y|x)= y-β 1 -β 2 x Y= β 1 +β 2 x +e X: 独立变数 加入误差项

3 应用计量分析在公共财政领域的应用黄智聪 1. 对于各个 x 值来说， y 值为 Y=β 1 +β 2 x +e 2. 随机误差 e 的平均值为 E(e)=0 ，因为我 们假设 E(y) = β 1 +β 2 x 3. 随机误差 e 的变异数为 Var(e)=  2 =Var(y) 因为 y 和 e 只相差一个常数，而此常数不 会改变其变异数。 由误差项 e 来说明回归模型的假设

4 应用计量分析在公共财政领域的应用黄智聪 4. 任何一对随机误差 e i 和 e j 的共变数为 Cov (e i, e j ) =Cov (y i, y j )=0 5. 变数 X 并非随机的，且必须至少有 2 个不同的值。 6.( 选择性的 )e 值常态地分配于其平均值的附近 e~N(0,  2 ) 。 7.y 是可以观察的， e 是无法观察的。 8. 给予任一个 y 值，我们可以计算出 e=y -β 1 -β 2 x

5 应用计量分析在公共财政领域的应用黄智聪 e 表示除了 x 之外，会影响 y 的其他因素。 在中国大陆外资的例子里，什么因素可能会导 致外资 y 与其平均值 E(y|x) 之间的不同呢 ? 1. 在任何经济模型中，我们想把所有重要且相 关的解释变数都包含在模型里。 2. 误差项 e 包含了任何可能出现的近似误差，因 为我们假设的线性函数形式可能只是实际的近 似值而已。 对误差项 e 的另一种解释方式

6 应用计量分析在公共财政领域的应用黄智聪 3. 误差项包括可能出现于个别随机行为 中的任何情况。对于所有影响中国大陆 各地区外资的变数之了解可能不足以完 全地预测外资。无法预测之随机行为的 部分也有可能包含在 e 里面。

7 应用计量分析在公共财政领域的应用黄智聪 1. 我们假设表 3.1 中的中国大陆外资资料是随机 变数 y t, t=1,…,30 ，且满足假设 SR1-SR5 。 2. 我们把 30 个资料点记为 (y t,, x t ), 其中 t=1,…30 ，并画出它们的位置，我们可以得到 图 3.6 中的散布图（ scatter diagram ）。 估计外资关系的参数

8 应用计量分析在公共财政领域的应用黄智聪 3. 估计平均外资线 E(y)= β 1 + β 2 x 的位置。我们 期望这条线位于所有资料点的中间某处，因为 它代表平均的行为。 4. 要估计 β 1 与 β 2 ， 我们可以简单的画出一条 通过资料中间的直线，然后用尺衡量其斜率和 截距。 问题 : 不同的人可能画出不同的线，而因此缺 乏正式的准则。

9 应用计量分析在公共财政领域的应用黄智聪 方法 2: 从所得最小的那一个点画到所得最大那一 点。 问题 : 忽略了其余 38 个观察值确实位置之信息。

10 应用计量分析在公共财政领域的应用黄智聪 这个原理主张，为了找出一条适合资料值的直 线，我们应该找出一条直线，使得各点到此直 线垂直距离之平方和越小越好。 距离的平方可以避免正的距离被负的距离抵消。 最小平方原理（ The Least Squares Principle ）

11 应用计量分析在公共财政领域的应用黄智聪 估计值的解释 b 2 = 当 x 上升 100,y 将会增加大约 b 1 = 当 x 为零时 y 的估计值 外资函数的估计值

12 应用计量分析在公共财政领域的应用黄智聪 弹性（ elasticity ） Y=b X b2 logy=logb+ b 2 logX logy= b 1 + b 2 logX 弹性 : Y 变动的百分比 X 变动的百分比 =

13 应用计量分析在公共财政领域的应用黄智聪 预测（ Prediction ） 估计的等式可以被用在预测或预言的目的上， 将 x 带入估计的等式就可以得到 y 值。

14 应用计量分析在公共财政领域的应用黄智聪 b 1 和 b 2 是随机变数，因为它们的值决定于随机 变数 y ，而 y 的值在样本被收集之前是未知的。 收集资料之后，最小平方估计值即为计算出来 的数值。由于它们并非随机的量，所以不具有 统计的性质。 最小平方估计式为随机变数

15 应用计量分析在公共财政领域的应用黄智聪 最小平方估计式 b 1 和 b 2 为随机变数，而且它 们具有概率分配的特性，因此我们可以在收集 任何资料之前研究。 在本节中我们将决定最小平方估计式 b 1 和 b 2 的平均值及变异数。 真正的参数值, 未知 不偏的 估计式 and 两个假设 !!! 最小平方估计式的抽样性质

16 应用计量分析在公共财政领域的应用黄智聪 若 E(e t )  0 且 E(b 2 )   2 ， b 2 并非不偏的 ! e t 包含了其他影响 y t 但却被经济模型所遗漏 的因素。如果我们忽略了任何重要的东西，则 我们将可预期 E(e t )  0 并且 E(b 2 )   2 。 b 2 为不偏的这个事实并未暗示任何一个样本 皆可能有此特性。

17 应用计量分析在公共财政领域的应用黄智聪 Note: 个别的估计值（数值） b 2 可能会接近或 远离 β 2 。 但是 E(b 2 )=  2 同样地, 我们可以计算 var(b 2 ) 和 var(b 2 ) 具有相 同的平均值但不同的变异数。

18 应用计量分析在公共财政领域的应用黄智聪 抽样精确度 （ Sampling Precision ） 估计式的变异数越小，该估计式的抽样精确度越高。 1. 若 var(y) var( b 2 ) 精确度越小。 2. 若 var(x) var( b 2 ) 精确度越高。 3. 若 T var( b 2 ) 精确度越高。 4. ΣX 2 var (b 2 ) 精确度越小。 5. X ＞ 0 Cov(b1,b2) ＜ 0

19 应用计量分析在公共财政领域的应用黄智聪 X b2 but b1 X If X ＜ 0

20 应用计量分析在公共财政领域的应用黄智聪 若 e ～ N(0, σ 2 ) 则 b 1 ～ N(β 1, σ 2 b1 ) b 2 ～ N(β 2, σ 2 b2 ) 假设 b 1, b 2 ～ N 如果假设 SR1~SR5 成立, 且样本数 T 够大, 则 最小平方估计式的分配会趋近常态分配。 例 : 食物支出的资料。 最小平方估计式的概率分配

21 应用计量分析在公共财政领域的应用黄智聪 b~N(β, σ b 2 ) ~N(0,1) 卡方随机变数是在标准常态分配 N(0,1) 随机 变数平方下所产生的。 未知 简单回归模型的推论

22 应用计量分析在公共财政领域的应用黄智聪 若 Z~N(0,1) 而 V~x 2 (m) 且若 Z 和 V 为独立， 则 P(t ≧ t c )=P(t ≦ - t c )=α/2 m 为自由度 i=1,2 我们预测的变异数 T 分配是对称的！！

23 应用计量分析在公共财政领域的应用黄智聪 P(- t c ≦ t ≦ t c )=1-α P[- t c ≦ (b 2 -  2 )/SE(b 2 ) ≦ t c ]=1-α P[b 2 - t c Se (b 2 ) ≦ β 2 ≦ b 2 + t c Se(b 2 ) ]=1-α 在区间的两个端点，和 b 2 与 Se(b 2 ) 皆为随机变 数，因为它们的值在取得样本资料之前都是未知 的。

24 应用计量分析在公共财政领域的应用黄智聪 b 2 ± t c Se(b 2 ) 称为 β 2 的 (1-α) ×100% 的区间估 计值，或者相当于所谓的 (1-α) ×100% 信赖区 间。 所有建立出来的区间中，有 (1-α) ×100% 会包 含真正的参数 β 2 。而在任何资料确实收集到之 前，我们就已经知道这一点了。 若区间为 [0.0666,0.1900], 则 β 2 落在这个区间 吗 ? 我们不知道，而且我们永远都不会知道！！ 我们知道的是，在得自同一母体的许多随机样 本资料时，所有建立的区间估计值中，有 95 ％ 将会包含真正的参数。

25 应用计量分析在公共财政领域的应用黄智聪 假设检定（ Hypothesis Testing ） 假设检定的组成要素 1. 虚无假设 H 0 。 2. 对立假设 H 1 。 3. 检定统计量。 4. 拒绝域。

26 应用计量分析在公共财政领域的应用黄智聪 1. H 0 : β 2 =c, c 为常数, 并且在回归模型中是一个 重要的值。 2. H 1 : β 2 ≠c H 1 : β 2 ＞ c 因为理论上 β 2 不能为负值。 H 1 : β 2 ＜ c 当在 β 2 不可能大于 c 时。

27 应用计量分析在公共财政领域的应用黄智聪 3. 检定统计量（ The test statistic ） Ex: H 0 : β 2 =c H 1 ： β 2 ≠c 注意：若 β 2 =1 ，但是须无假设为 H 0 ： β 2 =C ， C 1 ， 则 因为 不等于 0

28 应用计量分析在公共财政领域的应用黄智聪 因此， 并非标准常态分配。且在形 成一个随机变数 t 时，标准常配分配是必要 的。

29 应用计量分析在公共财政领域的应用黄智聪 拒绝域（ The rejection Region ） 拒绝域是一个导致虚无假设被拒绝的检定统计 量之数值范围。 也就是说，拒绝域是当虚无假设为真时，不太 可能或发生概率很低的检定统计量之数的集合。

30 应用计量分析在公共财政领域的应用黄智聪 双尾检定（ Two-tailed Test ） 若检定统计量的值落在拒绝域当中（不论是 t 分 配的哪一端），我们拒绝虚无假设并接受对立假 设。 要避免说 “ 我们接受虚无假设＂，而应该以 “ 我 们无法拒绝虚无假设＂ 来替代。这样的叙述意 味着我们正在推论说个虚无假设为真。

31 应用计量分析在公共财政领域的应用黄智聪 假设检定的格式（ Format for Testing Hypothesis ） 决定虚无假设与对立假设。 确立当虚无假设为真时的检定统计量及它的分 配。 选择 α 并决定拒绝域。 计算检定统计量的样本数值。 叙述你的结论。

32 应用计量分析在公共财政领域的应用黄智聪 型 I 与 型 II 错误 假设检定的 P 值 1. 利用 P 值，与显着水平 α 的比较，我们可以决 定是否该拒绝虚无假设。 2. 假设检定的拒绝法则：若 P ＜ α ，则检定的 过程会拒绝虚无假设。 食物支出模型的显着性检定 1. 存在于 x 与 y 之间的统计的显着关系。 2. 若 α 越有可能拒绝 H 0 如何决定 α ？ 0.1, 0.05, 0.01

33 应用计量分析在公共财政领域的应用黄智聪 H 0 : β k =c H 1 : β k ＜ c or β k ＞ c 电脑是以双尾来计算的 所以若两尾算出 P=0.08 时， 单尾 P=0.04 。 所以在两尾检定 α=0.05 时 接受 H 0 。 但是单尾检定时，拒绝 H 0 。 单尾检定（ One-tailed Test ）