קורס אינטראקטיבי מבוסס על הקורס המועבר ע”י ד”ר קרסנוב קורס אינטראקטיבי מבוסס על הקורס המועבר ע”י ד”ר קרסנוב פרק 6. פירוק ……….(LU and Cholesky) …... 2 פרק 7. חישוב ערכים עצמים דוגמה ב MATLAB פרק 8. אלגוריתם של cubic spline … פרק 9. Least square approximations רגדסיה ליניארית פרק 10. ריבוים מזעורים רציפים פרק 11. פולינומים אורתוגוננליים פרק 12. אינטגרציה נומרית

פרק 6 - פירוק מטריצות Square matrix General cases P*A=L*Unxn - מטריצה A[L,U,P]=lu(A)LU Decomposition - מטריצה A סימטרית ומוגדרת חיובית U=chol(A)Cholesky U=rref(A)Reduced row echelon form A=Q*R, Q-orthogonal [Q,R]=qr(A)QR Decomposition A=S*D*V, S,V- unitary D - diagonal [S,D,V]= svd(A) Singular Value Decomposition 2n Triangular, Tridiagonal הוראותתנאים לשימושיהכמות הפעולותפקודת בMATLAB שיטה Special cases

פירוק LU

שיטת Cholesky

פרוק LU תלת-אלכסונית לדוגמה:

מטריצה פרמוטציה P החלפת שורות: [1] ו[3] ו [3] ל[4]

פירוק LU עם Pivoting MATLAB ב [L,U,P]=lu(A) או [P][A]=[L][U]

פירוק QR Q - מטריצה אורטוגונלי R - משולשת עליונה

פרק 7. חישוב ערכים עצמים ליצור סידרת לפי אלגוריתם פירוק QR: for I = 1:N, ] Q,R] = qr(A); A=R*Q; end ואז האיטרציות A שאיפות למטריצה משולשת עליונה עם ערכים עצמים באלכסון: עם אז הוא הווקטור עצמי שמטים לערך עצמי המשוואה אופיינית

דוגמה ב MATLAB » A=[1 2 -1; ; ] A = » [Q,R]=qr(A) QR פירוק Q = R = » N=7; for I = 1:N, [Q,R]=qr(A); A=R*Q; end A A = » [V,D]=eig(A) V = D =

פרק 8. Interpolation Spline Cubic יתרון: בכל נקודות S(x i ), S’(x i ), S”(x i ) הן רציפות עבור NATURAL SPLINES S”(x 0 )= S”(x n ) =0

Natural Cubic Spline המערכת משוואות היא תלת אלכסוניות ומקיימת תנאי אלכסון השולט: עם הפרשים סופיים:

Natural Cubic Spline לדוגמה: פתרון:

פרק 9. Least square approximations להתאים לנתונים פולינום:

רגרסיה ליניארית סטייה:

פרק 10. ריבוים מזעורים רציפים להתאים לפונקציה פולינום כך שערך של אינטגרל הריבויים מזעורים תהיה מינימלי: נקבל מערכת משוואות אלגבריות ליניאריות עבור מקדמים :

לדוגמה: נתונה פונקציה בקטע לדוגמה: נתונה פונקציה בקטע [0,1] ערך מינימלי לאינטגרל יש למצוא פולינום ריבוית שנותן ותשובה היא:

בעזרת הפולינומים של Legendre אפשר להציג כל הפונקציה: פרק 11. פולינומים אורתוגונליים הפולינומים של Legendre הם אורתוגונליים:

Legendre Polynomial How would you work with a least square fit of a function.

Legendre Polynomial How would you work with a least square fit of a function.

Legendre Polynomial The coefficient a 0 is determined by the orthogonality of the Legendre polynomials:

Legendre Polynomial Example Given a simple polynomial: We want to throw a loop, let’s model it from 0 to 4 with f(x):

Legendre Polynomial Example The first step will be to scale the function: We know that at the ends are 0 and 4 for x and -1 to 1 for u so

Legendre Polynomial Example The coefficients are

Legendre Polynomial Example The Legendre functions must be adjusted to handle the scaling:

Tchebyshev Polynomial The Tchebyshev polynomials are another set of orthogonal functions, which can be used to represent a function as components of a function.

Tchebyshev Polynomial These function are orthogonal over a range [ -1, 1 ]. This range can be scaled to fit the function. The orthogonal functions are defined as:

Tchebyshev Polynomial The Tchebyschev functions are:

Tchebyshev Polynomial How would you work with a least square fit of a function.

Tchebyshev Polynomial How would you work with a least square fit of a function. Rearrange

בעזרת צמתים ומשקלים אפשר להציג את האינטגרל מהפונקציה: פרק 12. אינטגרציה נומרית נוסחת טרפז: נוסחת סימפסון: דוגמות: דר' שיף HOMEPAGEHOMEPAGE