יופיה של המתמטיקה: חידות ושעשועים גיל קלעי

1. תאומים היתכן? האם יש לך אחות תאומה? לא! יש לי שתי אחיות תאומות!

2. דלק במעגל את/ה צריך לנסוע סביב כביש מעגלי גדול ובו תחנות דלק. אתה יכול להתחיל האחת מתחנות הדלק בגלל מחסור בדלק כל הדלק בכל התחנות יחד יספיק לך בדיוק לדלק שהמכונית תצרוך בנסיעה. (כל הדלק בכל התחנות אינו מספיק למלא לגמרי את מיכל הדלק שלך.) הראו שאפשר להתחיל עם מיכל דלק ריק באחת התחנות, לתדלק,לנסוע, ולהמשיך לתדלק, כך שאפשר יהיה להשלים את הנסיעה.

דלק במעגל: פתרון נקרא לתחנות הדלק הם S 1, S 2, … S m בוא נניח שבמיכל הדלק שלך יש מספיק דלק שמאפשר להשלים את הסיבוב ללא תדלוק כלל (וגם מקום לכמות כפולה של דלק). נקרא לכמות דלק זו X.

המשך הפתרון נתחיל בתחנת דלק S 1 עם כמות דלק X נתדלק ניסע נתדלק וניסע ונמשיך עד שבסוף הסיבוב נשאר עם אותה כמות דלק בה התחלנו. נניח שאנו מגיעים לתחנת הדלק S i עם כמות דלק Y i הבחנה חשובה: אם מתחילים בתחנת הדלק S k עם כמות דלק Y k (לפני התדלוק) עדיין מגיעים לכל תחנת דלק S i עם כמות דלק Y i כמו קודם.

המשך הפתרון נביט על תחנת הדלק אליה נכנסנו עם כמות דלק מינימלית Z. אם מתחילים בתחנת דלק זו (לפני התדלוק) עם כמות דלק Z מגיעים לכל תחנת דלק S i עם כמות דלק Y i כמו קודם. אבל עכשיו אם נתחיל בתחנה הזאת עם 0 נגיע לתחנת הדלק S i עם כמות דלק Z- Y i וזה מספר שאינו קטן מאפס!

3. חיילים בשדה 39 חיילים מפוזרים בשדה והמרחקים בין כל שניים מהם שונים. כל חייל מצטווה לשמור על החייל הקרוב אליו ביותר תראו שיהיה חייל שאף אחד לא ישמור עליו!

פתרון החידה הזאת נפתרה בעצם בכיתה על ידי התלמידים. מספר השומרים שווה למספר הנשמרים, לכן אם יש חייל שנשמר על ידי שני חיילים יהיה גם חייל שלא ישמר בכלל. הפתרון עובד עבור מספר אי זוגי כלשהו n של שומרים.

פתרון (המשך) נניח בשלילה שn הוא הוא המספר האיזוגי הקטן ביותר עבורו הטענה בשאלה אינה נכונה. n>1. מתבוננים בשני החיילים שבניהם המרחק הקצר ביותר. כל אחד מהם שומר על האחר. אם אחד מ n-2 החיילים הנותרים שומר על אחד מאלה לא יהיו מספיק שומרים לכולם. אחרת נשמיט את שני השומרים האלה ונקבל n-2 חיילים עבורם הטענה אינה נכונה!

4 איך לכסות לוח קטום באבני דומינו האם אפשר לכסות את הלוח שבו קיצצנו שתי פינות על ידי אבני דומינו

רמז

בכמה דרכים אפשר לבחור שני עצמים שונים מתוך n (אין חשיבות לסדר) n(n-1)/2

5. הסכום 1+2+3…+(n-1) שווה למספר הדרכים לבחור שני עצמים שונים מתוך n הנה הוכחה בלי מילים לנוסחא: n(n-1)/ …+(n-1)=

6. מסיבה נפלאה 97 אנשים משתתפים במסיבה. כאשר שניים מהם נפגשים לראשונה הם מחליפים כרטיסי ביקור. הראו שיש שני חוגגים שאספו אותו מספר של כרטיסי ביקור

פתרון גם כאן השאלה נפתרה בעצם בכיתה. כל משתתף במסיבה יקבל מספר כרטיסי ביקור שהוא מספר שלם בין 0 ל 96. יש בסך הכל 97 מספרים כאלה לכן אם כל המספרים שונים, כל אחד מהם מתקבל בדיוק פעם אחת. אבל אם יש חוגג שקבל 0 כרטיסי ביקור אז שום חוגג אחר לא קבל את כרטיס הביקור שלו ולכן אין חוגג שקיבל 96 כרטיסים.

7. הגשרים של קוניסברג האם אפשר לטייל ולעבור בכל גשר פעם אחת בלבד?

פתרון מתחילים באיזור A ומסיימים באיזור B לכל איזור אחר כל פעם שנכנסים אליו על ידי גשר אחר כך יוצאים ממנו על ידי גשר לכן לכל איזור פרט אולי לשניים יש מספר זוגי של גשרים!

חמשיר From Königsberg once came the query - why does bridge crossing make me so weary? I feel like a dunce trying to cross each bridge once, I wish I had studied graph theory!

תרגום לעברית אנשי קניגסברג כה עייפים על גשרים מטיילים וחולפים בלי לקפוץ אל המים הם יחצו פעמיים – כך פוסקת תורת הגרפים.

8. חידה קשה על מלבנים מחלקים מלבן גדול למלבנים קטנים כך שלכל אחד מהם או האורך או הרוחב הוא מספר שלם הראו שאף למלבן הגדול האורך או הרוחב מספר שלם

9.טבעות משולבות ומופרדות שתי טבעות יכולות להיות משולבות כמו בתמונה, או מופרדות. האם יתכנו שלוש טבעות שאי אפשר להפריד בניהם, אבל כל שתיים מהם אינן משולבות?

פתרון: כן Borromean rings

10. בוחרים 51 מספרים שלמים בין 1 ל 100 הראו שיהיה שני מספרים שנבחרו כך שהאחד מתחלק בשני. (הסבר המילה מתחלק על ידי דוגמה: 50 מתחלק ב 2 וב 5 וב 10)

רמז נציג כל מספר כמספר אי זוגי כפול חזקה של שתיים

11. שאלה אודות 13 נקודות אדומות ו 13 נקודות כחולות במישור הראו שאפשר להתאים התאמה חד-חד-ערכית: לכל נקודה אדומה נקודה כחולה, כך שאם נעביר את 13 הקטעים בין הנקודות האדומות והנקודות הכחולות שמתאימות להן, שום שני קטעים לא יחתכו.

רמז מתאימים לכל נקודה אדומה נקודה כחולה כך שסכום המרחקים מינימלי.

n. 12 נקודות במישור לא כולם על ישר אחד (שאלה קשה!) הוכיחו שיש ישר שעובר בדיוק דרך שתיים מהנקודות

רמז התבוננו בישר שמכיל שתי נקודות או יותר ובנקודה מחוץ לישר כל שהמרחק בין הנקודה לישר מינימלי.

13. מעבירים n+1 קטעים בין n נקודות ואף קטע לא מכיל קטע אחר הראו: בהכרח יהיו שני קטעים ללא נקודה משותפת

הוכחה בעזרת כינים זן מיוחד של כינים: כינים בישניות לימין צעד ראשון: אם יש נקודה שממנה יוצא קטע אחד בלבד, משמיטים את הנקודה ואת הקטע. חוזרים על צעד זה עד שמכל נקודה יוצאים שני קטעים לפחות.

חושבים על כל נקודה כעל קדקד קטן. ועל כל קטע כשערה שמחברת שני קדקדים. שמים כינה על כל קדקד ונותנים לה אפשרות להטיל ביצה על השערה שיוצאת מהקדקד. בגלל ביישנותה הימנית הכינה תטיל ביצה על שערה רק אם כל הזוית 180 מעלות לימין השערה פנויה משערות אחרות היוצאות מן הקדקד.

טענה: כל כינה תטיל ביצה אחת לכל היותר! שערה שעליה הוטלה ביצה תפריע לכל שערה אחרת היוצאת מאותו קדקד!

השלמת ההוכחה יש n קדקדים ו n+1 שערות לכן תהיה שערה (קטע) שעליה לא הטילו אף ביצה

המשך ההוכחה תהיה שערה (קטע) שעליה לא הטילו אף ביצה מדוע הכינה על הקדקד A לא הטילה ביצה? כי היתה שערה שהפריעה לה! A B

השלמת ההוכחה תהיה שערה (קטע) שעליה לא הטילו אף ביצה מדוע הכינה על הקדקד B לא הטילה ביצה? כי היתה שערה שהפריעה גם לה! קבלנו שתי שערות שאינן נחתכות! A B

14. הטלת קוביה מה תוחלת מספר הטלות הקוביה הדרושות לקבל את כל ששת התוצאות?

15. מעשה קסם בקלפים אבנר ויואב רוצים לתכנן מעשה קסם בקלפים. משהו יבחר חמישה קלפים מחפיסת קלפים ויתן אותם לאבנר. אבנר יבחר ארבעה מבין הקלפים ויחשוף אותם אחד אחד בפני יואב. ואז יואב ינחש נכון את זהות הקלף החמישי. האם הדבר אפשרי?