Section 2.2 Correlation 相關係數

散佈圖 1

散佈圖 2

散佈圖的盲點 兩座標軸的刻度不同，散佈圖的外觀呈 現的相聯性強度，會有不同的感受。 散佈圖 2 相聯性看起來比散佈圖 1 來得強。 以統計數字相關係數做為客觀標準。

相關係數 (Correlation) 兩數量變數的相關係數，是衡量兩變數 線性關係強度及方向的數值，定義如下： – 兩變數分別為 X 及 Y ，資料配對為 (x i, y i ) i = 1, 2, …, n – 其平均數與標準差分別為 與 s X ， 與 s Y 。則相關係數 r 定為

相關係數的特性 相關係數中，兩變數並不區分解釋變數 或反應變數。 相關係數的計算以數量變數為主，此公 式不適用於類別變數。 相關係數的計算使用標準化值，與各數 量變數的度量單位無關。

相關係數的特性 ( 續 ) 相關係數為正表示兩變數具正相聯性， 相關係數為負表示兩變數具負相聯性。 相關係數 r ，其數值必為  與 1 之間。 –r 接近 0 表示兩變數的線性關係薄弱。 – 兩變數的線性關係強度，隨著 r 由 0 移向  或 1 而增強。 –r 接近  或 1 表示散佈圖的點呈近乎直線。 r 等於  或 1 表示散佈圖的點全在直線上。

相關係數的特性 ( 再續 ) 相關係數僅能衡量的兩變數的線性關係， 對其他曲線關係的強度無法提供訊息。 相關係數值受離群點 (outliers) 影響很大。 – 圖 2.7 中相關係數 r = ，去除 Alaska 與 District of Columbia 兩點後 r 變成 。

線性關係的強度 安裝太陽能，對節省家庭暖氣成本效果 的研究： – 月平均瓦斯消耗量與平均日加溫度數之散 佈圖，呈強度線性正相聯性。 r = 。 美國各州教育資料研究 – 高中畢業生選考百分比與 SAT 數學平均分 數之散佈圖，呈強度線性負相聯性。 r =  。

線性關係的不同強度之 r

r = 0 r = 0.6 r = 0.97 r =  0.3 r =  0.5 r =  0.8

例 2.7 Scoring Divers Two judges, Ivan and George Score scale: from 1 to 10 Subjective Correlation between their scores is r = 0.9 The mean of Ivan’s scores is 3 points lower than George’s mean Is the score system fair? –Yes, if both of them rate all divers. –No, if some are rated by Ivan and some are by George.