摘要：从有小角度偏转的平行板电容器电 容计算出发，用解析函数的性质计算几种 非平行板电容器电容及电场分布，并用保 形变换进行空间的伸张和扭曲，最后对结 果进行讨论。 关键词：非平行板电容器、电容器、电容、 电场强度、空间变换、保形变换。

参考文献 [1] 给出了有小角度偏转的平行板 电容器电容的计算方法，本文用解析函数 的性质计算出一般的非平行板电容器电容 及电场分布，并用保形变换进行空间的伸 张和扭曲，最后对结果进行讨论。 注：参考文献 [1]---- 《物理学难题集》（增 订本） 舒幼生 胡望雨 陈秉乾 高等教育出 版社

如图：设两块导体平 板长为 L2 ，宽为 L ，两 板的延长线交于 O 点， 板的另一端与 O 相距 L1 ，两平板延长线夹 角为 α ，两板电势分别 为 U1 、 U2 （ U1 ＞ U2 ）。由于对称性建 立如图所示的二维极 坐标系。

为求解两极板间的电场分 布，我们可以设两板的宽 度 L 很大，而且可以忽略 边缘效应，由电荷分布对 称性原理可以知道, 在两板 的角平分面（平面 A ）， 每一点的电场强度都应该 与之垂直，且该面为一个 等势面。

根据对称性原理，两板之间（ n=1 ， 2 ， …… ）角平分面上的电场强度方向均 垂直于该面，且该面也为等势面。我们 注意到两板之间（ n=1 ， 2 ， …… ）平分 面均过原点，由空间的无限可分性原理， 对于任意的 θ=θ0 平面，总有一系列的使 得 ：

所以我们可以认为，两极板所夹任意的过原点 的平面均为等势面。 即电场强度的大小仅与离原点的距离 r 有关， 其方向垂直于 r ，且 θ=θ 0 平面的电势相等。进 一步，我们有： （ 1 ） （ 2 ）

由于电势的连续性，对在全平面解析，有： （ 3 ） 由（ 2 ）式知： 故： （ 4 ） 解得： （ 5 ）

最后解得： （ 6 ） 代入初始条件： 最终解得： （ 7 ）

由电场与电势的关系，我们又得到： （ 8 ） 我们作一高斯面，它的小底面△ S 取在 r 处的导体板 内，侧面为电场线围成的弯曲柱面，另一小底面 △ S 也与弯曲柱面垂直。显然，由高斯定理可得： （ 9 ）

所以，板导体带电： （ 10 ） 最终求出： （ 11 ）

若按参考文献 [1] 假设的 两板长与宽分别为 a ， b ，一对边距离为 d ， 另一边为距离为 （ d+h ），则 α=h/a, 由于 α 很小, 故 d>>h ， 所以由三角形相似性： （ 12 ）

解得： （ 13 ） 按泰勒级数展开, 取前两项, 然后将（ 12 ）式代入式 （ 10 ）就得到 : （ 14 ） （ 13 ）式的结果与文献 [1] 结果相同, 可以看出此种解 法的正确性。

由解出（ 7 ）式发现电势仅与角度 θ 有关，与到原点的距离 r 无关；由 解出（ 8 ）式发现的电场强度只与 r 成反比，方向垂直于 r 。 对比平行板电容器，不难发现，如 果将平行板电容器两极板空间 C1 的一端压缩，以压缩后的两板延长 线（由于对称性，我们只考虑二维 平面）交点为原点建立图一所示的 二维极坐标系，则压缩后的空间 C2 即为非平行板电容器两极板的 空间。

由于对称性，我们只考虑二维平面。 将三维空间 C1 简化为二维为平面 ω ，将三维 空间 C2 简化为二维为平面 z 。 设： z 平面的复数 （ 15 ） ω 平面的复数 （ 16 ） 令： （ 17 ） 取对数函数作映射函数：即： （ 18 ）

将（ 15 ）式代入即得： （ 19 ） 比较（ 17 ）式即得： （ 20 ）

从图四可看出, 此变换将 z 平面上原来的非平行板电容 器映射为了在 ω 平面上与 u 轴平行的平行板电容器, 由 此可求得此平行板电容器板间距离和长度： （ 23 ） （ 24 ） 由于两空间的第三维未变换，即原非平行板电容器 的宽度 L 在变换后没有改变。所以， ω 平面上的平行 板电容器的电容为： （ 25 ）

比较（ 24 ）式与（ 11 ）式，由于变换前后, 两极板 间的电压和极板上所带电量不变, 只是两极板间的 空间被扭曲了，所以在变换后平行板电容器的电 容值即为变换前的非平行板电容器的电容值。 对于非平行板电容器所夹空间，这种空间映射的 原理确实正确，但对其它类型的电容器呢？为此， 我们尝试用这方法求解同轴柱面电容器的电容值。 由于对称性，我们同样只考虑二维平面，建立如 图五所示的二维极坐标系，同上面一样 。

通过取对数 变换，加上 边界之条件， 我们同样可 以得到：

从图六可看出, 此变换将 z 平面上原来的圆弧形电容器 映射为了在 ω 平面上与 v 轴平行的平行板电容器, 由此 可求得此平行板电容器板间距离和长度： （ 28 ） （ 29 ） 由于两空间的第三维未变换，即原圆弧形电容器的 宽度 L 在变换后没有改变。所以， ω 平面上的平行板 电容器的电容为： （ 30 ）

由（ 30 ）式求出的电容值完全符合参考文 献 [2] 求出的同轴柱面电容器的电容值，证 明这种方法在求解有两维变换，一维不变 换的电场空间中完全成立。那么是否对三 维均变换的空间适用呢 ? 注：参考文献 [2] 《电磁学》胡友秋 程福臻 刘之景 高等教育出版社

如图：将球形电容 器变为了平行板电 容器。

由于保形变换的二维性，以及球形的对称性，在 坐标系中我们引入参考文献 [4] 中定义的空 间角： ，将三维坐标系变为二维 平面 z 的 坐标系。为变换方便，定义如下函 数： （ 31 ）

取 f(z) 为映射函数： ω=f(z) 所以： 因为： 边界 r 仅有两个值 R1 、 R2 。 所以：

显然， ω 平面上的平行板电容器的电容为： （ 35 ） 由（ 35 ）式求出的电容值完全符合参考 文献 [2] 求出的同轴柱面电容器的电容值， 证明这种方法确实有一定的普适性。

结论：通过对以上三种电容器与平行板电容器的 分析讨论，我们得出，非平行板电容器两极板间 的电场空间确实可以看作平行板电容器两极板间 电场空间所挤压扭曲而成，而通过适当的变换， 可以将非平行板电容器两极板间的电场空间变为 平行板电容器两极板间的简单的平直的电场空间， 而变化后原电容器的电容值就是变化后的平行板 电容器的电容值。由于平行板电容器的电容值、 极板间的电场分布、电势分布易于求解，故这种 变换方法在求一些复杂的电场电势分布问题的时 候有一定的优越性。

参考文献： [1] 《物理学难题集》（增订本） 舒幼生 胡望雨 陈秉乾 高等教育出版社 [2] 《电磁学》 胡友秋 程福臻 刘之景 高等教育出版社 [3] 《复变函数》 潘永亮 汪琥庭等 科学出版社 [4] 《经典力学》 秦家桦 中国科学技术大学

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