Chapter 9 Hypothesis tests with the t statistic

當母體  為未知時 ( 我們通常不知 ) ，用樣本 s 來取代 因為用 s 來估計  ，所呈現出來的分佈已不 是 z distribution ，而是 t distribution

The Normal Distribution Bell shaped, symmetric, & unimodal Notation: X~N(  ，  2 ) – 學生身高 (X)  X~(135, 10 2 ) Characteristics: –Symmetrical –Mean=median – 大部分分數落在 mean ，少部分分數落在兩尾 – 兩尾向兩端無限延伸 – 常態分配曲線下的面積總合 =1

The Standard Normal Distribution 標準常態分配 Notation: Z~N(0, 1) Characteristics: –The standard normal distribution has a mean of 0 and standard deviation of 1 –The original scores need to convert to z score! –Areas under the curve has fixed probabilities associated with z-scores These areas are presented in normal curve table or z-table.

“ 標準化 ” 的概念 標準化 standardization 為何要將原使分數標準化？ raw scores  z-scores or

所有的 z-score distribution 皆為 µ=0 ， σ=1 的分佈 z-score distribution=standardized distribution

抽樣分配的 z

抽樣分配 z formula ( 母體  已知 ) 抽樣分配 t formula ( 母體  未知 ) Sum of Square d (SS) df The estimated standard error

z formulat formula t statistic t 統計量 z statistic z 統計量

Sample Variance 樣本變異數 Sample variance (S 2 ) : Sum of Squared (SS) Degree of freedom (df)

S 2 = = 概念公式計算公式

當母體  已知，每一 sample 都可計算 z score 從母體裡抽取許多樣本 (n 固定 ) ，則我們會有許多 z scores 所有 z scores 集合起來 → 抽樣分配的 z distribution 當母體  未知，每一 sample 都可計算 t score 從母體裡抽取許多樣本 (n 固定 ) ，則我們會有許多 t scores 所有 t scores 集合起來 → 抽樣分配的 t distribution

t distribution 當 n 小時， t distribution 為一非常態的分配 當 n 大時， df 亦增大， t statistic 會趨近 z statistic ，而 t distribution 會趨近常態 Why?? n 愈大， s 2 會愈接近  2 Why?

n 要多大 distribution 才會接近 z distribution?

t distribution 特質 Bell shape 分佈較 z distribution 扁平， 有較長的 tails When n ≈ ， s ≈  ， t ≈ z

t table

Assumption Independent observation population is normal (when n is small) Random sample Variable need to be ordinal, interval, or ratio in nature

Hypothesis Ho:  =k H1:  >, <, or ≠k 決定 tc (df; 單雙尾 ;  level; 查表 ) 計算 to ( 公式 ) 判斷 tc & to 比大小 Reject or fail to reject Ho??