By Irina Polansky Deriving Mechanism Singularity Positions through the Graph Theory Duality Principle The Iby and Aladar Fleischman Faculty of Engineering Department of Solid Mechanics, Materials and Systems Supervisor: Dr. Offer Shai

1. הגדרה של מצב סינגולרי גיאומטרי וטופולוגי. שימושים במצבים סינגולריים. 2. דואליות בין מכניזמים למסבכים דרך תורת הגרפים. 3. שימוש בדואליות בין מסבכים ומכניזמים למציאת מצבים סינגולריים במכניזם. 4. שיטה כללית למציאת מצבים סינגולריים בעזרת כוח בפאה

w in w out

w in w out Singularity position: A

שימושים בנקודות סינגולריות הימנעות מסינגולריות אם נדרשת תנועה רציפה הגבר מומנט או כוח שימוש בעובדה שבנקודה סינגולרית המכניזם ננעל Space-Based Synthetic Aperture Radar (SAR) 1986 Ford Mustang hatchback Balli and Chand ( ) “Synthesis of mechanism between singularity positions” Toggle pliers

A BC 1 4 a1a1 2 F E D 3 a3a3 b4b4 a4a4 a2a2 Wolfson “Mechanics of machinery” 1996 היבט אנליטי על נקודות סינגולריות במכניזם H.S. Yan “On the Dead-Center positions of Planar Linkage Mechanisms” (1989)

1. הגדרה של מצב סינגולרי גיאומטרי וטופולוגי. שימושים במצבים סינגולריים. 2. דואליות בין מכניזמים למסבכים דרך תורת הגרפים. 3. שימוש בדואליות בין מסבכים ומכניזמים למציאת מצבים סינגולריים במכניזם. 4. שיטה כללית למציאת מצבים סינגולריים בעזרת כוח בפאה

דואליות בין מסבכים למכניזמים 1 P A 2 לכל מסבך תמיד ניתן לבנות מכניזם כך שהמהירויות היחסיות של החוליות במכניזם יהיו שוות לכוחות במוטות המסבך

דואליות בין מסבכים למכניזמים 1 P A 2 I II לכל מסבך תמיד ניתן לבנות מכניזם כך שהמהירויות היחסיות של החוליות במכניזם יהיו שוות לכוחות במוטות המסבך

דואליות בין מסבכים למכניזמים 1 P A 2 לכל פאה במסבך מתאים צומת במכניזם I II

דואליות בין מסבכים למכניזמים 1 P A 2 לכל פאה במכניזם מתאים צומת במסבך I II

מושגים מתורת הגרפים חוק הזרימות: סכום ווקטורי של זרימות בכל חתך שווה לאפס חוק הפוטנציאלים: סכום ווקטורי של הפרשי הפוטנציאלים בכל מעגל שווה לאפס 1 2 גרף – אוסף צמתים וקשתות זרימהפוטנציאל כוחתזוזה, מהירות זרם חשמלימתח חשמלי כסףמחיר חתך – קבוצה מינימלית של קשתות שהסרתה הופכת את הגרף ללא קשיר מעגל – קבוצת קשתות שמהווה מסלול סגור גרף דואלי – לכל פאה מתאים צומת גרף זרימות: כאשר מתייחסים רק לזרימות שבגרף גרף פוטנציאלים: כאשר מתייחסים רק לפוטנציאלים שבגרף

דואליות בין מסבכים למכניזמים 1 P A P ˆ i P i ˆ 2 ˆ i A

1 2 1 P A P 1 2 P 1 ˆ i P i ˆ 2 ˆ i 1 ˆ i P i ˆ 2 ˆ i

1 2 1 P A P 1 2 P 1 ˆ i P i ˆ 2 ˆ i

1 P A 2 1 P A 2 P 2 1 I II I נייצג את המסבך הדואלי כגרף זרימות זרימות בפאות בגרף מייצגות משתנה כוח נוסף – כוח בפאה נייצג את המכניזם כגרף פוטנציאלים פוטנציאלים בצמתים מייצגים את המהירויות של צמתי המכניזם

Maxwell Diagram 1 P A 2 I 0 II I 0 בבואת המהירות דיאגרמת הכוחות

Maxwell Diagram 1 P A 2

1. הגדרה של מצב סינגולרי גיאומטרי וטופולוגי. שימושים במצבים סינגולריים. 2. דואליות בין מכניזמים למסבכים דרך תורת הגרפים. 3. שימוש בדואליות בין מסבכים ומכניזמים למציאת מצבים סינגולריים במכניזם. 4. שיטה כללית למציאת מצבים סינגולריים בעזרת כוח בפאה

דואליות בין מסבכים למכניזמים G G* (מסבך) (מכניזם) זרימות (כוחות) הפרשי הפוטנציאלים (מהירויות יחסיות) זרימות (כוחות) הפרשי הפוטנציאלים (תזוזות יחסיות) כוחות במסבך = מהירויות יחסיות במכניזם מתי יש כוחות במכניזם? לפי כלל הדואליות: פוטנציאלים בגרף מקורי – זרימות בגרף דואלי תזוזות במסבך – כוחות במכניזם ? יש כוחות במכניזם כאשר המכניזם נמצא במצב סינגולרי

דואליות בין מסבכים למכניזמים 1 P A 2 1 P A 2 P 2 1 נייצג את המסבך כגרף פוטנציאלים פוטנציאלים בצמתים מייצגים את תזוזות של צמתי המסבך A'A'

דואליות בין מסבכים למכניזמים 1 P A 2 1 P A 2 P 2 1 נייצג את המסבך כגרף פוטנציאלים פוטנציאלים בצמתים מייצגים את תזוזות של צמתי המסבך A'A' F 1 = F 2 = π A P

P L A B L D -PL C שיטת הקורה המצומדת

מכניזם תקוע I II מכניזם 2 1 P 2 1 II I גרף 1 A 2 P P 2 1 II I גרף דואלי 1 P A 2 מסבך דואליתזוזות במסבך דואלי 1 P A 2 A'A' I II 2 1 תיאור השיטה 1 A 2 P

דוגמא להפעלת השיטה ABC A B C A B C

A B C A B C A' B' C' A B C A π  B π  C π  A π  B π  C π 

A π  דוגמא להפעלת השיטה A' B' C' A π  B π  C π  A B C A π  B π  C π  1 3 A π  B π  A B C

דוגמא להפעלת השיטה A B C

A B C A B C A' B' C'  F  F  F  

דוגמא להפעלת השיטה H.S. Yan “On the Dead-Center positions of Planar Linkage Mechanisms (1989) A B C

1. הגדרה של מצב סינגולרי גיאומטרי וטופולוגי. שימושים במצבים סינגולריים. 2. דואליות בין מכניזמים למסבכים דרך תורת הגרפים. 3. שימוש בדואליות בין מסבכים ומכניזמים למציאת מצבים סינגולריים במכניזם. 4. שיטה כללית למציאת מצבים סינגולריים בעזרת כוח בפאה

A v  B v  C v  D v  0 v  A B C f  A f  C f  D f  A B C D B f  Another force variable – face force  f  B f  D f A f  C f  בבואת המהירות דיאגרמת הכוחות

0 A f  C f  D f  f  B f  A B C New force variable – face force  f  B f  D f A f  C f 

0 A f  C f  D f  f  B f  A B C

f1f1 f2f2 f3f Face force in mechanism 0 f  1 f  3 f  f  1, 2, 3 3, 4, 5 2, 5, 6 1, 4, 6

מסקנות והמשך מחקר שתי שיטות למציאת כל המצבים הסינגולריים פותחו על בסיס עקרון הדואליות בתורת הגרפים זה נותן זווית ראיה חדשה לתחום בגלל שהשיטות מבוססות על תורת הגרפים ניתן למחשב את השיטות המשך מחקר: להרחיב לעוד תחומים (כמו רובוטיקה), למצוא עוד שיטות למחשב את השיטה תכנון של מערכות סינגולריות