第七章 抽樣與抽樣分配
機率抽樣之定義: 在完整定義的母體中,每一個個體都有一個不為零的中選機會。 非機率抽樣:凡不屬於這個定義的範圍
抽樣分配 樣本統計量為隨機樣本的函數，而隨機樣本是由n個隨機變數 所組成的，故樣本統計量亦為一隨機變數，其機率分配稱為抽樣分配。
抽樣誤差 抽樣誤差是樣本統計量與相對應的母體參數間的差異。此種差異來自抽樣過程的機遇(chance)，抽樣方法及推論方法的不同。 非抽樣誤差 非抽樣誤差主要來自調查時的執行與事後在記錄、整理資料時所發生的錯誤。
常見的非抽樣誤差-Kish (1965) , Cochran (1977), 韋端(1990) 偶遇樣本 (Haphazard Sample) or 便利抽樣(Convenient Sample): 即碰到誰就選誰,研究者並不在乎調查對象是否有代表性. 立意選樣(Purposive Sampling) or 判斷抽樣(Judgment Sampling) : 經由專家主觀判斷,立意選定研究者認為 [有代表性] 的樣本來觀察. 樣本無法確認具代表性---是否為專家?? 自願樣本(Volunteer Subjects): 聽任自動送上門來的人組成樣本群. 無量的代表性,但有質的代表性
配額選樣(quota sampling): 一母體的人口特徵按比例分配樣本數,在配額之內進行非機率抽樣,調查對象依照特徵分類,根據各類別的百分比每類立意選樣至而滿為止. 雪球抽樣(snowballed sample) 先找到原始受訪者,然後再從受訪者所提供的資訊找到其他受訪者.
隨機數表
抽樣的結果:用來估計母體的某些特徵值 Ex：輪胎公司製造新的輪胎，實驗抽出120個測式結 果χ=36,500哩，用來當作新輪胎的哩程壽命 簡單隨機抽樣 分層抽樣 叢式抽樣 系統抽樣 便利抽樣 判斷抽樣 抽樣方法 機率性的抽樣方法，可用評估方法來評量其優良度 簡單隨機抽樣：抽取程序完全視母體大小為有限或無限
有限母體 ＣN： 從N中，抽出一樣本n的簡單隨機樣本，其 抽取方法必須滿足在n中，每一樣本被抽出機率皆相同。 Ex：利用“標籤”從2500主管中，抽出30個樣本，另可用 “隨機數表”。 ※ 利用隨機數表抽取樣本 6 3 2 7 1 5 9 9 8 6 每個數字6,3,2,7,1，都由0~9隨機選取，具有相同發生的機率，五個字一組是為方便查詢與閱讀。 Ex：資料名單、組織成員名冊、學生註冊名單、信用卡帳戶 、存貨數目
隨機抽樣 無限母體：元素無法進行編號，必從滿足 1.每個元素皆抽自相同母體 2.每個元素皆可獨立抽出 (ex：顧客抽出特優待卷，不會影響) Ex：持續不斷的程序：車流量、可能達成的顧客人數、銀行交易、CD製造。
分層抽樣方法－比例抽樣
分層隨機抽樣 母體先被區隔成數群，相性質放在一層中，即層內元素相異性較低。 資料層1 資料層2 資料層N ‧‧‧‧‧ 再抽出一元素來代表 若層內同質性高，則層內變異減少，只要“少量”的抽樣即可代表整層的性質
分層隨機抽樣的優點: 層內的資料一致而集中，標準差越小，則抽樣誤差也越小. Ex: 以台灣地區民眾為調查母體的抽樣設計,常見分層依據 台北市、高雄市、台灣省5個省轄市各為一層. 從抽樣的理論來看, 能有效降低推論的誤差. 以推論次母體(各縣市或公私立學校)可使抽樣調查目的易於達成. 有關工商業界或各行各業的抽樣調查更需要分層.
集群抽樣法
直接隨機抽出一叢體 叢式抽樣 Ex：地區抽樣：將地理區分成n個叢體，訪問者可在同一地區訪問，成本降低，時間減少。(利用增加樣本來補其缺失) 一叢體內的元素都是相異性質，所以一叢體都可代表整個母體。 Ex：地區抽樣：將地理區分成n個叢體，訪問者可在同一地區訪問，成本降低，時間減少。(利用增加樣本來補其缺失) 母體 叢體1 叢體2 叢體N ‧‧‧‧‧ 直接隨機抽出一叢體
系統抽樣法
先從第一個100元素中，隨機抽出一元素，再從另一個100個元素中，抽出第二個元素。 系統抽樣(等距抽樣) 先把全體總數N除以樣本數,得到K,即每間隔K個抽一個. Ex：從5000個元素的母體中，抽出50個樣本 －以100為單位 先從第一個100元素中，隨機抽出一元素，再從另一個100個元素中，抽出第二個元素。 ※比簡單隨機抽機容易，不必對照隨機數表
等距抽樣的中選樣本不但可以自動反應母體代表性,亦可降低抽樣誤差. 在大部分母體清冊都電腦化後,等距抽樣成為主流趨勢. 等距抽樣的優點: 快速方便,所以用的多.不需要N與k . Ex:以百貨公司顧客、汽車乘客或球場觀眾為對象,若決定每30人抽一人,即能馬上進行而不必事先知道全體有多少人?或樣本要多少等.
等距抽樣的缺點:最怕遇到週期性資料, 若此 週期和K成比例,則樣本會死守規則,完全失 去代表性. Ex: 每7天查一次帳,結果永遠查到一星期內 的同一天,後果必然不堪設想.
分段抽樣法
便利抽樣 非機率性的抽樣方法，其樣本隨其抽樣的方便而 決定。 判斷抽樣 非機率性的抽樣方法，其樣本隨測試者的判斷而 定。 非機率性的抽樣方法，其樣本隨其抽樣的方便而 決定。 判斷抽樣 非機率性的抽樣方法，其樣本隨測試者的判斷而 定。
σχ可用來計算μ與χ的距離，因為σχ扮演著 (errors)誤差角色，且被視為平均的標準差。 中央極限定理： 有平均數μ和標準差σ之母體抽出樣本大小為n的簡單隨機樣本，當樣本大小n夠大時，χ的抽樣分配將趨近常態分配。 n≧30，χ的抽樣分配趨近常態分配。 ※當母體是常態分配，則不管樣本的個數，其χ 的抽樣分配亦是常態分配。
母體分配: 母體資料的機率分配。 樣分平均數的抽樣分配
利用樣本平均數χ來推估母體平均μ是常見的統計方法 隨機變數：一個試驗結果的數值化描述，以抽樣的過程 當成試驗，χ為此一試驗結果的數值化。 －樣本平均數χ是一隨機變數。 利用樣本平均數χ來推估母體平均μ是常見的統計方法 母體μ＝？ 用χ推算 μ？ 用樣本資料計算 樣本平均數χ 從母體抽取n個 簡單隨機樣本 在重覆這樣的過程，可以得不同的χ，而所有可能的χ所現成的機率分配稱χ的抽樣分配。
樣本平均數的平均數與變異數
χ的期望值： Ｅ(χ)=μ 母體平均數 χ的標準差： 有限母體 無限母體 Ｅ(χ)=μ 母體平均數 χ的標準差： 有限母體 無限母體 σχ＝ √ N-n N-1 √ n σ σχ＝ √ n σ （ ） n N 當母體無限或 ≦0.05 有限母體校正因數 當母體有限，且 ＞0.05 n N
樣本比例的抽樣分配
的抽樣分配
t分配(小樣本） 自常態母體X~N 隨機抽取樣本 ，則統計量 為自由度n-1的t分配。 母體為常態分配但變異數未知 t分配(小樣本） 自常態母體X~N 隨機抽取樣本 ，則統計量 為自由度n-1的t分配。
Ex:假設 df=9，求k值 p(-k<t<k)=0.9 Sol: (-k,k)之機率為0.9 故在k以左與右的機率為0.1 亦即在k以右的機率為0.05 當 df=9，查表pg719 可得 t0.05＝1.833
簡單隨機抽樣: 抽取樣本時，若所有可能抽出的樣本被抽出的機率均相等。 機率抽樣法 簡單隨機抽樣: 抽取樣本時，若所有可能抽出的樣本被抽出的機率均相等。 樣本平均數的平均數與變異數
樣本平均數的平均數與變異數
樣本平均數抽樣分配的形狀 常態母體的抽樣分配 若母體為常態分配，平均數為，標準差為 ，則不論樣本數為何，樣本平均數 的抽樣分配亦為常態分配，其平均數和標準差分別為：
母體比例與樣本比例 母體比例
樣本比例的平均數
樣本比例的變異數與標準差 無限母體
樣本比例的變異數與標準差 有限母體
√ √ 樣本比例ｐ的標準差 σｐ＝ σｐ＝ N-n N-1 P(1-P) n ‧ P(1-P) n 無限母體 母體比例ｐ＝？ 用ｐ值來 來推算ｐ值 用樣本資料計算 樣本比例ｐ值 從母體抽出n個 簡單隨機樣本 樣本比例ｐ的標準差 σｐ＝ √ N-n N-1 P(1-P) n ‧ σｐ＝ √ P(1-P) n 無限母體 當 ≦0.05時，即母體夠大而樣本夠小時，有無校正因子並無太大差別 有限母體 >0.05時，加上校正因子 N n N n
樣本比例(ｐ)的抽樣型態 若樣本夠大，則ｐ的抽樣分配趨近常態機率分配。 即當np≧5，n(1-p) ≧5時，樣本數可認定足夠形成大樣本。
圖8.1 等待看牙時間(母體)
圖8.2 等待看牙時間(樣本1) 圖8.3 等待看牙時間(樣本2) 圖8.2 等待看牙時間(樣本1) 圖8.3 等待看牙時間(樣本2)
估計誤差
資料搜集成本與抽樣誤差的關係
展示小姐的月薪的次數分配
展示小姐月薪的母體機率分配
展示小姐月薪的母體機率分配
樣本平均數的抽樣分配
樣本平均數的機率分配
展示接待小姐月薪的抽樣
展示小姐月薪的樣本平均數
展示小姐的月薪的抽樣分配
展示小姐的月薪抽樣分配圖
抽樣誤差： 不管χ、μ，χ-μ為抽樣誤差 n=100下，σχ＝400 0.5036 n=30, σχ＝730.30 0.7888 χ 51300 51800 52300 χ n=30, σχ＝730.30 n=100下，σχ＝400 當樣本數增加，標準誤差減少，χ的抽樣分配將有較低的變異，使得樣本平均數落於母體平均數之特定範圍內之機率增加。
(N：母體個數，k：母體中，某個類別的個數) Σχi i=1 n 樣本比例ｐ： (N：母體個數，k：母體中，某個類別的個數) 樣本比例ｐ的抽樣分配： 所有樣本比例ｐ值的機率分配 E=(ｐ)=ｐ 即隨機變數ｐ的期望值=母體比例
估計誤差
中央極限定理 母體分配 母體分配
中央極限定理（續） 抽樣分配 抽樣分配
中央極限定理（續） 抽樣分配 抽樣分配
營業額的抽樣分配
房屋價格的機率
點二項分配
贊成興建巨蛋球場比例的機率