Monte Carlo Simulation Part.2 Metropolis Algorithm Dept. Phys. Tunghai Univ. Numerical Methods C. T. Shih

Simple/Importance Sampling 當我們用 MC 法計算積分時，若該函數為常數 函數 f(x)=constant ，則取樣數不管多少，準 確度皆為百分之百 相對的，如果 f(x) 為 delta 函數，則取樣數不 管多少，準確度幾乎皆為零 也就是說，如果在積分區間內， f(x) 為一平滑 函數，則 MC 法較準確，如果 f(x) 的變動很劇 烈，則 MC 法的誤差會變大

Weight Function: w(x) 因此，在 f(x) 變化劇烈時，在以 MC 取樣時， 最好依據 f(x) 的大小來決定取樣機率 亦即： |f(x)| 大的，對 ∫f(x)dx 的貢獻較大，如 果沒有被選中則結果的誤差極大 解決方式：改變 x 被選中的機率，讓 |f(x)| 大 的被選中的機率增加 Weight distribution function: w(x) ，決定每個 x 被選中的機率

Weight Function: w(x) w(x) 必須歸一化，即在積分區間內 ∫w(x)dx=1 由於 x 的選取已被 w(x) 扭曲，所以計算積分 時要把這個部分「還」回去：若一共取樣了 M 個 x ，則其積分值為

Metropolis 演算法 如何產生一連串的 x ，使得 x 的分佈滿足 w(x)? 步驟如 下： 由均勻亂數產生一任意 x ， a<x<b 再產生另外一個亂數 x’ ， a<x’<b 兩者的機率權重比為 P(x → x’) w(x’)/w(x) 若 P ≧ 1 ，則接受 x’ 為新的 x 值 若 P < 1 ，則產生一亂數 y ，若 y<P ，則接受 x’ 為新的 x ，否則下一個被選取的仍然是舊的 x 如此即可得到一連串的 x ，重複此步驟 M 次，將每次所 得到的 x 所對應的 f(x)/w(x) 求平均，即為所求之積分 近似值

f(x) 與 w(x) 最好的 w(x) 當然就是 |f(x)| 本身，但是因為 w(x) 必須滿足 ∫w(x)dx=1 ，所以得先對 w(x) 做積分 → 回到問題的原點 但是如果 f(x) 是物理上的 probability distribution function （如波茲曼函數），我們 經常要積分的是一些物理量的平均值： 這類問題即可以 Metropolis algorithm 來產生 根據 f(x) 所分佈的 M 個 x