I Think about Mechanics College One

我对大一力学的思考 大一力学的学习中，我遇到了不少值得我 去思考的问题。让我们在这里分享一下我 曾经的思考。或许你会觉得十分简单，也 或许你没有想过这样的 a piece of cake. Anyway, let’s take a look.

1 用力的观点解释进动 杠杆陀螺（会转仪）的进动问题，用角动量的观点去解 释是方便的。但是用力的观点呢？如果不用里的观点去 解释，我以为这是避重就轻。如果用力的观点解释不通， 那么理论很可能是出了问题。

用力的观点解释的困难 如图 1 ，取杠杆为研究对象，分析它的 受力情况。 重力的合力 G 杠杆轴受到的压力和拉力 那么杠杆要能平衡，必须还受到转轮给 它的拉力和向上的一个弹力 然而，这个 F 弹 是很难以理解的。 为什么这个飞轮可以给杠杆以向上的挤 压，那么它受到的反作用力不是向下的 吗？它可是自身难保啊。 图1图1 G N f拉f拉 f 拉 2 F弹F弹

换一个参考系来看这个问题 如图 2 ，在转动参考系中，取杠杆和转 轮整体为研究对象，分析其受力情况 类似于图 1 的受力 如图杠杆绕支撑轴有角速度 Ω 转轮又在高速自转 那么在转动参考系里，转轮当受到如图 的科里奥利力 图中画出一对科里奥利力是转轮上每个 质点所受的和效果力 正是这对力（的力矩）使得杠杆不会掉 下 那么，在转动参考系中，我们就已经用 力的观点解释了进动的维持 图2图2 N f拉f拉 G Ω ω v’ f cor

进动的产生 我们刚才假设杠杆已经绕支撑轴转起来，才 有刚才的科里奥利力。那么最初这个转动是 怎么产生的呢？ 如图 3 ，在重力的作用下，杠杆要往下掉，那 么在 O 点有如图的 ω 0 ， 这时转盘受到如图中的科里奥利力 f cor, f cor 力 矩就会使杠杆产生图 2 中的 Ω 。接着，就可以 用上边的分析了。这就是进动产生的原因。 可见，这样产生的进动是从小的扰动开始的， 也就容易理解这样产生的进动其实会是章动。 图3图3 G N u ω0ω0 v’ ω f cor

2 有关刚体力学的 “ 小佯谬 ” 这个问题曾让我迷惑万分。

一个有关转动惯量的问题 刚体力学中，我们知道力偶矩对于任意选定的转动轴， 其大小和方向都是一样的。并且我们还知道，角速度 ω 和角加速度 β 是具有绝对性的，即任意选定转轴， 其大小和方向同样。 入图 4 ，刚体受到一对大小相等，防向相反的力的作 用。这两个力的力偶矩为 M. 对于质心 C ，由转动方程 M=I c β (1) Ic 为以质心 C 为转轴的转动惯量， β 为角加速度。 我们可以找到一个相对于惯性系瞬时静止的 O 点（瞬 心），这完全可以做到。 以 O 为轴，由转动方程 M=I 0 β (2) (2) 式中的 M 和 β 与 (1) 式中的一样，原因已经解释过 了。但是，由平行轴定理 I 0 =I c +md 2 (3) 其中 (3) 式中的 d 为 O 、 C 之间的距离。联立 (1)(2)(3) 式， 明显出现了矛盾。 那么，是什么样的伪装蒙住我们眼睛呢？ Just think about it. F F C O 图4图4

解释 原因就在于瞬心 O 点。的确， O 点是在瞬时相对于惯性系静 止，但选取 O 点为轴，这相当于选取了什么样的参照系呢？ 首先，它是个平动参考系，千万不可认为这是转动参考系。 因为我们在转动方程里写出了角加速度的，如果是转动参考 系，是没有这个角加速度的。 其次，它又是一个非惯性系。仔细分析一下， O 点相对于惯 性系是有加速度的。我们可以这样求得这个加速度。 如图 5 ，以 C 为参照系， C 是一个惯性系 ( 质心运动定理 ) 。由 于 O 此刻的速度为 0 ，径向的向心加速度为 0 。但切向加速度 a=β r oc 所以 O 点在惯性系中是有加速度的。在换以 O 为轴（就换到 以 O 为系）， C 点因该加上惯性力，则 M+r oc (-ma 0 )=I o β (2)’ 这样，用 (2)’ 式代替 (2) 式，就没有矛盾了。 图5图5 F F C O a0a0

3 从音叉说起谈干涉条件 从一些书上，我们可以看到这样的演示 试验：音叉振动发声时，两个叉子正好 满足相干波源的条件，于是耳朵在周围 空间运动（或者我们转动音叉）时，就 可以听到强（振动相长）弱（振动相消） 变化。 但是，真的有人听到音叉的干涉了吗？ 我相信，那一定是极为敏锐的耳朵！事 实上，健康的我是没有能够听见这样的 声音的。 为什么？ 振动相长的点 振动相消的点 波峰 波谷

思考 这其中的原因，是忽略了音叉这个特定模型的特殊条件。 由此我们也可以想到：发身干涉现象的条件（严格地说， 发生明显干涉的条件）除了 （ 1 ）两列波具有相同频率 （ 2 ）两列波相差恒定 （ 3 ）两列波振动方向相同 外，我们还可以再补充一点。

解释 什么是音叉的特殊性呢？我们知道，两个振动的叉子间距是很小的，只有几 个厘米，而声波的波长大约是几米（这里随便取一种合理的声波），就是说 声波的波长是很长的。我们再来看一下刚才的图，发现应该这样画。

解释 注意到两个波源相隔太近， 波长太长！波峰和波谷根 本没有叠加的机会。两列 波在周围空间中，就如同 是一个波源发出来的一样。 实际情况比这个图更明显， 为了清楚，图中波源的距 离是画大了的。 由此，我们想到，干涉条 件可以再补充一条 那么应该怎样的大才是合 理的呢？ 波长不能比波源间距太大。

解释 假设两列波 S 1 、 S 2 能够明显干涉，那么 最近的几个波长相差半波长的奇数倍的 点波程差是 λ/2 。要能够构成三角形， S 1 、 S 2 的间距应该不小于 λ/2 。 d ≧ λ/2 要使得在周围空间发生更明显的干涉，条 件应该更强。 S1S1 S2S2 P

THE END Thanks! © Copyright PB 赵仲华