5 第五章 二次型 学时： 10 学时。 教学手段：  讲授和讨论相结合，学生课堂练习，演练习题与辅导答疑相结合。 基本内容和教学目的：  基本内容： 二次型的矩阵表示、标准型、唯一性、正定二次型。  教学目的：  1 、了解二次型的概念，二次型的矩阵表示。  2 、会化二次型为标准型，规范性。  3 、掌握二次型的惯性定理，正定二次型。 本章的重点和难点：  重点：化二次型为标准型，规范性 。  难点：正定二次型。

5 5.1 二次型的矩阵表示

5 一 问题提出  平面解析 一次曲线： Ax + By + C = 0 ( 直线 ) ； 二次曲线： Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey = F → 经平移 变换化成为 au 2 + buv + cv 2 = d → 经旋转变换化成为 a / x /2 + b / y /2 = d / ( 二次齐次多项式 ) → 可根据二次项系数 确定曲线类型（椭圆、抛物线、双曲线等）；  空间解析 一次曲面： Ax + By + Cz + D = 0 ( 平面 ) ； 二次曲面： （平移后不含一次项） → Ax + By + Cz + 2Dxy + 2Exz + 2Fyz = G (18-19 世纪上半期表 示方法 ) → 通过方程变形，选定主轴方向为坐标轴，可化简 为 a / x /2 + b / y /2 + c / z /2 = d / → 据二次项系数符号确定二次曲 面的分类

5 更一般的问题： 数域 P 上含 n 个变量 x 1,x 2,…,x n 的二次齐次多项式如何化 成平方和形式，即标准型问题，是 18 世纪中期提出的一个课题 → 本章中心问题 : n 元二次型化标准型（平方和）的问题. 二、二次型的概念及性质 1. 定义 1 数域 P 上 n 元二次齐次多项式（近代表示式） f (x 1, x 2, …, x n ) = a 11 x a 12 x 1 x 2 + 2a 13 x 1 x 3 + … + 2a 1n x 1 x n + a 22 x a 23 x 2 x 3 + … + 2a 2n x 2 x n + a 33 x … + 2a 3n x 3 x n …………… + a nn x n 2 称为 P 上 n 元二次型，简称二次型；当 P = R 时，为实二次型、 当 P = C 时，为复二次型.

5 *1 f (x 1, x 2, …, x n ) 是 P n →P 的 n 元函数； *2 f (x 1, x 2, …, x n ) = a 11 x 1 x 1 + a 12 x 1 x 2 + … + a 1n x 1 x n + a 21 x 2 x 1 + a 22 x 2 x 2 + … + a 2n x 2 x n …………………………… + a n1 x n x 1 + a n2 x n x 2 + … + a nn x n x n = f (x 1, x 2, …, x n ) = a 11 x a 12 x 1 x 2 + … + 2a 1n x 1 x n + a 22 x … + 2a 2n x 2 x n ………… + a nn x n n.

5 *3 性质： 1) 在二次型 f (x 1, x 2, …, x n ) = X / AX 中，矩阵 A 为对称矩阵； 2 ）把一阶矩阵 A = (a) 看成数 a, 则一元二次型 f (x) = a 11 x 1 2 = (x 1 ) / (a 11 )(x 1 ) = X / AX ； 3) 数域 P 上， f (x 1, x 2, …, x n ) 与 n 阶对称矩阵一一对应. 证明分析： 由 *2 可知，任一二次型都对应某对称矩阵 A ，即 *2 给 出对应法则 σ ： f (x 1, x 2, …, x n ) →A. 设 f (x 1, x 2, …, x n ) 在 σ 下对 应的对称矩阵为 A ， B ，即 f (x 1, x 2, …, x n ) = X / AX = X / BX ，故知 A = B ，即 σ 是 n 元二次型与 n 阶对称矩阵之间的映射. 设 A 是数域 P 上任一 n 阶对称矩阵，则 X / AX 的展开式显然是数域 P 上的 n 元二次型，即 σ 是满射，而 σ 为单射则是显然的，故 σ 是 双射. □

5 2 线性替换  平面解析中，当坐标原点和中心重合时，有心二次曲线一般 方程为 ax 2 + 2bxy + cy 2 = f ( 例： 13x 2 – 10xy +13y 2 = 72 ), 将坐标轴 逆时针旋转 θ 0 ( 例： 45 0 ), 即有坐标旋转公式 y y / x / x

5 定义 2 将变量 x 1, x 2, …, x n 用 y 1, y 2, …, y n 线性表示的变换 称为由 x 1, x 2, …, x n 到 y 1, y 2, …, y n 的线性替换（简称变量的线性替换）. *1 线性替换的矩阵表示： X = CY ， C 称为线性替换 (4) 的矩阵； 当 C 可逆时，称 (4) 为非退化（可逆）线性替换； C 不可逆时，称 (4) 为退化（非可逆）线性替换，其中

5 *2 性质： 4) 若 C 可逆，则 X = CY 是可逆线性替换，且 Y = C － 1 X 也是可逆的线 性替换； 5) f (x 1, x 2, …, x n ) = X / AX 是 P 上的 n 元二次型，经线性替换 X = CY 化成 f (x 1, x 2, …, x n ) = Y / BY ，则 B = C / AC. 证明： f (x 1, x 2, …, x n ) = X / AX = (CY) / A(CY) = Y / (C / AC)Y = Y / BY. 由于 B / = (C / AC) / = C / A / C // = C / AC = B → Y / BY 是 P 上 n 元二次 型，且 B = C / AC 成立. □ 6) 二次型的秩在变量的线性替换下保持不变（性质 5 的推论） 证明： 如 5), 在线性替换 X = CY 下 f (x 1, x 2, …, x n ) = X / AX = Y / BY → B = C / AC, C 可逆 → A ， B 的秩相同，即二次型 X / AX 与 Y / BY 的秩相同 → 题设结论成立. □  性质 5 给出矩阵之间的一种相互关系，故引入以下概念 →

5 三 矩阵的合同关系 定义 2 数域 P 上 n 阶矩阵 A ， B 称为合同的，如果存在 P 上的 n 阶可 逆矩阵 C ，使得 B = C / AC. *1 合同的性质： 7) 矩阵合同是 M n (P) = {A│A 为 P 上 n 阶矩阵 } 上的等价关系, 即 (1) 合同具有自反性 （ A = E / AE ，即 A 与 A 合同 ）； (2) 合同具有对称性 （ B = C / AC → A = (C － 1 ) / BC － 1 ）； (3) 合同具有传递性 （ A 1 = C 1 / AC 1 ， A 2 = C 2 / A 1 C 2 → A 2 = C 2 / (C 1 / AC 1 )C 2 = (C 1 C 2 ) / A(C 1 C 2 ) ）. 8) 线性替换 X = CY 下 f (x 1, x 2, …, x n ) = X / AX = Y / BY, 因 B = C / AC, 故： X = CY 为可逆线性替换时，二次型 X / AX 与 Y / BY 的矩阵合同 ; → 为用矩阵来研究这类二次型的变换奠定了基础，提供了思路；

5 9) 合同的矩阵具有相同的秩； 10) 与对称矩阵合同的矩阵仍是对称矩阵. 证明： 9 ) 设 A, B 合同，即 B = C / AC, 且 C 可逆，故 A, B 同秩. 10) 设 A / = A ， B = C / AC ， C 可逆 → B / = (C / AC) / = C / AC = B. □ *2 为什么在变换二次型时，总要求用非退化的线性替换（即 C 为可逆矩阵）？ 事实上，当 X = C / Y 是非退还的线性替换时， 可得 Y = C － 1 X 成立， 故原二次型 X / AX 与变换后的二次型 Y / BY 是可以互化的， 这样就使我们从变换所得二次型 Y / BY 的性质可以推知原来 二次型 X / AX 的性质.

5 5.2 标准型 中心问题：  讨论用非提化的线性替换化二次型成最简形式， 即平方和的形式： d 1 x d 2 x … + d n x n 2

5 证明： （配方法） 对 n 进行数学归纳. n = 1 ： f (x 1 ) = a 11 x 1 2, 已是 (1) 的形式，命题成立. 假定 n － 1 时命题成立，现证 n 时命题成立. 分以下情形讨论： 1) a ii ( i = 1, 2, …, n ) 中至少有一个非 0 ，如 a 11 ≠0 → 定理 1 数域 P 上任一二次型都可经过非退化的线性替 换变成平方和的形式 d 1 x d 2 x … + d n x n 2 (1) f (x 1, x 2, …, x n ) = a 11 x a 12 x 1 x 2 +2a 13 x 1 x 3 + … +2a 1n x 1 x n + a 22 x a 23 x 2 x 3 + … +2a 2n x 2 x n ………………… + a nn x n 2 a 11 x a 12 x 1 x 2 + 2a 13 x 1 x 3 + … + 2a 1n x 1 x n = a 11 [x a 11 － 1 (a 12 x 2 + a 13 x 3 + … + a 1n x n )] * A 2 + 2AB + B 2 = (A+B) 2

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5 2) 所有 a ii = 0(i =1, 2, …, n), 但至少有一 个 a 1j ≠0 (j = 2, …, n) → 不失普遍性，不妨设 a 12 ≠0 → 令

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5 定理 2 数域 P 上任一对称矩阵合同于对角矩阵

5 P 上 n 元二次型全体 M n (P) A f (x 1, …,x n ) X=CY B=C / AC B 定理 2 的意义： 化 n 元二次型 X / AX 成标准型问题 寻找一个可逆矩阵 C ，使得 A 与对角矩阵 D 在 C 下合 同（ D=C / AC ），而定理 2 说明这样的 C 一定存在 → 如何找到这个 C 即为进一步要解决的问题： C=? 时， B= D ？

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5 §5.3 唯一性

5 问题提出：二次型 f (x 1, x 2, x 3 )=2x 1 x 2 +2x 1 x 3 － 6x 2 x 3 经 过不同的线性替换，其结果不同 → X=C 1 W 下， f = 2w 1 2 － 2w w 3 2 ； X=C 2 Y 下， f = 2y 1 2 － 2 － 1 y ×3 － 1 y 3 2. 其 中

5 P 上 n 元二次型全体 M n (P) A f (x 1, …,x n ) X=CY B=C / AC B  回顾上一节内容，有以下事实成立 ： 同一二次型在不同线性替换下的矩阵合同. C=? 时， B= D ？ X=C 1 W B 1

5 n 元二次型全体 M n (P) A f (x 1,…, x n ) X=C 1 W D 1 D 2 X=C 2 Y 问题： 同一二次型 f 在恰当的可逆线性替换下的矩阵 是对角矩阵，但不同的这样的可逆线性替换下的对角 矩阵不同，即所化成的标准型不唯一. 问题：如何处理，可将二次型所化成的标准型唯一确定？

5 一 二次型的秩 *1 A ， B( ∈ M n (P)) 合同 ↔ 存在可逆矩阵 C ， B = C / AC → 因 C 可逆，故 r(A) = r(B) ，即合同矩阵的秩相等； *2 原二次型 X / AX 经 X = CY (C 可逆 ) 化成新二次型 Y / BY, 则 A ， B 合同 → 新、旧二次型的矩阵秩相同，即可逆的 线性替换不改变原二次型的矩阵的秩，该秩刻画了二次 型的一种本质属性 → 引入以下概念： 1. 定义： 二次型 f (x 1, x 2, …, x n ) = X / AX 中矩阵 A 的秩称为 二次型 f 的秩； 2. 性质： 1) 可逆线性替换不改变二次型的秩；

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5 二 复二次型 （复数域 C 上的二次型） 1. 规范型： z z … + z r 2 称为复二次型的规范型. 2. 定理 3 任一复二次型经适当的可逆线性替换可化成 规范型，且规范型唯一. * 该定理的矩阵语言描述：任一秩为 r 的复对称矩阵合同于 一个对角矩阵

5 证明： 设复二次型 f = X / AX, r(A) = r → 存在可逆线性替 换 X= C 1 Y(C 1 可逆 ), 使 f = X / AX = (C 1 Y) / A(C 1 Y) =Y(C 1 / AC 1 )Y = d 1 y … + d r y r 2 (d i =1, …,r, 1≤r≤n) → 取可逆线性替换

5 3. 两复对称矩阵合同的充要条件是其秩相等 ( 复对称矩阵按合同关系可分为 n+1 个不同的类 ) ； 复二次型共有 n+1 个不同的类型, 其秩为决定因素.

5 三 实二次型 1. z 1 2 ＋ … ＋ z p 2 － z P+1 2 … － z r 2 称为实二次型的 规范型 → 规范型完全由 p, r 所确定 ( 其中 r 为二次型的秩，它确定了规范型中非零项的 个数， p 确定了规范型中正、负项的个数）. 2. 定理 4 （惯性定理） 任一实二次型经适当的 可逆线性替换可化成规范型，且规范型唯一.

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5 惯性定理的意义 定义 3 实二次型的规范型中正平方项的个数 p 称为该二次型的 正惯性指数；负平方项的个数 r － p 称为该二次型的负惯性指 数；其差 p － (r － p) = 2p － r 称为该二次型的符号差. *1 实二次型的标准型虽不唯一，但由于标准型到规范 型的变换中，非零项的个数，正 ( 负 ) 项个数并未发生变 化 → 据惯性定理中规范型的唯一性可知： 实二次型的标准型中的非零项个数及正 ( 负 ) 项个数由秩 和正 ( 负 ) 惯性指数唯一确定，即在不考虑系数数值差异 的前提下，实二次型的标准型唯一确定；

5 *2 定理 3 、 4 的矩阵语言描述 → 定理 5 ：

5 *3 称二次型 X / AX 与 Y / BY 可互化，如果存在可逆的线性替 换 X = CY ，使得 B = C / AC → 1) X / AX 与 Y / BY 可互化当且仅当 A ， B 合同； 2) 设数域 P 上 n 元二次型全体构成集合 M(P) ，则二次型 的互化关系是 M(P) 的一个等价关系. 证明： 1) 显然. 2) X = EX ，有 A = E / AE → X / AX 与 X / AX 可互化； X / AX 与 Y / BY 可互化, 显然 Y / BY 与 X / AX 可互化； X / AX 与 Y / BY 可互化, Y / BY 与 Z / DZ 可互化 → 有可逆线性替换 X = C 1 Y, Y = C 2 Z, 使 B = C 1 / AC 1, D = C 2 / BC 2 → 有可逆线性替换 X = C 1 C 2 Z ，使 D = (C 1 C 2 ) / A (C 1 C 2 ) → X / AX 与 Y / BY 可互化 → 命题成立. □ 互化意义： 若存在 X = CY,C 可逆，且 B=C / AC → Y = C -1 X, A = (C / ) -1 BC -1 = (C -1 ) / BC -1 → X / AX = (CY) / A(CY) = Y / (C / AC)Y = Y / BY ； Y / BY = (C -1 X) / B(C -1 X)=X / ((C -1 ) / BC -1 )X =X / AX

5 3) 复二次型按可互化分成 n + 1 个不同的类 ( 型 ). 证明： 复二次型 X / AX, Y / BY 可互化 ↔ A, B 合同 ↔ A, B 的 秩相等 ↔ 复二次型 X / AX, Y / BY 的秩相等. 而秩的所有可能 的结果为 r = 0, 1, …, n, 共 n + 1 种 → 命题成立. □ 复二次型全体 M(C) 复对称矩阵全体 M(C) A f (x 1, …,x n ) g(y 1, …,y n ) B f, g 可互化, 即同一类型 → 共 n+1 个不同类型

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5 * 用矩阵语言描述该性质： 复对称矩阵按合同分类共有 不同的类

5 0 1 ……… r ……… n － 1 n r 个正项 r － 1 个 …… 1 个 0 个 实二次型全体 M(R)

5 5.4 正定二次型

5 一 正定二次型的概念 定义 1 实二次型 f (x 1, …, x n ) 是正定的，如果对任意不 全为零的 c 1, …, c n ∈ R ， f (c 1, …, c n ) ＞ 0 ； 实二次型 f (x 1, …, x n ) 是负定的，如果对任意不 全为零的 c 1, …, c n ∈ R ， f (c 1, …, c n ) ＜ 0 ； 实二次型 f (x 1, …, x n ) 是不定的，如果对任意不 全为零的 c 1, …, c n ∈ R ， f (c 1, …, c n ) 有时＞ 0, 有时＜ 0 ； 正定二次型的矩阵称为正定矩阵；  f (x 1, …, x n ) = x … + x n 2 是正定二次型；  f (x 1, …, x n ) = d 1 x … + d 2 x n 2 是正定的充要条件为 d i ＞ 0, i = 1, 2, …, n.

5 二 正定二次型的判定 1. 定理 6 实二次型 f(x 1, …, x) 正定的充要条件是其 正惯性指数为 n.

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5 *2 正定矩阵的行列式大于 0. 证明： A 正定 → 存在可逆矩阵 C (|C|≠0), 使得 A = C / C → |A| = |C / ||C| = |C| 2 ＞ 0.

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5 例 判别以下二次型是否正定？

5 三 半正定二次型 定义 7 实二次型 f (x 1, …, x n ) 称为半正（负）定的，如 果对于任意一组不全为零的实数 c 1, …, c n 都有 f (x 1, …, x n ) ≥0 （ f (x 1, …, x n ) ≤0 ） 成立； 如果 f (x 1, …, x n ) 既不是半正定的，又不是半负定 的，则称其为不定的. （见 P236 习题 9 ）： 行的取法与列的取法一致的 k 级子式称为 k 级主子式，如