1 Experiments on Finding Distribution Coverages 中原大學應用數學系 碩士班 指導教授：劉立民 研 究 生：連金湧

2 大綱 序論 定理、定義 新模型、推論 實驗結果 結論

3 序論 生物的結構並非隨意構成的，都遵循著 一種穩定的結構。 病毒學家發現病毒結構為類似 geodesic domes 的結構，其為一種利用最少的相同 物質去建構出最大空間體的穩定球體結 構。且病毒大多以二十面體存在。 科學家在實驗室中又發現碳能以一種籠 型的球型結構存在，但這在自然界中是 沒辦法自行產生的。

4 Geodesic domes & 的結構圖

5 愛滋病毒的結構圖 正二十面體

6 除了病毒的二十面體結構跟碳 - 六十 的籠形球體結構，尚有許多生物或物 體擁有這類非常豐富的數學結構。 因此在之前的研究中，業已嘗試為 這類數學結構提出一種可能的數學定 義，而我們現在嘗試提出另一種模型 來模擬出這數學結構。

7 定義 1 單位 (m-1) 球面 在 中（ m ２）單位（ m-1 ）球面的集 合 ，可以表示成 = { ： | | = 1 } 其中｜‧｜為在的 Euclidian norm 。 特別的是 為 上的單位圓。

8 定義 2 Distribution D 令一單位球面 與單位球面的球心 O 。 在 中，我們說一個 distribution D 是 一球面 點的集合， i=1 ， … ， n 。即 | | = | | = … = | | 。 我們把 distribution D 中點的數目記作 |D| 。

9 定義 3 Covered Surface CS(P) 令 distribution D 與一個球面點 P 相 切平面 (P 是 distribution D 中的一個 點 ) 。往圓心移動切平面，直到碰到另 一個 distribution D 中的點即停止，這 個過程中所掃過的面積稱為點 P 的 covered surface ，寫成 CS(P) 。

10 定義 4 Distribution Coverage DC(D) 令一個 distribution D ， distri-bution coverage 是 distribution D 中每一個點 covered surface 的總合。 DC(D) = 。

11 定義 5 Ideal Distribution D 令球面 與自然數 n 。 ideal distribution D 是當 |D| = n 時最大 的 distribution coverage 。

12 定理 此為針對三維空間上的狀況 Theorem 1 ： 當 n = 2 時， ideal distribution D 會發 生在 Theorem 2 ： 當 n = 3 時， ideal distribution D 會發 生在三個點形成正三角形且此正 三角 形的重心即為球的球心。 Theorem 3 ： 當 n = 4 時， ideal distribution D 會 發生在正四面體的四個頂點上。

13 二度空間中的新模型 無阻力的圓型軌道 黑色的為同等電量且相 同電性、質量極小的球 形小珠，限定球形小珠 只能在軌道上運動，且 跟軌道的磨擦力為 0 ， 不受到力場的影響。 我們這邊的球形小珠就 好比是 distribution D 中 的一個點。

14 三度空間中的新模型 無阻力的真空玻璃球 黑色的為同等電量且相 同電性、質量極小的球 形小珠，限定球形小珠 只能緊貼球內壁運動， 且跟球內壁的磨擦力為 0 ，不受到力場的影響。 我們這邊的球形小珠就 好比是 distribution D 中 的一個點。

15 定律 Coulomb Law ( 庫倫定律 ) Second Newton ’ s Law of Motion ( 牛頓第二運動定律 ) Electric potential energy ( 電力位能 )

16 為對 x 軸的夾角，且 為時間參數 圓上一點的座標可看成為軌跡方程式 = (cos ， sin )

17 連續將 對時間參數做兩次微分得到加速度 =(-cos ， -sin )( ) 2 +(-sin ， cos ) 。

18 牛頓第二運動定律得知 = 庫倫靜電力

19 = ( ) 2 + =

20 …(1) …(2)

21 單位圓上兩點的庫倫靜電力關係矩陣 A(4,1) A(4,1) = = 其中 y 1 = ， y 2 = ， y 3 = ， y 4 =

22 單位圓上三點的庫倫靜電力關係矩陣 A(6,1) A(6,1)= = 其中 、 、 為 、 、 ； 、 、 為 、 、 的一次微分

23 單位圓上 n 點的庫倫靜電力關係矩陣 A(2n,1) A(2n,1) = = 其中 、 、 … 、 為 、 、 … 、 ； 、 、 … 、 為 、 、 … 、 的一次微分；

24 跟 分別為對 x 軸與 x y 平面的夾角 且全都是時間參數 球面一點的座標可看成為軌跡方程式 =(cos cos ， cos sin ， sin )

25 單位球上 n 點的庫倫靜電力關係矩陣 B(4n,1) B(4n,1)= = 其中 、 、 … 、 分別為 、 、 … 、 ； 、 、 … 、 分別為 、 、 … 、 ； 、 、 … 、 分別為 、 、 … 、 的一次微分； 、 、 … 、 分別為 、 、 … 、 的一次微分。

26 模擬現象 由於我們的模型為無阻力存在的 一種理想狀況，所以不太容易產 生停止的情形，這不利我們的觀 察，因此我們必須引入阻力，迫 使我們的模型停止。

27 引入阻力 我們引入空氣阻力，當物體運動時 才會有空氣阻力，且在物體的運動 速度不太快時，其空氣阻力與其當 時的運動速度成正比。 由於引入了空氣阻力，因此我們代入到牛頓第二運 動定律的力的大小就必須扣除掉空氣阻力，而速度 又為軌跡方程式的一次微分，因此我們的加速度 其中 為黏滯係數

28 有阻力時單位圓上 n 點的庫倫電力關係矩陣 A 2 (2n,1) A 2 (2n,1) = = 其中 、 、 … 、 為 、 、 … 、 ； 、 、 … 、 為 、 、 … 、 的一次微分； 為黏滯係數

29 有阻力時單位球上 n 點的庫倫電力關係矩陣 B 2 (4n,1) B 2 (4n,1)= = 其中 、 、 … 、 分別為 、 、 … 、 ； 、 、 … 、 分別為 、 、 … 、 ； 、 、 … 、 分別為 、 、 … 、 的一次微分； 、 、 … 、 分別為 、 、 … 、 的一次微分。 為黏滯係數

30 模擬方式 利用計算機並使用 Fourth Order Runge-Kutta Subroutine 來模擬 當給予 A 2 (2n,1) 及 B 2 (4n ， 1) 任意的 起始條件時，經過計算機的運算， 觀察停止時點的分佈情形。

31 起始點的取法 在二維空間上，只須隨機且均勻的 灑點在圓上便可，且我們點的初始 速度設為 0 。 在三維空間上，使用 Marsaglia 提出 的一個找到單位球面上隨機且又均 勻分佈的點座標方法，且我們點的 初始速度設為 0 。

32 補充說明 由於我們之前所說的 distribution D 為在 球面上的點集合，在二維空間上則為圓 上的點集合，我們所說的 covered surface 則由切平面所掃過的面積變成了 切線所掃過的弧長，則 distribution coverage 就由表面積的加總變成了弧長 的相加總。

33 二維空間 點數圖形 DistributionIdeal distribution 2 圖 2d-2 Yes 3 圖 2d-3 Yes 4 圖 2d-4 Yes 5 圖 2d-5 Yes ……… n 圖 2d-2 圖 2d-3 圖 2d-4 圖 2d-5 當點數為 2 時為直徑的兩端點。 當點數大於 2 時的結構都是正多邊形。

34 三維空間 2 個點跟 3 個點 點數圖形 DistributionIdeal distribution 2 圖 3d-2 Yes 3 圖 3d-3 Yes 圖 3d-2 圖 3d-3

35 三維空間 4 個點 點數圖形 DistributionIdeal distribution 4 圖 3d-4.1 No 4 圖 3d-4.2 Yes 圖 3d-4.1 圖 3d-4.2

36 三維空間 5 個點 點數圖形 DistributionIdeal distribution 5 圖 3d-5.1 No 5 圖 3d Unknown 5 圖 3d-5.3 No 圖 3d-5.1 圖 3d-5.2 圖 3d-5.3

37 平衡結構 當我們球形小珠停止運動時，我 們就可以說其結構是平衡結構。 如何判定那一個結構比較平衡 ? 電位能越小越平衡 球形小珠在運動時，由於空氣阻力的影響造成 能量喪失因而速度越來越慢，到最後球形小珠 將無法移動。此時也由於沒有速度，故此時的 動能為 0 ，則剩下的能量則為電位能。

38 總電位能 n 個點在平面上達到平衡結構時 的總電位能 = n 個點在球面上達到平衡結構時 的總電位能 =

39 三維空間總整理 點數圖形 DistributionIdeal distribution 總電位能 2 圖 3d-2 Yes1 3 圖 3d-3 Yes 圖 3d-4.1 No 圖 3d-4.2 Yes 圖 3d-5.1 No 圖 3d Unknown 圖 3d-5.3 No 圖 3d-2 圖 3d-3 圖 3d-4.1 圖 3d-4.2 圖 3d-5.1 圖 3d-5.2 圖 3d-5.3 機率次數 100 % % % % 99.2 % % 0 %

40 結論 1 、在二維空間上，我們的模型很漂亮的跑出來了 我們所預期的結果，也因而知道了我們模型在 二維空間上的可用性。 2 、在三維空間上，當點數是 2 、 3 、 4 時很順利的跑 出了 ideal distribution 的結構，但由於在 5 點以上 的相關證明尚未完成，所以不知道我們的模型是 否適合 5 點之上，只能說我們提供了一些可能性 的結構。 3 、當我們去比較相同點數時各種平衡結構的總電位 能的大小，發現若是總電位能值越小，這種結構 越是平衡且出現的機率越大。

41 尚待解決的問題 及未來方向 1 、 想辦法證明出 5 點以上的 Ideal Distri- bution 結構。 2 、 當我們的點數大於三點以上，會產生一 種以上的結構，一但當點數一多， 我們便 沒辦法知道到底有多少種平衡的結構體。 因此我們便要想辦法去知道在我們的模型 中到底有多少種的平衡情況。

42 Ending