中華大學九十三學年度第二學期 工程數學 ( 二 ) 網路輔助教學教材 製作人：土木系呂志宗副教授 修訂

一、使用需知 請讀者先執行本 PowerPoint 檔案。 請讀者先執行本 PowerPoint 檔案。 點選按鈕後會執行 PDF 檔案或 Flash 檔案， 檔案業已經過防毒軟體掃瞄，敬請安心使 用。關掉 PDF 檔案或 Flash 檔案後，即會回 到 PowerPoint 畫面。 點選按鈕後會執行 PDF 檔案或 Flash 檔案， 檔案業已經過防毒軟體掃瞄，敬請安心使 用。關掉 PDF 檔案或 Flash 檔案後，即會回 到 PowerPoint 畫面。 有任何疑問，請電 (03) 找研究生 助教協助解決，或以電郵 通知本人，謝謝您！ 有任何疑問，請電 (03) 找研究生 助教協助解決，或以電郵 通知本人，謝謝您！

二、製作原則 專業 + 創意 + 趣味 專業 + 創意 + 趣味 「專業」使學生能學得工程數學上的知識！ 「專業」使學生能學得工程數學上的知識！ 「創意」使教材製作與教學方法不斷創新， 使教學更有成效！ 「創意」使教材製作與教學方法不斷創新， 使教學更有成效！ 「趣味」使枯燥乏味的工程數學之學習變得 有趣，讓學生能夠樂於學習！ 「趣味」使枯燥乏味的工程數學之學習變得 有趣，讓學生能夠樂於學習！

三、作業 1-12( 含解答 ) 作業 1 作業 1 作業 2 作業 2 作業 3 作業 3 作業 4 作業 4 作業 5 作業 5 作業 6 作業 6 作業 7 作業 7 作業 8 作業 8 作業 9 作業 9 作業 10 作業 10 作業 11 作業 11 作業 12 作業

四、工程數學 ( 二 ) 之 100 個提要 後面內容為所建立之工程數學 ( 二 ) 的 100 個提要， 希能以小單元式的介紹，縮短學習時間，吸引學 生進行學習。 後面內容為所建立之工程數學 ( 二 ) 的 100 個提要， 希能以小單元式的介紹，縮短學習時間，吸引學 生進行學習。 本教材是接續「工程數學 ( 一 )100 個提要」所製作 之後續教材，故提要之編號是由提要 101 編列至提 要 200 。 本教材是接續「工程數學 ( 一 )100 個提要」所製作 之後續教材，故提要之編號是由提要 101 編列至提 要 200 。 提要 、提要 分別是 Laplace 轉換公 式與特徵根等公式的介紹，為加深修課同學的印 象，並且能夠將公式記下來，故均有製作公式提 示之有趣小動畫，此亦為本輔助教材最大特色之 一。 提要 、提要 分別是 Laplace 轉換公 式與特徵根等公式的介紹，為加深修課同學的印 象，並且能夠將公式記下來，故均有製作公式提 示之有趣小動畫，此亦為本輔助教材最大特色之 一。

提要 101~110 提要 101 ：認識何謂冪級數 (Power Series) ？ 提要 101 ：認識何謂冪級數 (Power Series) ？ 提要 102 ：認識 Maclaurin 級數 提要 102 ：認識 Maclaurin 級數 提要 103 ：認識幾何級數 (Geometric Series) 提要 103 ：認識幾何級數 (Geometric Series) 提要 104 ：一階 ODE 之冪級數解法 提要 104 ：一階 ODE 之冪級數解法 提要 105 ：二階 ODE 之冪級數解法 提要 105 ：二階 ODE 之冪級數解法 提要 106 ：認識級數解法之專有名詞 提要 106 ：認識級數解法之專有名詞 提要 107 ：認識級數解之收斂半徑的解法 ( 一 ) 提要 107 ：認識級數解之收斂半徑的解法 ( 一 ) 提要 108 ：認識級數解之收斂半徑的解法 ( 二 ) 提要 108 ：認識級數解之收斂半徑的解法 ( 二 ) 提要 109 ：級數之下標平移原則 提要 109 ：級數之下標平移原則 提要 110 ：冪級數解之運算規則 提要 110 ：冪級數解之運算規則

提要 111~120 提要 111 ：冪級數解之存在性定理 提要 111 ：冪級數解之存在性定理 提要 112 ：實數解析函數之定義 提要 112 ：實數解析函數之定義 提要 113 ： Legendre 方程式之定義 提要 113 ： Legendre 方程式之定義 提要 114 ：那一類問題與 Legendre 方程式有關？ 提要 114 ：那一類問題與 Legendre 方程式有關？ 提要 115 ： Legendre 方程式的解析 提要 115 ： Legendre 方程式的解析 提要 116 ： Legendre 多項式 P n (x) 的推導 提要 116 ： Legendre 多項式 P n (x) 的推導 提要 117 ：與 Legendre 多項式 P n (x) 有關之公式 提要 117 ：與 Legendre 多項式 P n (x) 有關之公式 提要 118 ： Frobenius 解法簡介 提要 118 ： Frobenius 解法簡介 提要 119 ：正規點與奇異點之定義 提要 119 ：正規點與奇異點之定義 提要 120 ： Indicial 方程式的推導 提要 120 ： Indicial 方程式的推導

提要 121~130 提要 121 ： Frobenius 解法 --- 案例 1 ， r 1  r 2 ， r 1  r 2  整數 提要 121 ： Frobenius 解法 --- 案例 1 ， r 1  r 2 ， r 1  r 2  整數 提要 122 ： Frobenius 解法 --- 案例 2 ， r 1 = r 2 = r 提要 122 ： Frobenius 解法 --- 案例 2 ， r 1 = r 2 = r 提要 123 ： Frobenius 解法 --- 案例 3(a) ， r 1  r 2 ， r 1  r 2 = 整數， 提要 123 ： Frobenius 解法 --- 案例 3(a) ， r 1  r 2 ， r 1  r 2 = 整數， 通解不含 ln x 項 通解不含 ln x 項 提要 124 ： Frobenius 解法 --- 案例 3(b) ， r 1  r 2 ， r 1  r 2 = 整數， 提要 124 ： Frobenius 解法 --- 案例 3(b) ， r 1  r 2 ， r 1  r 2 = 整數， 通解含 ln x 項 通解含 ln x 項 提要 125 ：貝色方程式 (Bessel Equation) 之定義 提要 125 ：貝色方程式 (Bessel Equation) 之定義 提要 126 ：那一類問題與貝色方程式 (Bessel Equation) 有關？ 提要 126 ：那一類問題與貝色方程式 (Bessel Equation) 有關？ 提要 127 ：貝色方程式 (Bessel Equation) 所對應之 Indicial 方程式 提要 127 ：貝色方程式 (Bessel Equation) 所對應之 Indicial 方程式 提要 128 ： Frobenius 解法在 Bessel 方程式的應用 --- 提要 128 ： Frobenius 解法在 Bessel 方程式的應用 --- 案例 1 ， r 1  r 2 ， r 1  r 2  整數 案例 1 ， r 1  r 2 ， r 1  r 2  整數 提要 129 ： Frobenius 解法在 Bessel 方程式的應用 --- 提要 129 ： Frobenius 解法在 Bessel 方程式的應用 --- 案例 2 ， r 1 = r 2 = 0 ，通解含 ln x 項 ( = 0) 案例 2 ， r 1 = r 2 = 0 ，通解含 ln x 項 ( = 0) 提要 130 ： Frobenius 解法在 Bessel 方程式的應用 --- 案例 3(a) ， r 1  r 2 ， 提要 130 ： Frobenius 解法在 Bessel 方程式的應用 --- 案例 3(a) ， r 1  r 2 ， r 1  r 2 = 整數，通解不含 ln x 項 ( = 1/2, 3/2,...,1, 2, …) r 1  r 2 = 整數，通解不含 ln x 項 ( = 1/2, 3/2,...,1, 2, …)

提要 131~140 提要 131 ： Gamma 函數之定義 提要 131 ： Gamma 函數之定義 提要 132 ： Gamma 函數之函數值及特殊關係 提要 132 ： Gamma 函數之函數值及特殊關係 提要 133 ：各種類型之 Bessel 函數的定義 提要 133 ：各種類型之 Bessel 函數的定義 提要 134 ：貝色方程式 (Bessel Equation) 之通解 提要 134 ：貝色方程式 (Bessel Equation) 之通解 提要 135 ： Bessel 函數之基本微分關係式 提要 135 ： Bessel 函數之基本微分關係式 提要 136 ：貝色函數 (Bessel Function) 之各種基本關係式 提要 136 ：貝色函數 (Bessel Function) 之各種基本關係式 提要 137 ： Hankel 轉換之定義 提要 137 ： Hankel 轉換之定義 提要 138 ：與 Fourier-Bessel 級數有關之基本積分式 提要 138 ：與 Fourier-Bessel 級數有關之基本積分式 提要 139 ：與 Bessel 函數有關之基本積分式 提要 139 ：與 Bessel 函數有關之基本積分式 提要 140 ：與 Bessel 函數有關之進階積分式 提要 140 ：與 Bessel 函數有關之進階積分式

提要 141~150 ( 含動畫提示 ) 提要 141 ： Hankel 轉換之應用 提要 141 ： Hankel 轉換之應用 提要 142 ： Laplace 積分轉換與反轉換之定義的由來 提要 142 ： Laplace 積分轉換與反轉換之定義的由來 提要 143 ： Laplace 積分轉換方法的主要用途 提要 143 ： Laplace 積分轉換方法的主要用途 提要 144 ：應用 Laplace 積分轉換方法時所可能遭遇的瓶頸 提要 144 ：應用 Laplace 積分轉換方法時所可能遭遇的瓶頸 提要 145 ： Laplace 積分轉換方法與複變分析有什麼關係？ 提要 145 ： Laplace 積分轉換方法與複變分析有什麼關係？ 提要 146 ： Laplace 積分轉換之存在性定理與線性相加定理 提要 146 ： Laplace 積分轉換之存在性定理與線性相加定理 提要 147 ：常數 1 之 Laplace 積分轉換 提要 147 ：常數 1 之 Laplace 積分轉換 提要 148 ：函數 t 之 Laplace 積分轉換 提要 148 ：函數 t 之 Laplace 積分轉換 提要 149 ：函數 t 2 之 Laplace 積分轉換 提要 149 ：函數 t 2 之 Laplace 積分轉換 提要 150 ：函數 t n 之 Laplace 積分轉換 提要 150 ：函數 t n 之 Laplace 積分轉換

提要 151~160 ( 含動畫提示 ) 提要 151 ：函數 exp(at) 之 Laplace 積分轉換 提要 151 ：函數 exp(at) 之 Laplace 積分轉換 提要 152 ：函數 cosh(at) 之 Laplace 積分轉換 提要 152 ：函數 cosh(at) 之 Laplace 積分轉換 提要 153 ：函數 sinh(at) 之 Laplace 積分轉換 提要 153 ：函數 sinh(at) 之 Laplace 積分轉換 提要 154 ：函數 cos(at) 之 Laplace 積分轉換 提要 154 ：函數 cos(at) 之 Laplace 積分轉換 提要 155 ：函數 sin(at) 之 Laplace 積分轉換 提要 155 ：函數 sin(at) 之 Laplace 積分轉換 提要 156 ：函數 f’(t) 之 Laplace 積分轉換 提要 156 ：函數 f’(t) 之 Laplace 積分轉換 提要 157 ：函數 f”(t) 之 Laplace 積分轉換 提要 157 ：函數 f”(t) 之 Laplace 積分轉換 提要 158 ：函數 f (n) (t) 之 Laplace 積分轉換 提要 158 ：函數 f (n) (t) 之 Laplace 積分轉換 提要 159 ：單位階梯函數 u(t  a) 之 Laplace 積分轉換 提要 159 ：單位階梯函數 u(t  a) 之 Laplace 積分轉換 提要 160 ： Dirac’s delta 函數  (t  a) 之 Laplace 積分轉換 提要 160 ： Dirac’s delta 函數  (t  a) 之 Laplace 積分轉換

提要 161~170 ( 含動畫提示 ) 提要 161 ：函數 e at f(t) 之 Laplace 積分轉換 提要 161 ：函數 e at f(t) 之 Laplace 積分轉換 提要 162 ：函數 f(t  a)u(t  a) 之 Laplace 積分轉換 提要 162 ：函數 f(t  a)u(t  a) 之 Laplace 積分轉換 提要 163 ：迴積分定理 (Convolution Theorem) 提要 163 ：迴積分定理 (Convolution Theorem) 提要 164 ：函數 tf(t) 之 Laplace 積分轉換 提要 164 ：函數 tf(t) 之 Laplace 積分轉換 提要 165 ：函數 tf’(t) 之 Laplace 積分轉換 提要 165 ：函數 tf’(t) 之 Laplace 積分轉換 提要 166 ：函數 tf”(t) 之 Laplace 積分轉換 提要 166 ：函數 tf”(t) 之 Laplace 積分轉換 提要 167 ：函數 f(t)/t 之 Laplace 積分轉換 提要 167 ：函數 f(t)/t 之 Laplace 積分轉換 提要 168 ： Laplace 積分轉換公式整理 提要 168 ： Laplace 積分轉換公式整理 提要 169 ： Leibnitz 定則之證明 提要 169 ： Leibnitz 定則之證明 提要 170 ： Leibnitz 定則之應用 提要 170 ： Leibnitz 定則之應用 4

提要 171~180 提要 171 ：單位階梯函數 u(t  a) 在工程上的應用 提要 171 ：單位階梯函數 u(t  a) 在工程上的應用 提要 172 ： Dirac’s delta 函數  (t  a) 在工程上的應用 提要 172 ： Dirac’s delta 函數  (t  a) 在工程上的應用 提要 173 ：包含單位階梯函數之數學模式的解 (I) 提要 173 ：包含單位階梯函數之數學模式的解 (I) 提要 174 ：包含單位階梯函數之數學模式的解 (II) 提要 174 ：包含單位階梯函數之數學模式的解 (II) 提要 175 ：包含 Dirac’s delta 函數之數學模式的解 提要 175 ：包含 Dirac’s delta 函數之數學模式的解 提要 176 ： Laplace 轉換公式 L{tf(t)} =  dF(s)/ds 等的應用 (I) 提要 176 ： Laplace 轉換公式 L{tf(t)} =  dF(s)/ds 等的應用 (I) 提要 177 ： Laplace 轉換公式 L{tf(t)} =  dF(s)/ds 等的應用 (II) 提要 177 ： Laplace 轉換公式 L{tf(t)} =  dF(s)/ds 等的應用 (II) 提要 178 ：週期為 p 之函數 f(t) 的 Laplace 積分轉換 提要 178 ：週期為 p 之函數 f(t) 的 Laplace 積分轉換 提要 179 ：週期為 p 之函數 f(t) 的 Laplace 積分轉換的應用 提要 179 ：週期為 p 之函數 f(t) 的 Laplace 積分轉換的應用 提要 180 ：函數 f’(t) 與 f”(t) 之 Laplace 積分轉換公式的應用 提要 180 ：函數 f’(t) 與 f”(t) 之 Laplace 積分轉換公式的應用

提要 181~190 提要 181 ：函數 f (n) (t) 之 Laplace 積分轉換公式的應用 提要 181 ：函數 f (n) (t) 之 Laplace 積分轉換公式的應用 提要 182 ：應用 Laplace 轉換方法解析聯立常微分方程式 提要 182 ：應用 Laplace 轉換方法解析聯立常微分方程式 提要 183 ：題目給 t  0 之初始條件時的 Laplace 轉換解析 提要 183 ：題目給 t  0 之初始條件時的 Laplace 轉換解析 提要 184 ： Laplace 反轉換的挑戰 - 迴積分定理的應用 提要 184 ： Laplace 反轉換的挑戰 - 迴積分定理的應用 提要 185 ： Laplace 積分轉換方法與傳統解法的比較 提要 185 ： Laplace 積分轉換方法與傳統解法的比較 提要 186 ：學習線性代數的目的 提要 186 ：學習線性代數的目的 提要 187 ：線性代數的專有名詞 提要 187 ：線性代數的專有名詞 提要 188 ：矩陣之加法的運算規則 提要 188 ：矩陣之加法的運算規則 提要 189 ：矩陣之乘法的運算規則 提要 189 ：矩陣之乘法的運算規則 提要 190 ：矩陣之純量乘積的運算規則 提要 190 ：矩陣之純量乘積的運算規則

提要 191~200 ( 含動畫提示 ) 提要 191 ：以高斯消去法解析聯立線性代數方程式 提要 191 ：以高斯消去法解析聯立線性代數方程式 提要 192 ：以高斯 - 喬登消去法求反矩陣 提要 192 ：以高斯 - 喬登消去法求反矩陣 提要 193 ：以伴隨矩陣法求反矩陣 提要 193 ：以伴隨矩陣法求反矩陣 提要 194 ：行列式的計算 提要 194 ：行列式的計算 提要 195 ：行列式的基本性質 提要 195 ：行列式的基本性質 提要 196 ：矩陣的特徵根與特徵向量 提要 196 ：矩陣的特徵根與特徵向量 提要 197 ：矩陣的對角化 提要 197 ：矩陣的對角化 提要 198 ：矩陣 A m 之計算方式 提要 198 ：矩陣 A m 之計算方式 提要 199 ：矩陣的秩 (Rank) 提要 199 ：矩陣的秩 (Rank) 提要 200 ：期末考試題及其解答 提要 200 ：期末考試題及其解答

五、感言與誌謝 本輔助教材雖經授課老師多次校閱，一定 還是會出現打字等錯誤，敬祈使用者不吝 賜教，感激不盡。 本輔助教材雖經授課老師多次校閱，一定 還是會出現打字等錯誤，敬祈使用者不吝 賜教，感激不盡。 感謝中華大學提供經費支持本教材之完成！ 感謝中華大學提供經費支持本教材之完成！

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