דוגמאות נוספות לאוסילציות לא לינאריות אלגריסי גיל 6.5.09

נושאי הדיון: חקירת אוסילציות לא לינאריות בפלסמה חקירת אוסילציות בבור פוטנציאל אינסופי

פלזמה באופיה היא גז מיונן. פלזמה נחשבת למצב צבירה לכשעצמה, בניגוד לגז בגלל תכונותיה הייחודיות. והחומר הוא אוסף של יונים ואלקטרונים שאינם מחוברים זה לזה. בדרך כלל היא נוצרת על ידי חימום ויינון של גז, בהפשטת אלקטרונים מהאטומים, ועל ידי כך מתאפשר למטענים החיוביים והשליליים לנוע בחופשיות רבה יותר.

דוגמאות נפוצות לפלסמה: ברק, רוח השמש, נורות פלואורוסנט, כוכבים וכדור הארץ שמוקף כולו בפלסמה הלכודה בשדה המגנטי שלו(aurora).

תיאור מתמטי של פלסמה: נתייחס למקרה חד מימדי ולהנחה שמסת היונים אינסופית. נגדיר: צפיפות אלקטרונית מהירות אלמנט פלסמה הפוטנציאל האלקטרוסטטי הרגעי ננרמל את הקבועים משוואת כוחות(ניוטון): משוואה 1 :

נדרוש את קיום משוואת הרציפות : משוואה 2 : נדרוש את קיום משוואת פואסון: משוואה 3 : הינן פונקציות של: נניח: כמו כן נניח: ללא הפרעה

נקבל:

ממשוואת הכוחות נקבל: ממשוואת פואסון נקבל: נגדיר משתנה חדש:

מכאן נוכל להרכיב את ההמילטוניאן לגז הפלסמה שלנו: נחקור את הפוטנציאל האפקטיבי על מנת להבין את התנועה: Stady state:

לכן: , תנועה אליפטית מבצע אוסילציות מבצע אוסילציות וחסום

נסתכל על מרחב הפאזה: הבהרה: על פי הדיון בכיתה התברר שהתמונה בספר הינה הפוכה קרי נקודה 4 צריכה להיות בראשית הצירים

כעת על מנת לפתור את ההמילטוניאן נגדיר משתנה חדש ופונקציה חדשה: ונקבל: מתוך הגדרת קיבלנו משוואה עבור

ננחש פיתרון: (ניחוש מושכל ע"פ כך ש עצמו מבצע אוסילציות) קיבלנו פונקציה מחזורית קוסנוסואידלית ולכן גם יבצע תנודות מחזוריות קוסנוסואידליות

נמצא את נקודות האקסטרימום: נחשב את זמן המחזור: אין תלות של התדירות באנרגיה תדירות האוסילציות הינה קבועה

מכאן נקבל שבסביבת הספרטריצה: (עבור X קבוע) נקודות האקסטרימום: על הספרטריצה

נמצא את ספקטרום האוסילציות: נבצע החלפת משתנים ע"י: N מתאר את רמת ההתקרבות לספרטריצה Cut off אקספוננציאלי

אוסילציות בבור פוטנציאל אינסופי: תלות של התדירות באנרגיה תלות של התדירות בפעולה

אוסילציות לא ליניאריות אין !!!! cut off כל ההרמוניות חשובות . אין מספר N קרקטריסטי הקובע את רוחב הספקטרום זאת כתוצאה מהמצאות סינגולריות מחזורית לאורך ציר הזמן המאפיינת את הכוח הפועל על החלקיק.

דברי סיכום: רוב היקום מורכב מפלסמה ומתוך הטיפול התיאורטי שלנו ניתן לעמוד על השכיחות והחשיבות של תופעת האוסילציות הלא לינאריות בטבע ועל ההתנהגות הלא לניארית הנפוצה ביקום,לצד החשיבות של ההבנה של תופעה זאת לשם היישומיים הטכנולוגיים החשובים של הפלסמה. גם במקרה פשוט לכאורה כמו של חלקיק בבור פוטנציאל אינסופי ניתן לראות התנהגות של אוסילציות לא לינאריות דבר המעיד על החשיבות והשכיחות היחסית של תופעה זאת.

על מנת לצפות באנימציה יש לבחור בSLIDE SHOW -!!!!!!!!!!! תודה על ההקשבה!!!!!! על מנת לצפות באנימציה יש לבחור בSLIDE SHOW -!!!!!!!!!!!

נספח:תדירות הפלסמה אם נתייחס לאלמנט נפח חד מימדי בתווך הפלסמה ומתוך הנחה שבזמן התחלתי סך הכוחות על האלמנט הינו אפס,ונבצע העתקה אינפיניטסימלית נקבל מכל צד של הנפח צפיפות מטען של: קטע זה לא הועבר בהרצאה מפאת קוצר זמן והוא נועד לתת תחושה פיסיקלית למקור האוסילציות בפלסמה חוק ניוטון לחלקיק בתוך האלמנט: תדירות הפלסמה: