1 Formal Specifications for Complex Systems (236368) Tutorial #1 Course site : T.A. :Emilia Katz Reception hours: Tuesday 16:00 – 17:00 Taub 641

2 General Information The course is about: Formally expressing requirements -Statements, not proofs Homework submission: In pairs -From previous years experience, we recommend both partners to participate in every homework solution, in order to succeed in the exam -Formal and exact writing of the solutions is required -List all your assumptions (everything you had to assume for your solution) -There might be one “wet” homework No midterm exam. Recommendation: solve midterm exams from previous years before the final exam מפרטים פורמאליים - תירגול שחר דג

3 I/O Assertions Content What are I/O Assertions? What do I/O Assertions mean? Translating verbal properties into logic expression. Annotated programs. Using “logical” and “auxiliary” variables. Examples. Assertion – טענה יכולה להיות נכונה או שגויה מפרטים פורמאליים - תירגול שחר דג

4 An I/O specification defines the set of admissible initial states, and for each initial state, the final states reachable by terminating computations. Termination must be specified separately. Used mainly to specify transformational programs. We can express I/O specifications by attaching a logical expression about the system variables, both at the beginning and at the end of the program’s execution. The assertion at the beginning defines the admissible initial values of the variables, and the one at the end defines a relationship between the final values and the initial ones. What are I/O Assertions מפרטים פורמאליים - תירגול שחר דג

5 Some notations are used: (1)x=0, and x’=x+1 for some program S (2) (3) The last 2 examples are called “Hoare assertion”. In flowcharts the assertion are added after the “START” and before the “END” statements. What are I/O Assertions (cont.) זוהי לוגיקה ולכן מדובר בשוויון ולא בהצבה Hoare נלמד במבוא לאימות תוכנה (לא לדאוג, לא נעסוק באימות) יתרון מודולאריות S1 S2 שקול ל S1;S2 שקול ל S כאשר S הוא S1 שלאחריו מתבצע S2 מפרטים פורמאליים - תירגול שחר דג

6 What do I/O assertions mean Initial assertions are assumptions made by the program, to be satisfied by the environment. Final assertions are requirements to be satisfied by the program, if and when it terminates. Every terminating computation that satisfies the initial assertion when it starts, must satisfy the final assertion if it terminates. Non-terminating computations and computations not satisfying the initial assertion, satisfy the I/O specification “vacuously”. This is called partial correctness and it is a kind of safety property. Partial correctness is safety since it guaranties that if something happens (the program ends) then the condition is true. מפרטים פורמאליים - תירגול שחר דג

7 Expressing properties with I/O assertions We restrict ourselves to first-order logic and common mathematical notation. Sometimes certain (well known / standard) predicates can be left undefined ( for example integer(x) ). Look at the following specification (4) What does it specify? Which programs satisfy this specification? מפרטים פורמאליים - תירגול שחר דג

8 Annotated programs Sometimes a program skeleton is provided, with assertions between statements. Each assertion, called a local invariant and it is supposed to hold whenever the program’s control is at this location. The assertions immediately before and after a statement (usually a place- holder for un-implemented code) are its I/O specification. The implementation can be shown to satisfy the original specification by using a proof method for correctness based on axioms and proof rules. (but in this course we are not going to prove correctness) For example Is an instance of the axiom And an example of a proof rule the meaning of ‘;’ מפרטים פורמאליים - תירגול שחר דג

9 Using logical variables Variables that appear only in the assertions are called “logical variables” (also called “ rigid variables ” or “ specification variables ”). (Sometimes in order to specify a property, we need variables not present in the program.) Their value doesn’t change during the execution of the program. A logical value just represents some value, and can be quantified (with  or  ) We saw logical variables in: (2) - (3) - X (4) - X מפרטים פורמאליים - תירגול שחר דג

10 Using auxiliary variables We may add to a program “auxiliary variables” (new variables) and statements that assign them values, to support the specification. For example: we might add a Boolean variable flag (initialized to false ) to remember that a certain event has occurred, together with an assignment flag := true at the point where the event occurs. Auxiliary variables get their values only in the added assignment statements, which don’t affect the original system variables. The only references to auxiliary variables must be in the added assignment and in assertions within the annotation of the program. מפרטים פורמאליים - תירגול שחר דג

11 דוגמאות – דוגמא מספר 1 מה הוא אוסף התוכניות שמקימות את המפרט: { true } S { false } מפרטים פורמאליים - תירגול שחר דג

12 דוגמאות – דוגמא מספר 2 יש להגדיר בעזרת לוגיקה את הפרדיקט prime(x) מפרטים פורמאליים - תירגול שחר דג

13 דוגמאות – דוגמא מספר 3 יש להגדיר בעזרת לוגיקה וסימוני קבוצות, את קבוצת כל המספרים הראשוניים שאינם גדולים מ x primes_upto(x) איך פותרים את אותה הבעיה בעזרת לוגיקה בלבד? מפרטים פורמאליים - תירגול שחר דג

14 דוגמאות – דוגמא מספר 4 יש לתת מפרט שיביע מניעה הדדית בין שני קטעים קריטיים (cs1, cs2) בתוכנית המקבילית הבאה (רמז: העזר ב auxiliary variables) P1 CS1 P2 CS2 P :: P1 || P2 מפרטים פורמאליים - תירגול שחר דג

15 דוגמאות – דוגמא מספר 5 תן מפרט קלט/פלט לפרוצדורה P המקבלת מספר טבעי n ומחזירה מספר טבעי m ומערך a[1..m] המכיל את כל המספרים הראשוניים שאינם גדולים מ n (אבל לא מכיל אף מספר אחר). כל מספר יופיע במערך בדיוק פעם אחת. מפרטים פורמאליים - תירגול שחר דג

16 דוגמאות – דוגמא מספר 5 (המשך) תיאור אלטרנטיבי יהיה: מפרטים פורמאליים - תירגול שחר דג

17 דוגמאות – שעשועי לוגיקה הגדר בעזרת לוגיקה את המשפט: "לכל אדם יש אב" בצורה דומה נגדיר בעזרת לוגיקה את המשפט: "לכל אדם יש אם אנושית" איך נגדיר כי לכל אדם אב ואם אנושיים הנשואים זה לזו. מפרטים פורמאליים - תירגול שחר דג