1 4.2 自来水输送与货机装运 钢铁、煤炭、水电等生产、生活物资 从若干供应点运送到一些需求点，怎样安 排输送方案使运费最小，或者利润最大 ? 各种类型的货物装箱，由于受体积、重量 等的限制，如何相互搭配装载，使获利最 高，或者装箱数量最少 ? 本节将通过两个 例子讨论用数学规划模型解决这类问题的 方法.

2 例 1 自来水输送问题 问题 某市有甲、乙、丙、丁四个居民区， 自来水由 A ， B ， C 三个水库供应. 四个区每天必 须得到保证的基本生活用水量分别为 30 ， 70 ， 10 ， 10 千吨，但由于水源紧张，三个水库每天 最多只能分别供应 50 ， 60 ， 50 千吨自来水. 由于 地理位置的差别，自来水公司从各水库向各区 送水所需付出的引水管理费不同 ( 见表 1 ，其中 C 水库与丁区之间没有输水管道 ) ，其他管理费用 都是 450 元／千吨. 根据公司规定，各区用户按 照统一标准 900 元／千吨收费．此外，四个区都 向公司申请了额外用水量，分别为每天 50 ， 70 ， 20 ， 40 千吨．该公司应如何分配供水量，才能 获利最多 ?

3 为了增加供水量，自来水公司正在考虑进 行水库改造，使三个水库每天的最大供水量都 提高一倍，问那时供水方案应如何改变 ? 公司 利润可增加到多少 ? 引水管理费 ( 元 / 千吨 ) 甲 乙 丙丁 A B C / 表 1 从水库向各区送水的引水管理费

4 问题分析 分配供水量就是安排从三个水库 向四个区送水的方案，目标是获利最多．而从 题目给出的数据看， A, B, C 三个水库的供水量 160 千吨，不超过四个区的基本生活用水量与 额外用水量之和 300 千吨，因而总能全部卖出 并获利，于是自来水公司每天的总收入是 900  ( ) = 元，与送水方案无关. 同样，公司每天的其它管理费用 450  ( ) = 元也与送水方案无关. 所以，要 使利润最大，只需使引水管理费最小即可. 另 外，送水方案自然要受三个水库的供应量和四 个区的需求量的限制.

5 模型建立 很明显，决策变量为 A, B, C 三个水库 (i = 1, 2, 3) 分别向甲、乙、丙、丁四个区 (j = 1, 2, 3, 4) 的供水量. 设水库 i 向 j 区的日供水量为 x ij ，由于 C 水库与丁区之间没有输水管道，即 x 34 = 0 ，因 此只有 11 个决策变量. 由上分析，问题的目标可以从获利最多转 化为引水管理费最少，于是有 Min Z = 160x x x x x x x x x x x 33 (1)

6 约束条件有两类 : 一类是水库的供应量 限制，另一类是各区的需求量限制. 由于供水量总能卖出并获利，水库的 供应量限制可以表示为 x 11 + x 12 + x 13 + x 14 = 50 (2) x 21 + x 22 + x 23 + x 24 = 60 (3) x 31 + x 32 + x 33 = 50 (4)

7 考虑到各区的基本生活用水量与额外 用水量，需求量限制可以表示为 30  x 11 + x 21 + x 31  80 (5) 70  x 12 + x 22 + x 32  140 (6) 10  x 13 + x 23 + x 33  30 (7) 10  x 14 + x 24  50 (8)

8 模型求解 (1) ~ (8) 构成一个线性规划模型 ( 当然要 加上 x ij 的非负约束 ). 输入 LINDO 求解，得 到如下输出 :

9 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) ． 00 VARIABLE VALUE REDUCED COST X X X X X X X X X X X

10 ( 注： REDUCED COST 为各变量下界 约束的影子价格. 例如对 X11 ，若其下界从 0 提高到  ，则目标 Z 的最优值会提高 30  ， 其 “ 价格 ” 为 30  /  = 30.) 送水方案为 : A 水库向乙区供水 50 千吨， B 水库向乙、丁区分别供水 50, 10 千吨， C 水库向甲、丙分别供水 40, 10 千吨. 引水管 理费为 元. 利润为   = 元．

11 讨论 如果 A, B, C 三个水库每天的最大供水量都提 高一倍，则公司总供 水能力为 320 千吨，大于总需求 量 300 千吨，水库供水量不能全部卖出，因而不能像 前面那样，将获利最多转化为引水管理费最少. 此时 我们首先需要计算 A, B, C 三个水库分别向甲、乙、丙、 丁四个区供应每千吨水的净利润，即从收入 900 元中 减去其它管理费 450 元，再减去表 1 中的引水管理费， 得表 2 ． 净利润 ( 元 / 千吨 ) 甲乙丙丁 A B C / 表 2 从水库向各区送水的净利润

12 于是决策目标为 Max Z = 290x x x x l x x x x x x x 33 (9) 由于水库供水量不能全部卖出，所以上面约束 (2) ～ (4) 的右端增加一倍的同时，应将等号改成小于、 等于号，即 x 11 + x 12 + x 13 + x 14  100 (10) x 21 + x 22 + x 23 + x 24  120 (11) x 31 + x 32 + x 33  100 (12) 约束 (5) ～ (8) 不变．将 (5) ～ (12) 构成的线性规划 模型输入 LINDO 求解得到 :

13 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) VARIABLE VALUE REDUCED COST X X X X X X X X X X X

14 送水方案为： A 水库向乙区供水 100 千 吨， B 水库向甲、乙、丁区分别供水 30, 40, 50 千吨， C 水库向甲、丙区分别供水 50 ， 30 千吨．总利润为 元． 其实，由于每个区的供水量都能完全 满足，所以上面 (5) ～ (8) 每个式子左边的约 束可以去掉，右边的小于、等于号可以改 写成等号. 作这样的简化后得到的解没有 任何变化.

15 评注 本题考虑的是将某种物质从若干供 应点运往一些需求点，在供需量约束条件 下使总费用最小，或总利润最大. 这类问 题一般称为运输问题，是线性规划应用最 广泛的领域之一. 在标准的运输问题中， 供需量通常是平衡的，即供应点的总供应 量等于需求点的总需求量. 本题中供需量 不平衡，但这并不会引起本质的区别，一 样可以方便地建立线性规划模型求解.

16 例 2 货机装运 问题 某架货机有三个货舱：前仓、中仓、 后仓. 三个货舱所能装载的货物的最大重量和 体积都有限制，如表 3 所示. 并且，为了保持 飞机的平衡，三个货舱中实际装载货物的重 量必须与其最大容许重量成比例. 前仓中仓后仓 重量限制 ( 吨 ) 体积限制 ( 米 3 ) 表 3 三个货仓装载货物的最大允许重量和体积

17 现有四类货物供该货机本次飞行装运， 其有关信息如表 4 ，最后一列指装运后所获 得的利润. 重量 ( 吨 ) 空间 ( 米 3 / 吨 ) 利润 ( 元 / 吨 ) 货物 货物 货物 货物 表 4 四类装运货物的信息 应如何安排装运，使该货机本次飞行获 利最大 ?

18 模型假设 问题中没有对货物装运提出其它要求， 我们可作如下假设： 1) 每种货物可以分割到任意小； 2) 每种货物可以在一个或多个货舱中任意分布； 3) 多种货物可以混装，并保证不留空隙。 模型建立 决策变量：用 x ij 表示第 i 种货物装入第 j 个货舱的重 量 ( 吨 ) ，货舱 j = l, 2, 3 分别表示前仓、中仓、后仓. 决策目标是最大化总利润，即 Max Z = 3100(x 11 + x 12 + x 13 ) (x 21 + x 22 + x 23 ) (x 3l + x 32 + x 33 ) (x 41 + x 42 + x 43 ) (13)

19 约束条件包括以下 4 个方面： 1) 供装载的四种货物的总重量约束，即 x 11 + x 12 + x 13  18 (14) x 21 + x 22 + x 23  15 (15) x 31 + x 32 + x 33  23 (16) x 41 + x 42 + x 43  12 (17) 2) 三个货舱的重量限制，即 x 11 + x 21 + x 31 + x 41  10 (18) x 12 + x 22 + x 32 + x 42  16 (19) x 13 + x 23 + x 33 + x 43  8 (20)

20 3) 三个货舱的空间限制，即 480x x 2l + 580x x 41  6800 (21) 480x x x x 42  8700 (22) 480x x x x 43  5300 (23) 4) 三个货舱装入重量的平衡约束，即

21 模型求解 将以上模型输入 LINDO 求解，可以得 到： OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1)

22 VARIABLE VALUE REDUCED COST X X X X X X X X X X X X

23 实际上，不妨将所得最优解作四舍五入， 结果为货物 2 装入前仓 10 吨、装入后仓 5 吨；货 物 3 装人中仓 13 吨、装入后仓 3 吨；货物 4 装人 中仓 3 吨．最大利润约 元. 评注 初步看来，本例与运输问题类似， 似乎可以把 4 种货物看成 4 个供应点， 3 个货舱 看成 3 个需求点 ( 或者反过来，把货舱看成供应 点，货物看成需求点 ). 但是，这里对供需量的 限制包括两个方面：重量限制和空间限制，且 有装载均匀要求. 因此它只能看成是运输问题 的一种变形和扩展.

24 附例 1 的 matlab 程序： (n4_2ex01.m in Matlab/work) %4.2,p93,example 1, 2004/7/18 f=[ ]; % Both f=[…] or f=[…]' are OK! Aeq=[ ; ; ]; beq=[ ]';

25 A=[ ; ; ; ]; A=[A;-A]; b=[ ]; lb=zeros(11,1); [x,fval,exitflag,output,lambda]=linprog(f,A,b, Aeq,beq,lb)

26 说明： 线性规划为 min fval = f *x ( 输入时 f 为行向量或列向量都行 ) s.t A*x  b, Aeq*x = beq, lb  x  ub 设置 linprog(f, A, b, Aeq, beq, lb, ub) 中参 数时，若后面全空缺可不写，中间有空缺 时用 [] 代替，如 linprog(f, A, b, [], [],lb), linprog(f, A, b) 等. 运行后，要知道结果，则

27 x = lambda.lower = ans = fval = e+004

28 lambda.ineqlin = ans = lambda.eqlin = ans = (lambda 中为各约束的 影子价格 ) 作业：对本节的其它数值例， 用 Matlab 编程计算.