שיחזור תמונה בעזרת סופררזולוציה.

1. הקדמה. נתון אובייקט בעולם האמיתי. מטרה היא לקבל תמונה של האובייקט הנתון בגודל מסויים (L x L). לרשותינו נמצאית מצלמה באיכות ירודה, ז"א היא יכולה לצלם תמונות בגודל M x M, כאשר M < L.

העדשה של המצלמה גורמת לטישטוש של התמונה המצולמת. בנוסף לזה, לתוצאה נוסף רעש אדיטיבי אקראי. בתנאים האלה נדרש לקבל תמונה בגודל L x L ע"י ביצוע מספר צילומים של האובייקט. מצילום לצילום ניתן להזיז את המצלמה ביחס לאובייקט.

הבעייה הזאת היא בעיית סופררזולוציה.

2. בניית המודל. נתונות N תמונות Y(k), N ≥ k ≥ 1, כאשר כל אחת מהן בגודל M x M. נניח שהתמונות האלה מהוות הצגות שונות של תמונה X בגודל L x L, כאשר בדרך כלל L > M, N ≥ k ≥ 1.

כל תמונה (k)Y מתקבלת מ- X ע"י עיווי גאומטרי, טישטוש ליניארי והקטנת גודל. בנוסף לזה נניח שכל תמונה מקבלת רעש גאוסיאני אדיטיבי אקראי בעל ממוצע אפס k))E. נסדר את כל המטריצות המעורבות בתהליך בסידור לקסיקוגרפי לפי עמודות (כמוון, אפשר לסדר אותם גם לפי שורות).

אז נקבל ווקטורים X (באורך 2^L), Y(k) ו- (k) E (באורך 2^M), N ≥ k ≥ 1. את התהליך הנ"ל אפשר לבטא בצורה אנליטית: Y(k) = SHF(k)X + E(k) N ≥ k ≥ 1.

מטריצה F(k) (בגודל L^2 x L^2) במקרה כללי מציגה optic flow בין תמונה X לתמונה שמתקבלת מ- X אחרי עיווי גאומטרי בצילום מספר k. בבעיית הסופררזולוציה מדובר בעיווי גאומטרי שבנוי מהזזה וסיבוב.

ההנחה היא שכל F(k) ידועים (ז"א ידוע לנו בכמה הזזנו וסובבנו את המצלמה מצילום לצילום). מטריצה H (בגודל L^2 x L^2) מייצגת טישטוש שנגרם ע"י עדשה של מצלמה. מטריצה S (בגודל x L^2 M^2) מאפיינת אופרטור הקטנה שעל ידיו מתמונה בגודל L x L מתקבלת תמונה בגודל M x M.

ווקטור E(k) מייצג את המטריצה (k) E בסידור לקסיקוגרפי לפי עמודות. מטריצה E(k) מאפיינת רעש אדיטיבי לבן והומוגני בעל פילוג גאוסי עם שונות σ(E).

לאור הנ"ל בעיית סופררזולוציה ניתנת להצגה בצורה הבאה: Y(1) = SHF(1)X + E(1) Y(2) = SHF(2)X + E(2) ………………………. Y(k) = SHF(3)X + E(3) ז"א שמבעיית סופררזולוציה הגענו לבעיית שיחזור קלאסית.

3. 2 תנאים הכרחיים להצלחת סופררזולוציה. 1). באופן אינטויטיבי ברור שאם פיקסל מסויים לא נכנס לאף אחת מהתמונות הנתונות, אין לנו שום אפשרות לשחזר אותו. לכן התנאי הבא צריך להתקיים:, L2^ ≤ NM 2^ ז"א: ≤ N 2^ ((L/M

2).נניח שמטריצת טישטוש H היא בעלת גרעין טישטוש סימטרי. ההנחה הזאת סבירה עבור המצלמה. יה' p כך ש- p+1)x(2p+1)2) גודל של גרעין הטישטוש. אז אמור להתקיים:. (L/M)^2 ≤ (2p+1)^2 - 2

מסקנה:. (L/M)^2 ≤ min{(2p+1)^2 - 2, N}

4.דוגמא N = 16. הגדלה פי 2. הפתרונות התקבלו ע"י פתרון של בעיית שיחזור קלאסית ע"י שיטה איטרטיבית בעזרת אלגוריתם Steepest Descent.

תמונה מקורית

אחת מ- 16 תמונות מצולמות

תוצאת (עם גורם רגולריזציה)

תוצאת (בלי גורם רגולריזציה)