例9：例9： 第 n-1 行（ -1 ）倍加到第 n 行上，第（ n-2 ） 行（ -1 ）倍加到第 n-1 行上，以此类推， 直到第 1 行（ -1 ）倍加到第 2 行上。

按第一列展开

有时直接采用性质和展开定理计算 不方便 可采用技巧便于计算。

例 10 ：（加边法） 第一行（ -1 ）倍 加到各行上去

后加到第 1 列上去。  第 2 列、第 3 列 第 n 列， 依次乘

 例 11 ：证明

证：当 n=1 时， 结论成立. 当 n=2 时， 结论成立. 假设当 n≤k 时结论成立，证 n=k+1 时亦成立。

按第一列展开 按第一行展开

所以当 n=k+1 时结论成立，由此证得：

例 12 ：求解方程组 解：因为系数行列式 所以，由克拉默法则知，方程组有唯一解

方程组的解为：

证： 当 i=j 时 则有 ，即反对称行列式 D 的对角线元 素都为零。 例 13 ：若 n 阶行列式 中元素满足 则称 D 为 n 阶反对 称行列式，试证奇数阶反对称行列式等于零。

各行都提出一个（ -1 ），则 因为行列式与它的转置行列式相等 当 n 为奇数时，有 ，所以奇数阶反 对称行列式的值为零。

例 14 ：问 λ 、 μ 取何值时， 齐次线性方程组 有非零解。 解：对于方程个数与变量个数相同的齐次线 性方程组，有非零解的充分必要条件是系数 行列式等于零。

r 3 + （ -1 ） r 2 r 2 + （ -1 ） r 3 c 1 + （ -1 ） c 3

所以当 λ 、 μ 满足 λ=1 或 μ=0 时， 方程组有非零解。

完