1 第 2 章 數字系統與資料表示法

2 章節大綱 2-1 電腦的基本單位 電腦的基本單位 2-2 數字系統 數字系統 2-3 數值表示法 數值表示法 2-4 數值算術運算 數值算術運算 2-5 數碼系統 數碼系統 2-6 文字表示法 文字表示法 2-7 圖形表示法 圖形表示法 2-8 聲音表示法 聲音表示法 2-9 視訊表示法 視訊表示法 2-10 資料壓縮 資料壓縮 2-11 誤差與錯誤檢查 誤差與錯誤檢查

3 2-1 電腦的基本單位 位元 (bit) 二進位系統 (binary system) 位元組 (byte) 字元 (character) 字組 (word) 回章節大綱

4 2-1 電腦的基本單位 回章節大綱 單位位元數目簡寫 位元組 (byte)8 位元 B 字組 (word)16 位元 W 雙字組 (double word )32 位元 DW 四字組 (quad word)64 位元 QW

5 2-1 電腦的基本單位 回章節大綱 單位簡寫準確值近似值 千位元組 (kilobyte) KB2 10 Bytes10 3 Bytes 百萬位元組 (megabyte) MB2 20 Bytes10 6 Bytes 十億位元組 (gigabyte) GB2 30 Bytes10 9 Bytes 兆位元組 (terabyte) TB2 40 Bytes10 12 Bytes 千兆位元組 (petabyte) PB2 50 Bytes10 15 Bytes 百京位元組 (exabyte) EB2 60 Bytes10 18 Bytes

6 2-2 數字系統 任何一個屬於 K 進位系統的正數 N 都可表示成 如下多項式： N 通常寫成 N K = (d p-1 d p-2 …d 1 d 0.d -1 d -2 …d -q ) K 回章節大綱

7 2-2 數字系統 是一個十進位數字，我們可以將它表示成如下多項式： = 1 x x x x x x x x 是一個二進位數字，我們可以將它表示成如下多項式： = 1 x x x x x x x x x 2 -2 回章節大綱

8 2-2 數字系統 是一個八進位數字，我們可以將它表示成如下多項式： = 1 x x x x x x x A.BC 16 是一個十六進位數字，我們可將它表示成如下多項式： 56789A.BC 16 = 5 x x x x x x x x 回章節大綱

二進位系統 二進位系統 (binary system) 是以 0 、 1 等兩個 數字做為計數的基底。 為簡化，我們通常將二進位數字 1000 和十進位 數字 8 寫成 和 8 10 ( 或寫成 = 8 10 ) 。 回章節大綱

八進位系統 八進位系統 (octal system) 是以 0 、 1 、 2 ~ 7 等 八個數字做為計數的基底。 回章節大綱

十六進位系統 十六進位系統 (hexadecimal system) 是以 0 、 1 、 2 ~ 9 、 A 、 B 、 C 、 D 、 E 、 F 等十六個數字做為 計數的基底。 回章節大綱

12 回章節大綱 十進位二進位八進位十六進位十進位二進位八進位十六進位 A A B B C C D D E E F F 表 2.3 二、八、十、十六進位對照表

將二、八、十六進位數字轉換成 十進位數字 = (5 x 1000) + (6 x 100) + (2 x 10) + (1 x 1) + (7 x 0.1) + (8 x 0.01) = (5 x 10 3 ) + (6 x 10 2 ) + (2 x 10 1 ) + (1 x 10 0 ) + (7 x ) + (8 x ) 回章節大綱

將二、八、十六進位數字轉換成 十進位數字 = (5 x 8 4 ) + (1 x 8 3 ) + (7 x 8 2 ) + (6 x 8 1 ) + (3 x 8 0 ) + (2 x 8 -1 ) = (5 x 4096) + (1 x 512) + (7 x 64) + (6 x 8) + (3 x 1) + (2 x 0.125) = = 回章節大綱

將二、八、十六進位數字轉換成 十進位數字 F2A9.C 16 = (F x 16 3 ) + (2 x 16 2 ) + (A x 16 1 ) + (9 x 16 0 ) + (C x ) = (15 x 4096) + (2 x 256) + (10 x 16) + (9 x 1) + (12 x ) = = 回章節大綱

將二、八、十六進位數字轉換成 十進位數字 = (1 x 2 4 ) + (0 x 2 3 ) + (1 x 2 2 ) + (1 x 2 1 ) + (0 x 2 0 ) + (0 x 2 -1 ) + (0 x 2 -2 ) + ( ) +( ) = (1 x 16) + (0 x 8) + (1 x 4) + (1 x 2) + (0 x 1) + (0 x 0.5) + (0 x 0.25) + (1 x 0.125) + (1x ) = = 回章節大綱

將十進位數字轉換成二、八、十 六進位數字 將十進位數字 轉換成二進位數字： (1) = (2) 找出整數部分的二進位表示法 (59 除以 2 的餘數 ) (29 除以 2 的餘數 ) (14 除以 2 的餘數 ) (7 除以 2 的餘數 ) (3 除以 2 的餘數 ) 1 1 ( 最大有效字元 ) 商數小於除數時停止，依反方向寫下餘數得到 = 回章節大綱

18 （ 3 ）找出小數部分的二進位表示法 0.75 取得小數部分乘以 2 x 2 小數點右邊第一位 取得小數部分乘以 2 x 2 小數點右邊第二位 1.00 小數部分等於 0 時停止 依序寫下乘以 2 之積數的整數部分得到 = （ 4 ）將整數部分及小數部分的二進位表示法合併得到 = 回章節大綱 將十進位數字轉換成二、八、十 六進位數字

19 將十進位數字 轉換成八進位數字： （ 1 ） = （ 2 ）找出整數部分的八進位表示法 (5176 除以 8 的餘數 ) (647 除以 8 的餘數 ) (80 除以 8 的餘數 ) (10 除以 8 的餘數 ) 1 1 ( 最大有效數字 ) 商數小於除數時停止，依反方向寫下餘數得到 = 回章節大綱 將十進位數字轉換成二、八、十 六進位數字

20 回章節大綱 取得小數部分乘以 8 x 8 小數點右邊第一位 取得小數部分乘以 8 x 8 小數點右邊第二位 依序寫下乘以 8 之積數的整數部分得到 = (4) 將整數部分及小數部分的八進位表示法合併，得到 = 。 (3) 找出小數部分的八進位表示法 將十進位數字轉換成二、八、十 六進位數字

21 回章節大綱 將十進位數字 轉換成十六進位數字 ： （ 1 ） = （ 2 ）找出整數部分的十六進位表示法 (4877 除以 16 的餘數 ) (304 除以 16 的餘數 ) (19 除以 16 的餘數 ) 1 1 ( 最大有效數字 ) 商數小於除數時停止，依反方向寫下餘數得到 = 130D 將十進位數字轉換成二、八、十 六進位數字

22 回章節大綱 （ 3 ）找出小數部分的十六進位表示法 0.6 取得小數部分乘以 16 x 16 小數點右邊第一位 出現循環時停止 ( 從小數點右邊第一位開始 ) 依序寫下乘以 16 之積數的整數部分，得到 = （ 4 ）將整數部分及小數部分的十六進位表示法合併，得到 = 130D 將十進位數字轉換成二、八、十 六進位數字

將八或十六進位數字轉換成二進 位數字 回章節大綱 = E 8 C 4. B 16 =

24 回章節大綱 = 整數部分每三個數字一組，不足三個的 就在左邊補上 0 小數部分每三個數字一組，不足三個的 就在右邊補上 將二進位數字轉換成八或十六進 位數字

將二進位數字轉換成八或十六進 位數字 回章節大綱 = 2 D 7 A. F 216 整數部分每四個數字一組，不足四個的就在左邊補上 0 小數部分每四個數字一組，不足四個的就在右邊補上 0

數值表示法 帶符號大小 1’s 補數 1’s 補數 2’s 補數 2’s 補數 回章節大綱

帶符號大小 假設使用 n 位元來表示正負整數，那麼最左邊的位元 (MSD) 是整數的正負符號， 0 表示正數， 1 表示負數， 剩下的 n - 1 位元才是整數的數值大小，正整數的範圍 為 0 ~ 2 n-1 -1 ，負整數的範圍為 -(2 n-1 -1) ~ 0 。 回章節大綱 回 2-3 數值表示法 回 2-3 數值表示法

’s 補數 假設使用 n 位元來表示正負整數，最左邊的位元 (MSD) 是整數正負符號， 0 表示正數， 1 表示負數， 剩下 n - 1 位元才是整數數值大小，正整數範圍為 0 ~ 2 n-1 -1 ，負整數範圍為 -(2 n-1 -1) ~ 0 。 回章節大綱 回 2-3 數值表示法 回 2-3 數值表示法

’s 補數 假設使用 n 位元來表示正負整數，那麼最左邊的位 元 (MSD) 是整數的正負符號， 0 表示正數， 1 表示 負數，剩下的 n - 1 位元才是整數的數值大小，正 整數範圍為 0 ~ 2 n-1 -1 ，負整數範圍為 -2 n-1 ~ 0 。 回章節大綱 回 2-3 數值表示法 回 2-3 數值表示法

數值表示法 回章節大綱 十進位 帶符號大小 1’s 補數 2’s 補數 十進位 帶符號大小 1’s 補數 2’s 補數 +8 無無無 -8 無無 表 2.4 不同數值表示法對照表

補數的推廣 (K - 1)’s 補數：對於 N K 的每位數字均以 (K - 1) 減 去該數字，便能求出 N K 的 (K - 1)’s 補數為 ((K d p-1 )(K d p-2 )…(K d 1 )(K d 0 ).(K -1 - d - 1 )…(K d -q )) K ；或者，您也可以套用公式 (K p - K -q ) - N K 。 K’s 補數：先求出 N K 的 (K - 1)’s 補數，再加上 K -q ， 也就是 ((K d p-1 )(K d p-2 )…(K d 1 )(K d 0 ).(K -1 - d -1 )…(K d -q )) K + K -q ；或者，您 也可以套用公式 K p - N K 。 回章節大綱

數值算術運算 回章節大綱 加法 減法 乘法 除法 前往 2-5 數碼系統 前往 2-5 數碼系統

加法 回章節大綱 範例： （ 1 ） （ 2 ）

加法 回章節大綱 （ 3 ） （ 4 ）

加法 回章節大綱 （ 5 ） （ 6 ） 回 2-4 數值算術運算 回 2-4 數值算術運算

減法 回章節大綱 （ 1 ） （ 2 ）

減法 回章節大綱 （ 3 ） （ 4 ）

減法 回章節大綱 （ 5 ） 回 2-4 數值算術運算 回 2-4 數值算術運算

乘法 回章節大綱 範例： x x 回 2-4 數值算術運算 回 2-4 數值算術運算

除法 範例： ÷ 回章節大綱 回 2-4 數值算術運算 回 2-4 數值算術運算

數碼系統 IEEE 754 Single 格式 符號位元 (sign bit) 偏移指數 (biased exponent) 尾數 (mantissa) 、分數 (fraction) 回章節大綱

42 浮點數表示法 (4 Bytes) S : 1 Byte, E : 8 Bytes, F :: 23 Bytes Ex: 正規化 => × 2 7 加入隱藏位元 => × 26  S -> 0( 正數 )  E -> 133 ( 6 = E -127)  F ->

文字表示法 回章節大綱 ASCII (7 Bits) (American Standard Code for Information Interchange) ASCII-8 (8 Bits) EBCDIC (IBM) (Extended Binary Coded Decimal Interchange Code) 中文編碼系統；如 BIG5 、王安碼、 CCCII 碼，簡體 中文編碼系統以國標碼 GB 或漢字碼 HZ 為主。 Unicode (16 Bits)

常見的文字檔格式 TXT DOC/DOCX PDF 回章節大綱

圖形表示法 回章節大綱 點陣圖：點陣圖放大時，容易出現鋸齒狀。 向量圖：能夠依照任意比例放大、縮小、旋轉及 傾斜，而不會出現鋸齒狀。 點陣圖 鋸齒狀點陣圖

點陣圖 回章節大綱 水平解析度 V.S. 垂直解析度 圖形尺寸 色彩深度 常見的點陣圖檔格式 BMP JPEG GIF PNG TIFF PSD

47 常見的向量圖檔格式 EPS DXF/DWG WMF 向量圖 回章節大綱

聲音表示法 回章節大綱

聲音表示法 常見的聲音檔格式 WAV MP3 MIDI Real Audio WMA CD-AUDIO Dolby Digital DTS 回章節大綱

視訊表示法 回章節大綱 主要的電視系統視訊標準： NTSC (national television standards committee) PAL (phase alteration line) SECAM (sequential color and memory) HDTV (high definition TV)

視訊表示法 常見的視訊檔格式 AVI MPEG Quick Time Real Video WMV 回章節大綱 WMV MPEG: Moving Picture Experts Group)

資料壓縮 回章節大綱 非失真壓縮，例如變動長度編碼 (run length encoding) 、霍夫曼碼 (Huffman coding) 、 Lempel-Ziv 編碼等。 失真壓縮，例如 JPEG 可用來壓縮圖形、照片， MPEG 可用來壓縮影片， MP3 可用來壓縮聲音。

資料壓縮 回章節大綱 常見的壓縮技術 JPEG GIF PNG MP3 MPEG

54 原理是記錄符號出現的次數，例如： 變動長度編碼 回章節大綱

霍夫曼碼 編碼步驟如下： 找出所有符號的出現頻率。 將頻率最低的兩者相加得出另一個頻率。 重覆步驟 2 不斷將頻率最低的兩者相加，直到只剩下 一個頻率為止。 根據合併的關係分別配置 0 和 1 ，形成一個編碼樹 。 回章節大綱

誤差與錯誤檢查 固有誤差 (inherent error) 捨棄誤差 (round-off error) 回章節大綱

57 在資料位元傳送出前，先加上一個同位位元 ( 通 常加在最前面 ) ，然後送出，待接收到這些位元 圖樣後，檢查看看是否有奇數個 1 或偶數個 1 。 分成奇同位檢查和偶同位檢查。 同位元檢查 回章節大綱

58 讓發訊端與收訊端事先協調一個生成多項式，然 後發訊端在將資料位元傳送出去之前，先將資料 位元除以生成多項式，再將得到的餘數 ( 即 CRC 碼 ) 放在資料位元的後面一起傳送出去。 循環冗餘碼 (CRC) 回章節大綱

循環冗餘碼 (CRC) 假設資料位元為 ，生成多項式為 X (1001) ，試求取 CRC 碼及加上 CRC 碼後 的完整訊息： 1. 由於生成多項式 X (1001) 的羃次為 3 ，故先 在資料位元 的後面加上三個 0 ， 得到被除數為 。 回章節大綱

循環冗餘碼 (CRC) 2. 以長除法求取 除以 生成多項式 X (1001) 的餘數： 3.CRC 碼為餘數 11 ，故完 整訊息為 。 回章節大綱

錯誤更正碼 (ECC) 當錯誤更正碼的漢明距離大於等於 D 時，只要發生 錯誤的位元不超過 D - 1 個，系統都能夠偵測出來， 而只要發生錯誤的位元不超過 (D - 1) / 2 個，系統 都能夠加以更正。 回章節大綱